Връзка между детерминантата и площта на успоредник

Тук имам една матрица 2 х 2, която съдържа елементите a, b, c и d. Тя съдържа два вектор-стълба. Правили сме това и преди, да означим първия стълб като v1 и втория стълб като v2. Сега можем да препишем матрицата. Можем да кажем, че v1 е равно на [a;c], а v2 е равно на [b;d]. И двата вектора принадлежат на R2, и за да можем добре да си го представим, да начертаем тези два вектора. Ще начертая координатна система. Това е вертикалната ос. Това е хоризонталната ос. Може би v1 изглежда ето така. Това е v1. Хоризонталният му компонент е а, а вертикалната координата – представям това като позиционния вектор а, или така го чертаем, а това е с. После v2 може би изглежда ето така. Да кажем, че тези вектори не съвпадат. Значи v2 изглежда ето така. Хоризонталната координата на v2 ще бъде b, а вертикалната му координата ще е d. В това видео ще разгледаме успоредника, който се образува от тези два вектора. Имам предвид да си представиш, че тези два вектора са позиционни вектори, които определят върховете на един успоредник, и, разбира се, или може би не се разбира, но началото на координатната система определя друг връх на успоредника, а коя точка е последният връх на успоредника? Предполагам, че се досещаш. Успоредник, на който вече имаме две страни, така че другите две са успоредни на тях. Едната страна изглежда ето така, успоредна е на v1, както я начертах, а другата страна изглежда ето така. Това е нашият успоредник. Успоредник, получен от векторите v1 и v2. Сега ще разгледаме по-конкретно площта на успоредника, образуван от v1 и v2. Как можем да я намерим? По принцип, ако имам произволен успоредник – този е малко наклонен, но ако имам един успоредник – ще начертая тук един успоредник – неговата площ е равна на основата – това може да е основата – по височината му. Значи е равна на основата – това е главно В, понеже тук имаме малко b – по височината му. Ето това е площта на един успоредник. Кои са основата и височината в този случай? Ще го запиша. Площта на успоредника е равна на основата по височината. Всъщност – просто ще го напиша ето тук. Каква е основата тук? Основата тук ще бъде дължината на вектор v1. Това е нашата основа. Това ето тук е дължината на вектор v1, дължината на този оранжев вектор. А колко е височината на този успоредник? Ако спуснем перпендикуляр, дължината на тази отсечка тук ще бъде нашата височина. Как можем да я намерим – ние знаем колко е v1, така че можем да намерим основата много лесно. Но как да намерим тази височина? Едното нещо, което можем да направим, е да намерим ето това тук с помощта на питагоровата теорема. Защото дължината на този вектор на квадрат, плюс Н на квадрат е равна на дължината на v2 на квадрат. Да видим можем ли да направим това. Какво е това? Това зеленото тук какво е? Ако си представиш една права – представи си една права l. Нека правата l е линейната обвивка на вектор v1. Това означава, че ако вземем всички кратни на v1 и всички позиции, които те определят, ще създадем множество от точки, което представлява нашата права l. Ако вземеш всички кратни на v1, тогава ще получиш всички точки по тази права. Ето така. Ако дефинирам l по този начин – тази права ето тук е l, не знам дали го виждаш. Ще го направя малко по-добре – тя минава през v1 и продължава насам. Каква е тази зелена отсечка? Тази зелена отсечка, която ни интересува, това е проекция върху l на какво? Тук имаме перпендикуляр – представи си един светлинен източник, който свети надолу – не знам дали това сравнение ти е полезно, но това е все едно сянката на v2 върху тази права. Значи това е проекцията на вектор v2 върху тази зелена права ето тук. За да намерим Н, трябва просто да приложим питагоровата теорема. Можем да кажем, че дължината на Н на квадрат – записвам Н като дължина, дори не го дефинирам като вектор. Можем да кажем, че Н на квадрат, където това е дължината на тази отсечка, плюс дължината на този вектор на квадрат – като дължината на този вектор на квадрат е дължината на проекцията на вектор v 2 върху правата l. Ще използвам различен цвят. Значи дължината на проекцията на v2 върху l на квадрат – нали? Просто прилагаме питагоровата теорема. Това на квадрат плюс това на квадрат е равно на това на квадрат. Това ще е равно на дължината на v2 на квадрат. Това е следва от питагоровата теорема. Няма нищо специално. Как можем да опростим това? Търсим Н. Всъщност хайде първо да намерим Н на квадрат засега, защото това опростява нещата. Значи H^2 е равно на това тук, равно е на дължината на вектор v2 на квадрат минус квадрата на дължината на проекцията. Значи минус – ще го направя в цикламено – минус квадрата на дължината на проекцията на v2 върху l. Спомни си, че това тук е просто ето това тук, просто прилагаме питагоровата теорема. Да видим дали можем да опростим този израз, или да го запишем по по-разбираем начин. Значи дължината на вектора на квадрат, това е равно на... ще го напиша по следния начин – това е просто равно на скаларното произведение v2 . v2. Ако вземем един вектор и го умножим скаларно по самия него, тогава получаваме дължината на вектора на квадрат, както вече много пъти сме виждали. После това тук на какво ще е равно? Проекцията... ще го направя ето тук. Проекцията на v2 върху l е равна на скаларното произведение на вектор v2 и вектора v1, който е базисен вектор за правата l. Значи скаларното произведение на v2 . v1 върху базисния вектор по себе си, v1 по v1. Видяхме това преди няколко урока, когато учихме за проекции. Това тук е просто число. И после това умножаваме по самия базисен вектор. Значи по вектор v1. Ето това е проекцията. Значи ще бъде това минус квадрата на дължината на проекцията. Какво представлява дължината на проекцията на квадрат? Това е скаларното произведение на този вектор по себе си. Ще го напиша по следния начин: ще го направя стъпка по стъпка. Това ще бъде минус... искам да мога да виждам това тук горе, така че да не го преписвам. Проекцията ще бъде – това изглежда малко сложно, но се надявам, че нещата ще се опростят, v2 . v1, върху v1 . v1, по... ще сменя цвета – по вектор... всичко това накрая ще бъде просто едно число, спомни си, че при скаларните произведения получаваме числа – по вектор v1. Ще вземем дължината на цялото това на квадрат. Всичко това ще бъде равно на H^2. Повтарям, това е просто питагоровата теорема. Това или това на квадрат, което е височината на квадрат, е равно на хипотенузата на квадрат – това е хипотенузата на квадрат – минус другата страна на квадрат. Това е другата страна на квадрат. Изглежда малко объркано, но това е просто проекция на този вектор върху тази права. Да видим можем ли да опростим малко. Ще трябва да направим малко алгебрични преобразувания, за да видим какво можем да направим тук. Всъщност това не е алгебра, това е линейна алгебра. Какво е това тук? Това е просто скаларното произведение на този вектор със себе си. Това е равно на... знаем, че ако за произволен вектор вземем квадрата на дължината му, това е просто скаларното произведение на вектора по самия него. Значи квадратът на този вектор тук, това е равно просто на скаларното му произведение със самия него. Ще препиша всичко отново. Значи получаваме, че Н^2 е равно на скаларното произведение на v2 . v2, минус този вектор, умножен скаларно по себе си. Значи минус v2.v1 върху v1.v1, по вектор v1, всичко това умножено скаларно по себе си. Умножено скаларно по v2.v1, върху v1.v1 – припомни си, тази зелена част е просто число – по вектора v1. На какво е равно това? Нека да го опростим. Това тук и тук са просто скаларни величини, а видяхме, че скаларното произведение на вектори е асоциативно по отношение на скаларните величини, така че можем просто да разменим местата на множителите. Така че това ще е равно на скаларна величина, умножена сама по себе си. Значи можем да кажем, че това е равно на v2.v1... Ще го запиша по следния начин: v2.v1, това е равно на... сега ще умножим числителя по себе си, v2.v1. После всичко това е върху v1.v1 по v1.v1. Спомни си, аз просто взимам тези два члена и ги умножавам един по друг. Просто размествам местата, а после знаем, че можем да изнесем скаларите, по тези двете, умножени скаларно помежду си. По v1.v1. Ето до това се опростява изразът. Това е просто едно число. Тук имахме вектори, но когато ги умножихме скаларно, получихме просто число. И това число е същото като това число. Значи можем малко да опростим. Можем да зачеркнем тези и тогава ни остава, че височината на квадрат е равна на този израз ето тук. Той е умножен по себе си два пъти, така че е равен на – ще започна ето тук. Равно е на v2.v2 минус ето това, умножено по себе си. Значи v2.v1 на квадрат, всичко това върху един от тези, v1.v1. Ето това е височината на квадрат. Сега имаме височината на квадрат, можем да коренуваме, ако искаме да намерим самата височина. Но за да не усложняваме математически, знаем, че площта е равна на основата по тази височина. Да видим на какво е равна площта на квадрат. Понеже тези два члена ще бъдат повдигнати на квадрат. Щом площта е равна на основата по височината – видяхме това още в началото на видеото – тогава площта на квадрат ще бъде равна на тези двете на квадрат. Ще е равна на основата на квадрат по височината на квадрат. А колко е основата на квадрат? Ще го направя по следния начин. Тази основа на квадрат – вече видяхме, че основата на нашия успоредник е дължината на вектор v1. А колко е основата на квадрат? Основата на квадрат е дължината на вектор v1 на квадрат. Можем също да го запишем като v1.v1. Вече знаем колко е височината на квадрат, тя е този израз ето тук. Ще го запиша. Височината на квадрат е тази височина на квадрат ето тук. Тогава колко е площта на квадрат? Площта на квадрат – ще сляза малко надолу, където има повече място, площта на квадрат е равна на основата на квадрат, която е v1.v1, по нашата височина на квадрат, по... Ще го напиша ето така. Не, това е грешен цвят. По това нещо ето тук, v2.v2 минус v2.v1 на квадрат, върху v1.v1. И до какво се опростява това? Това е просто едно число, всички тези са просто числа. Ако опростя, ако умножа по това, какво ще получа? Това по това е равно на v1... ще използвам съответните цветове – v1.v1 по това, по v2.v2. След като умножа това по това, какво ще се случи? Имам това в числителя и това в знаменателя, така че те се съкращават. Остава ми само минус v2.v1 на квадрат. Сега да си припомним какво представляват тези вектори. v1 беше вектор ac, а v2 беше вектор bd. Ще го препиша ето тук долу, за да можем да работим с това. Значи v1 е равен на вектор ac, а v2 е равен на вектор bd. Колко е v1.v1? Това е равно на а.а, а по а, а^2 плюс с^2. Това е това, ето тук. И какво е това? v2.v2. Ще имаме това по v2.v2. v2.v2 е b^2 плюс d^2. И ще имаме минус v2.v1 на квадрат. Колко е v2.v1? Това е b по а, плюс d по с, или а по b плюс... просто умножаваме скаларно тези двете. Значи това е ab плюс cd, после цялото на квадрат. Да видим как можем да го опростим. Надявам се, че ще се опрости. Ще сменя цветовете. Ако просто умножим това – ще го запиша тук. Площта на квадрат е равна на a^2 по b^2, плюс a^2 по d^2, плюс c^2 по b^2, плюс c^2 по d^2. После минус това на квадрат. На какво ще е равно това? (ab)^2 е равно на a^2 по b^2. После ще умножа тези едно по друго два пъти, така че става плюс 2 по a по b по c по d. После ще имаме + c^2 по d^2. Просто изнесох това, това е най-добрият начин да го разглеждаме. После, ако разкрием скобите, какво получаваме? Ще препиша всичко. Това е равно на a^2 по b^2, плюс a^2 по d^2, плюс c^2 по b^2, плюс c^2 по d^2, минус a^2 по b^2, минус 2 по а b по c по d, минус c^2 по d^2. Просто разкрих тези скоби. Сега изглежда, че някои неща ще се опростят хубаво. Спомни си, всичко това е равно на площта на квадрат. Имаме (a^2 по b^2) и минус (a^2 по b^2). Те се унищожават. Имаме –(c^2 по d^2) и (c^2 по d^2), и те се унщожават. И ни остава само площта на успоредника на квадрат, която е равна на а^2 по d^2 минус 2 a по b по c по d, плюс с^2 по b^2. Това може да ти се стори малко странно, но ако заместим ето тук, ако кажем, че х е равно на a по d, ако кажем, че у е равно на c по b, тогава какво ще получим? Това е равно на х^2 – 2ху + у^2. Нали? Надявам се, че го разпознаваш. А това е равно на (х – у)^2. Значи ако направим това заместване – правя това, за да можеш да го видиш по-добре. Значи площта на квадрат е равна на (х – у)^2 или на (ad – cb)... или ще го запиша като (ad – bс)^2. Това е площта на успоредника, повдигната на квадрат. Ако не разбираш добре какво направих тук – просто заместих, така че да можеш да го разпознаеш по-лесно. Просто това е същото като ето това. Ако искаш, можеш просто да извършиш умножението, и ще получиш ето това тук. Но какво е това? Какво е това нещо тук? Това е детерминантата. Това е детерминантата на нашата оригинална матрица. Нарекохме я матрицата А и после използвах А отново за площта, затова ще го запиша по следния начин. Площта на квадрат – ще го запише по следния начин. Площта на квадрат е равна на (ad – bс)^2. Значи това е тази площ тук, А е цялата площ. Но какво е това? Това е детерминантата на нашата матрица. Това е детерминантата на матрицата А, оригиналната матрица, от началото на задачата, това е равно на детерминантата на [a;b;c;d]. Нали? Детерминантата на тази матрица е равна на (ad – bс) по определение. Значи площта е – това е много вълнуващо! Площта на успоредника на квадрат е равна на детерминантата на матрицата, чиито вектор-стълбове образуват този успоредник. Равна е на квадрата на детерминантата на матрицата. Ако коренуваме двете страни, тогава ще получим, че площта е равна на абсолютната стойност на детерминантата на А. Което е страхотен резултат, особено като се има предвид колко сложни сметки ни доведоха дотук. Да се върнем ето тук при чертежа. Ако искаме да намерим площта на този успоредник, който е дефиниран, или който е образуван от два вектор-стълба на една матрица, можем буквално само да намерим детерминантата на матрицата. Площта е равна на абсолютната стойност на детерминантата на матрицата А. Трябва да е абсолютна стойност, защото детерминантата може да е отрицателна величина. Представи си, че разменим някои от редовете, детерминантата може да е отрицателна, но не може да има отрицателна площ. И това реално няма да промени това дефиницията, няма да промени това, което разглеждаме. Ако разменим v1 и v2, в резултат получаваме отново същият успоредник, може само да получим знак минус при детерминантата. Но това е чудесен резултат. Знаеш, че когато за пръв път учеше детерминанти в училище – искам да кажа, че учехме, че причината да намираме детерминанта е идеята, че когато вземем обратната матрица на матрица 2 х 2, този израз се появява в знаменателя и ние го нарекохме детерминанта. А сега имаме и това различно тълкуване. Детерминантата всъщност е площта на успоредника, създаден от вектор-стълбовете на нашата матрица.