Намиране на производна като се използва фундаменталната теорема на математическия анализ: x присъства в долната граница

Искаме да намерим производната спрямо х на ето този израз тук. Както може би се досещаш, това определено е функция на х. х е една от границите на интегриране за този определен интеграл. Може би ще си кажеш, че изглежда, че може да приложим фундаменталната теорема на анализа. Аз обаче съм свикнал да виждам х, т.е. функцията от х, да е горна граница, а не долна граница. Тогава как да се справя с това? Основното нещо тук е да разбереш какво се случва, когато размениш границите на определения интеграл. Ще направя един кратък преговор на това. Ако търся определен интеграл от a до b, f от t, dt, знаем, че това е главно F, т.е. примитивната функция на F, изчислена в точката b, минус примитивната функция на F, изчислена в точката а. Това е следствие от фундаменталната теорема на анализа, или е втора част от фундаменталната теорема, или втора фундаментална теорема на анализа. Това е начинът, по който изчисляваме определени интеграли. Нека сега помислим на какво е равна отрицателната стойност на това. Отрицателната стойност за този интеграл – от a до b, f от t, dt ще бъде равно горното със знак минус. Равно е на –(F(b) – F(а)), което е равно на F(а) – F(b). Или първо разкрих скобите и смених знаците, след което смених местата на тези два члена. Това обаче ето тук е равно на определен интеграл, но вместо от a до b, е от b до а, f от t, dt. Забележи, че когато поставиш отрицателен знак, това е като просто да размениш знаците, т.е. да размениш границите. Ако размениш границите, то се получава все едно същия израз със знак минус. Сега може да се върнем на първоначалната задача. Може да запишем това като равно на производна спрямо х от следното. Вместо това, ще бъде минус от същия определен интеграл, но с разменени граници. Отрицателното на х, т.е. с горна граница х, а долната граница е 3, от квадратен корен от модул (абсолютна стойност) от косинус от t, dt. Което е равно на... Може да изнесем знак минус отпред. Имаме минус по производната спрямо х от целия този израз. Трябва просто да го копирам и да го поставя, така че ще го направя. Копирам го и го поставям. Умножено по производната спрямо х от цялото това нещо. Сега вече директно прилагаме фундаменталната теорема на анализа. Това ще бъде равно на... Тук заслужаваме поздравления! Това ще бъде равно на минус – да не забравяме минуса! И фундаменталната теорема на анализа гласи, че това ще бъде равно на тази функция като функция на х. Следователно ще бъде минус квадратен корен от модул от косинус, но не от t, а от х. И сме готови!