Детерминанта при умножение на ред с число

Да разгледаме какво се случва, когато умножим една детерминанта по скалар. Да кажем, че искаме да намерим детерминантата на матрицата [a;b;c;d]. По определение детерминантата на тази матрица е равна на а по d минус b по с, или с по b, по обратния начин. aпо d минус b по c. Това е детерминантата. Какво ще се случи, ако умножим един от тези редове по някакъв скалар? Да кажем, че го умножим по k. Значи имаме а, b, и сега ще умножим втория ред по скалара k. Става k по c и k по d. Как ще изглежда сега детерминантата? Ще имаме а по (k по d), или мога да го напиша направо като k по a по d, минус (k по c) по b , или мога да го напиша направо като k по b по c. Ако изнесем пред скоби k, получаваме, че е равно на k по (a по d минус b по c). Веднага можеш да видиш, че това нещо е същото като това нещо. Значи това е равно на k по детерминантата |a;b;c;d|. Следователно, ако просто умножим един ред по скалар – само един ред, не цялата матрица – когато просто умножим един ред по някакъв скалар, тогава получената детерминанта ще бъде първоначалната детерминанта, умножена по този скалар. Сега може да попиташ какво ще се случи, ако умножим цялата матрица по това число. Това е еквивалентно да умножим по числото два пъти. Да кажем, че имаме матрицата А, и тази матрица е равна на [a;b;c;d]. Ако разгледаме матрицата k по А, сега не умножаваме по числото само един ред. Умножаваме цялата матрица по числото. Това ще бъде равно на k по a, k по b, k по c и k по d. Когато определяме детерминантата на k по А, това ще е равно на детерминантата на [ka;kb;kc;kd]. Така ще получим членове с k на квадрат. Ще получим k на квадрат по a по d. Това ще е равно на k^2 по (a по d), минус k^2 по (b по c), или k^2 по (ad – bc), или на k^2 по детерминантата на А. Трябва много да се внимава тук. Това важи само за матрици, които са с размер 2 х 2. Ако матрицата е n x n, тогава това тук ще е k^n. Значи изводът е, че единственият случай, когато можем да кажем, че това е равно на произведението на някакво число и оригиналната детерминанта, е само когато умножим един ред по този скаларен множител, а не цялата матрица. Да видим как можем да разширим това за матрица 3 х 3. Може да кажеш: "Хей, Сал, ти тук избра втория ред. А важи ли за първия ред?" Ще оставя на теб да отговориш на този въпрос, но да – това важи и за първия ред. Няма значение по кой ред умножаваме числото. Да разгледаме случая с матрица 3 х 3. Нека е дадена някаква матрица, да я наречем отново А. Отново ще дефинирам матрицата А. Тя е [a;b;c;d;e;f;g;h;i]. Ако намерим нейната детерминанта, детерминантата на матрицата А е равна на – можем да я намерим по няколко начина. Ще избера някакъв произволен ред. Това ще е редът, който ще умножим по някакъв скалар. Да вземем този ред ето тук. Детерминантата на А ще е равна на... спомни си за редуването на знаците плюс и минус. Спомни си плюс, минус, плюс, минус, плюс, минус, плюс, минус, плюс – моделът на шахматната дъска. Значи d тук е с минус. Това ще е равно на минус d по детерминантата на неговата подматрица. Зачеркваме този стълб и този ред. Това е [b;c;h;i]. Това ще стане плюс е по детерминантата на неговата подматрица [a;c;g;i]. Това е равно на минус f по... зачеркваме реда [d;e;f] и стълба [c; f; i] и получаваме |d;e;g;h| детерминантата на [d;e;g;h]. (Тук Сал прави грешка. Детерминантата е |a,b,g,h|) Това е детерминантата на тази матрица А. Сега да дефинираме една нова матрица, да я наречем А'(прим). Само ще се преместя малко надолу. Ще дефинирам A' ето тук. А' – просто ще умножа този ред по скалар. Това ще стане равно на a;b;c;kd;ke;kf... Не умножавам цялата матрица по този скалар. Не мога да кажа, че това е k по А. Умножавам само един от редовете ѝ. След това имам g, h, i. Колко ще е детерминантата на A'? Тук поставям знак прим. Тази матрица е различна от А, но произлиза от А. Просто умножих един ред на матрицата А по скалар. Мога да взема този същия ред като преди. Мога да взема същия ред. Единствената разлика ще е, че вместо d ще имам k по d. Вместо "е" сега ще имам k по е. Значи вместо d тук ще работя с k по d. Вместо "е" ще имам k по е. Това ще е съвсем същото, само ще заместя ето това, това и това с тях самите, умножени по k. И това ще е равно на –k по d, по детерминантата на подматрицата b, c, h, i... даже не гледам тук, защото това е същото като това горе – плюс k по е по детерминантата на а, c, g, i, минус k по f по детерминантата на d, е, g, h. (Сал не е забелязал грешката си, това трябва да е a,b,g,h)" На какво е равно това? Това е равно на – ако изнесем пред скоби k, това е равно на k по това. Значи това е равно на k по детерминантата на матрицата А. Значи резултатът работи и в трите случая. Просто избрах средния ред. Но те насърчавам да избереш други редове и да видиш какво ще се получи. Хайде да го направим за общия случай. Защото ти дадох само конкретни примери, а искам да ти показвам доказателствата за общия случай, когато те не са твърде сложни. Нека да имаме матрица n x n. Нека имаме матрицата А. Нека матрицата А е n x n. Можеш да го запишеш ето така. Това е първият ред, това е първият стълб – а11, после а12, и така нататък до a1n. Ще избера тук един произволен ред, който ще умножа по скалар. Слизаме ето тук. Да кажем, че този ред е ai1, ai2 и така нататък до ain. Това е един ред, който ще използвам за определяне на детерминантата. Спомни си, че можем да използваме всеки ред, за да получим детерминантата. И след това продължаваме. Получаваме аn1, an2 и така нататък до ann. Това е най-общото представяне на една матрица n x n. Сега да намерим нейната детерминанта, значи детерминантата на А. Ще използвам ето този ред. На какво е равна детерминантата на А? Да си спомним модела на шахматната дъска. Не знаем къде сме на шахматната дъска, защото избрахме произволен ред. Но можем да използваме общата формула за знака, който се определя от (–1)^i... не знаем дали i е четно или нечетно – така че ще бъде (i + 1) за този първи член. Това е знакът му. Това получаваме от модела на шахматната дъска. Искам да поясня това. То изглежда сложно, но това е просто шахматна дъска. По този член тук, значи по аi1, така че коефициентът аi1, а после по подматрицата на този елемент. (Трябва да се умножи по детерминантата на съответната подматрица. Сал не забелязва, че греши и повтаря същата грешка до края на доказателството Спомни си как получаваме подматрицата. Зачеркваме този ред и този стълб и тя е всичко, което остава. Значи по подматрицата Аi1 на елемента ai1. След това плюс – просто продължаваме – плюс (–1)^(i + 2) по ai2 по неговата подматрица и продължаваме така нататък до плюс (–1)^(i + n) по ai. Ние сме в n-ия стълб, и после по подматрицата му. Това е матрица с размери (n – 1) х (n – 1). Всички тези матрици ще имат такъв размер. И това е детерминантата на матрицата А. Можем да я представим с помощта на знака сигма. Това ще опрости малко нещата. Значи детерминантата на А можем да представим като сумата от j = 1 до j... ще го запиша явно – е равно на n (–1) на степен (i + j) по аij, и после всяка от подматриците Aij. Това нещо ето тук е просто друг начин да запишем това, което бях записал ето тук. И взимаме сумата. Взимаме j = 1 и го заместваме ето тук. Получаваме този член ето тук. Взимаме j = 2 и ги събираме. Получаваме този член ето тук. Продължаваме по същия начин. Взимаме j = n. Получаваме този член ето тук. Значи тези двете са еквивалентни. Какво се случва, ако имам някаква нова матрица? Ще копирам и ще поставя сегашната матрица. Ще я копирам и ще я поставя. Всъщност ще копирам и ще поставя всичко. Това ще ни спести време. Копирам. Сега ще поставя, ето така. Ще дефинирам новата матрица А' (прим). Това пак е матрица n x n. Но сега този ред, който използвах, за да определя детерминантата, ще го умножа по числото k. Значи ще стане k по ai1, k по ai2 и така нататък... k па ain. Коя е детерминантата на матрицата А'? Ще използваме отново този ред. Сега обаче вместо ai1 ще имаме k по ai1, вместо ai2 ще имаме k по ai2 и така нататък, вместо ain ще имаме k по ain. Значи детерминантата просто ще е равна на същото нещо, но вместо навсякъде да имаме aij, сега ще имаме k по aij. Това е детерминантата на А', която е равна на... Можем да изнесем тази константа пред скоби. Тя не съдържа в себе си нито i, нито j. Тя не съдържа j по-точно, така че можем просто да я изнесем пред скоби. Равно е на k по сумата от (–1) на степен (i + j), по Аij, за j = 1 до j = n. Това е коефициентът. Това е (детерминантата на) подматрицата за всеки от тези коефициенти aij. Забележка: По-късно Сал забелязва допуснатата грешка и прави следващо видео, за да го обясни. Това тук е матрица, която е с размери (n – 1) х (n – 1). И сега веднага виждаш, че... мисля, че разбираш какво се случва – това ето тук е просто детерминантата на А. Така че получаваме резултат, в който детерминантата на А' е равен на k по детерминантата на А. Така ти показах, че в общия случай, ако е дадена една матрица n x n, и ако умножим само един от нейните редове, не цялата, само един от редовете ѝ по някакъв скаларен множител, то получената детерминанта ще е равна на оригиналната детерминанта по k. Аз споменах това в началото на видеото. Какво ще се случи, ако умножим... Колко е детерминантата на k по А? Сега умножаваме всеки ред по k. Друг начин да си го представим, е че умножаваме n реда по k. Значи правим това n пъти. Ако умножим k по себе си n пъти, какво получаваме? Получаваме k^n. Значи това ще е равно на k^n по детерминантата на А. Ако умножим само един ред, тогава имаме k по детерминантата на матрицата А. Ако умножим още един, втори ред, тогава получаваме k по k, по детерминантата на матрицата А. Ако умножим трети ред, ще получим k^3 по детерминантата на А. Четвърти ред – k^4 по детерминантата на А. Ако умножим всички n реда, получаваме k^n по детерминантата на А. Надявам се, че това ти беше интересно. Препоръчвам ти да опиташ тези други начини. Опитай се да използваш един стълб и виж какво се получава.