Детерминанта на матрица с еднакви редове

Дадена е матрица А, която е с размери n x n и изглежда примерно ето така: виждал/а си това преди, а11, а12 и така нататък до а1n. Когато отиваме на долния ред, имаме а21 и така нататък до а2n. Да кажем, че тук има някакъв ред, ред i, да кажем, че това е аi1 и така нататък до аin. После тук имаме някакъв друг ред j – това е аj1, и така нататък до ajn. Продължаваме така надолу, до аn1, an2 и така нататък до ann. Това е просто една матрица n x n и, както виждаш, не е проблем да запишем реда i ето тук и реда j ето тук. За да не усложняваме нещата, ще дефинирам... само от гледна точка на начина на записване, можем да разглеждаме тези като вектор-редове, макар че формално не сме дефинирали вектор-редове, но няма да го правя сега. Ще дефинирам членът ri, ще го наречем ред i, който е равен на ai1, ai2... ain. Можем да го запишем и като вектор, ако искаш, като вектор-ред. Всъщност ние не сме дефинирали операции с вектор-редове досега, но мисля, че разбираш идеята. Сега можем да заменим това с r1, това с r2 и така нататък надолу. Ще го направя, и ще го правя в следващите няколко урока, защото това опростява нещата, и смятам, че така е по-лесно за разбиране. Ще препиша марицата, нашата матрица n x n, ще я препиша като ri... Това всъщност прилича на вектор, това е просто вектор-ред. Ще го запиша като вектор, ето така. Знам, че това изглежда малко странно, защото векторите сме дефинирали като вектор-стълбове, но мисля, че разбираш идеята. Ще нарека това r1, после това е r2 в следващия ред и така нататък надолу. Продължаваме надолу, имаме ri – ето това тук – ri. Продължавме надолу и имаме rj, продължаваме и стигаме до n-ия ред. Всеки от тези редове съдържа n елемента, защото имаме n стълба. Това е друг начин да запишем същата матрица n x n. Сега тук ще създам една нова матрица – ще нарека това матрицата S с разменени редове i и j. Ще разменя тези два реда i и j. Как ще изглежда сега матрицата? Всичко друго ще е същото. Имаме ред 1 – предполагам, че това 1 не е i или j, макар че това е възможно. Ред 2 и така нататък – сега вместо ред i тук ще имаме ред j, и отиваме още надолу, където вместо ред j имаме ред i. Слизаме надолу и стигаме до ред rn. Какво направихме? Просто разменихме тези два реда. Това е размяна на местата на редове на една матрица. Мисля че в последното видео или няколко видеа преди него учихме, че ако просто разменим два реда на една матрица n x n, детерминантата на получената матрица ще бъде равна на детерминантата на оригиналната матрица, но със знак минус. Значи получаваме детерминантата на S, матрицата с разменени редове i и j, и тя е равна на детерминантата на матрицата А със знак минус отпред. Искам да ти задам един интересен въпрос. Какво ще се случи, ако тези два реда всъщност са еднакви? Ако ri е еднакъв с rj? Ако се върнем ето тук – ако този ред е равен на този ред? Това означава, че вторият елемент тук – на втория елемент тук – и така чак до края на тези редове. n-ият елемент тук е равен на n-тия елемент тук. Ето това имам предвид, когато казвам, че тези два реда са равни един на друг. Ако тези два реда са равни помежду си, тогава тази матрица не се различава от тази матрица тук, въпреки че разменихме тези два реда. Ако разменим две еднакви неща, тогава получаваме отново същото нещо. Значи ако – ще го запиша – ако ред i е равен на ред j, тогава тази матрица, матрицата S с разменени редове е равна на матрицата А. Те са идентични. Разменяме два реда, които са еднакви. Това означава, че детерминантата на матрицата с разменени редове е равна на детерминантата на матрицата А. Но ние казахме, че ако просто разменим два реда на матрицата, тогава детерминантата на S е равна на отрицателната детерминанта на А. Това ни казва също така, че нейната детерминанта е минус детерминанта на матрицата А. Какво ни казва това? Това ни казва, че ако имаме матрица А с два еднакви помежду си реда, ако ги разменим, тогава ще получим отрицателната детерминанта, но ако двата реда са равни помежду си, ние ще получим отново същата матрица. Значи ако в матрицата А два реда са равни помежду си – ако ред i е равен на ред j, тогава детерминантата на матрицата А е равна на отрицателната детерминанта на матрицата А. Това следва от това, че детерминантата на А... или А е равна на версията на матрицата А с разменени редове, а версията с разменени редове на матрицата А има детерминанта, която е детерминантата на А със знак минус. Значи тези две неща са равни. Но как може едно число да е равно на себе си със знак минус? Току-що ти казах, че х е равно на минус х, тогава кое е числото х? Единственото число, на което може да е равно х, трябва да е числото нула. Изводът е, че ако имаме два еднакви реда – това важи и за три, и за четири реда – това означава, че детерминантата на такава матрица е нула. И това не трябва да ни изненадва. Защото, ако имаме еднакви редове – спомни, че го учихме преди доста време. Учихме, че една матрица е обратима тогава и само тогава, когато ешелонната ѝ форма е единичната матрица. Учихме това. Но ако имаме два еднакви реда – да кажем, че тези два реда са равни помежду си – тогава, когато извършваме операциите по редове, можем да заместим този ред с този ред минус този ред, и ще получим един ред само с 0. А щом получим ред само с нули, тогава никога не можем да получим единичната матрица. Това означава, че еднаквите редове никога не могат да дадат ешелонна форма, която да е единична матрица. Или матриците с еднакви редове не са обратими. Учихме също, че една матрица не е обратима тогава и само тогава, когато детерминантата ѝ е равна на нула. Получаваме еднакъв резултат по два различни начина. Първият – като използвахме това, което сме учили. Когато разменим редовете, трябва да получим отрицателната детерминанта, но ако разменим два еднакви реда, ние не променяме матрицата. Така че детерминантата на матрицата трябва да е равна на себе си. Значи, ако имаме еднакви редове, детерминантата е нула. Което не беше задължително да извеждаме по този начин с размяна на редове, можехме да се върнем назад към изискванията за обратимост – от преди пет или шест урока. Но просто исках да подчертая това. Ако видиш еднакви редове, и всъщност, ако видиш и еднакви стълбове – ще оставя ти да помислиш върху това – ако видиш еднакви редове или еднакви стълбове, или даже ако видиш, че някои редове са линейна комбинация от други редове – това не го показах тук – тогава ще знаеш, че твоята детерминанта е равна на нула.