Влияние на операциите с редове върху детерминантата

Дадена е матрицата А. Тя е с размери n x n. Ще запиша редовете ѝ по следния начин. Ще я напиша просто като r1... можем да наречем това вектор-ред – r2 – но не го правя съвсем формално. Това е само да си спестя писането. След това е i-ият ред, ri, а после продължаваме така. Това тук е i. После имаме ред j, rj, и продължаваме така чак до n-ия ред. Матрицата има n реда и n стълба. И достигаме до r с индекс n по този начин. Това е нашата матрица. Само да се уверя, че разбираш какво казвам – Първият елемент на r с индекс k е аk1. Може би да го запиша като вектор. ak2 и така нататък до akn. Това е стандартният начин за записване. Записах го по този начин, защото ще разглеждаме редове в това видео и по този начин записването е по-лесно. Сега да се фокусираме над тези два реда тук. Ще дефинирам друга матрица В, която също е n x n. Тя е идентична на матрицата А, освен един ред. Значи е същата като матрицата А, но има един различен ред. Имаме r1, ето така, това е същото като тук. r2, продължаваме надолу до ri, този също е идентичен. Но сега rj е сменен. Сменям реда rj с rj минус ri по някакъв скаларен множител. Минус с по ri. Значи минус произведение на този ред със скалар. Заменям rj с това. Това е еквивалентно на операциите с редове, които видяхме при метода на Гаус, или когато преобразувахме матрици в ешелонна форма. Всичко друго в тази матрица е еднакво с матрицата А. Така стигаме чак до rn. Това е матрицата В. Сега да помислим каква ще бъде детерминантата на В. Ще използвам синьо. Детерминантата на В... Веднага можем да кажем, че В е равна на... Представи си два вектора. Представи си две матрици. Едната матрица изглежда като тази. Едната матрица е r1, r2 и така нататък, ri, и така нататък, до rj. И после продължаваме до rn. Тази матрица – може би вече забеляза, че е идентична на А. . Това е едната матрица. След това може да имаш друга матрица, която изглежда ето така. Тя е идентична навсякъде. r1, r2, ri. Слагам точки, които означават, че пропускам някои редове. Пропускам още редове. И после имаме с по ri. Ще направя това с различен цвят. Това тук е ri. И после просто продължаваме до rn. Детерминантата на матрицата В можем да разглеждаме като детерминантата на това тук. Ще го запиша. Детерминантата на В е равна на детерминантата на тази матрица плюс детерминантата на тази матрица. Надявам се, че си спомняш от преди няколко урока, че ако една матрица... Ако имаме две матрици, които са еднакви във всичко, освен в един ред. Значи тези две матрици са напълно еднакви във всичко освен в това, което се случва в j-ите им редове. Това тук е r с индекс j. Тук имаме с по r с индекс i. Това е произведение на този ред ето тук със скалар. на ето този ред. Това е ri, това е i-ия ред. Тук имаме ri, тук имаме ri. Но тук имаме друга версия на реда r, произведение със скалар на ri, докато тук имаме rj. Ако имаме друга матрица, която на практика е идентична на тези двете, освен в този ред, и този ред е сума от тези две матрици – като тук ще сложа минус. Значи, ако запазим тази матрица напълно идентична, но ако заменим този ред със сумата от тези два реда – значи rj минус с по ri, ще получим тази матрица ето тук. Получаваме матрица В. Учихме, че детерминантата на матрицата В е равна на детерминантата на тази матрица и на тази. Запомни, матрицата В не е сума от тези две матрици. В е идентична на тези две матрици във всичко, освен този ред – j-ия ред на В е равен на j-тия ред на тази матрица, плюс j-тия ред на тази матрица. И когато говорим за събиране на редове, това означава, че просто събираме съответните им елементи. Така че ще преработя този ред, за да изглежда... първият член ще бъде aj1 минус с по аi1. Това ще бъде първият член в този ред. Вторият член на този ред ще бъде aj2 минус с по ai2. И така нататък, чак до ajn минус с по ain, а с индекс in, елементът в n-ия стълб. Ето това означава това. И детерминантата на В ще е равна на детерминантата на тази матрица плюс детерминантата на тази. Детерминантата на това – това тук е нашата матрица А. Това ще е детерминантата на А. А коя е детерминантата на това? Ще разложа това още малко. На какво е равна детерминантата на това? Тази матрица е напълно еднаква с А, освен един от редовете ѝ – извинявам се, това е напълно идентично с тази матрица. Не е еквивалентна на А. Трябва да се внимава. Не вярвай на всичко, което казвам. Не е еквивалентна на А. Разликата е, че А има тук rj. Тази матрица тук има минус с по ri. Значи тя е еквивалентна на тази матрица. Тя е напълно еквивалентна на тази матрица ето тук. Ще го направя по следния начин. Значи имаме r1, r2 и така нататък, има ri, после имаме друго ri. Ще почистя малко това. Ще почистя това, за да имам място за работа. Имаме ri. Имаме това ri ето тук. После имаме друго ri. Имаме друго ri ето тук. Имаме друго ri. Значи в j-ия ред имаме ri. После продължаваме така и имаме r с индекс n. Тези двете са напълно идентични, освен че тук има минус с по j-ия ред. Нали? Ето това беше тук, ето тук. Това е j-ия ред. Всичко, което правим, е в j-ия ред. Тук има минус с по j-ия ред. Значи детерминантата на тази матрица тук – искам да поясня, че определям детерминантата само на тази матрица ето тук. Тя ще е равна на минус с по детерминантата на... ще го напиша по следния начин – минус с по детерминантата на r1, r2... имаме първото ri, после имаме j-ия ред, имаме друга версия на ri. И после надолу стигаме до r с индекс n. Значи по тази детерминанта. Това е просто детерминантата на ето тази матрица. Добавих скоби и прави черти. Видяхме това преди няколко видеа. Ако имаме една матрица, и ако просто умножим един от редовете ѝ по някакъв скалар, в този случай по минус с, това е еквивалентно на минус с... Детерминантата на новата матрица е равна на минус с по детерминантата на началната матрица. Ето това казвам тук. Но каква е детерминантата на тази матрица? Може би вече забеляза, че тя има еднакви редове. Тя съдържа ri в i-ия ред, а после отново ri в j-ия ред. Спомни си, че ние един вид разложихме матрицата В като сбор от... или нейната детерминанта може да се запише като сумата от детерминантите на тези две матрици. В не е сумата на тези две матрици. Всеки друг елемент е идентичен на всеки съответен елемент във всяка от тези матрици. Но този ред ето тук, той е еднакъв с ri. А какво знаем за детерминантата на матрица с еднакви редове? Детерминантата е нула. Значи това тук е нула. Минус с по 0 е 0. Значи детерминантата на цялото това е нула. Големият извод тук е, че детерминантата на В е равна просто на детерминантата на това нещо, което е детерминантата на матрицата А. Това е много важен извод. Това много ще улесни живота ни. Детерминантата на В е равна на детерминантата на А. Ако започнем с една матрица, и ако заместим j-ия ред, както в този пример, но може да е всеки друг ред, ако заместим даден ред с този ред минус някакво произведение на друг ред по скалар – в този пример избрахме реда ri, тогава детерминантата няма да се промени. Но трябва много да внимаваш как го формулираш, защото, очевидно, ако просто умножиш нещо по скалар – ако трябва да промениш детерминантата му, или ако направиш други неща. Ако просто вземеш един ред, ако вземеш j-ия ред, и ако го замениш с j-ия ред минус с по i-ия ред, по някакъв друг ред, което е еквивалентно просто на операция с редове, която сме правили, тогава това няма да промени детерминантата. Което е много важен извод, защото сега можем внимателно да извършваме операции по редове и да знаем, че това няма да промени детерминантата.