Основно съдържание

Курс: Въведение в математическия анализ > Раздел 3

Урок 8: Умножение и деление на комплексни числа в тригонометричен вид

Тригонометричен вид на комплексни числа: преговор

Преговори тригонометричния вид на комплексните числа и го използвай, за да умножаваш, делиш и да намираш степени на комплексни числа.

Какво е полярна форма?

r (\cos θ + i \sin θ)

Полярната фома на комплексните числа подчертава техните графични свойства:

абсолютна стойност

(разстоянието от числото до началото на комплексната равнина) и

ъгъл

(ъгълът между числото и положителната посока на реалната ос). Те се наричат също и с термините

модул

аргумент

Забележи, че ако разкрием скобите в тригонометричния вид, ще получим алгебричния вид на числото:

Искаш ли да научиш повече за полярната форма на комплексните числа? Виж това видео.
Искаш ли да научиш повече за различните форми на представяне на комплексните числа? Виж този урок.
Искаш ли да научиш повече за преобразуването между правоъгълна и полярна форма? Виж този урок.

Упражнение 1: Умножение и деление в полярна форма

Полярната форма е особено полезна при умножение и деление на комплексни числа:

\begin{aligned} z_{1} & = r_{1} (\cos θ_{1} + i \sin θ_{1}) \\ z_{2} & = r_{2} (\cos θ_{2} + i \sin θ_{2}) \\ ⇓ \\ z_{1} z_{2} & = r_{1} r_{2} [\cos (θ_{1} + θ_{2}) + i \sin (θ_{1} + θ_{2})] \\ \frac{z_{1}}{z_{2}} & = \frac{r_{1}}{r_{2}} [\cos (θ_{1} - θ_{2}) + i \sin (θ_{1} - θ_{2})] \end{aligned}

Искаш ли да научиш повече за умножението и делението в полярна форма? Виж това видео.

Задача 1.1

w_{1} = 5 [\cos (15^{\circ}) + i \sin (15^{\circ})]

w_{2} = 3 [\cos (45^{\circ}) + i \sin (45^{\circ})]

w_{1} \cdot w_{2} =

Отговорът ти трябва да е в полярна форма. Ъгълът трябва да е посочен в градуси.

Искаш ли да опиташ още задачи като тази? Виж това упражнение.

Упражнение 2: Степени на комплексни числа в полярна форма

\begin{aligned} z_{1} & = r_{1} (\cos θ_{1} + i \sin θ_{1}) \\ ⇓ \\ (z_{1})^{n} & = (r_{1})^{n} [\cos (n \cdot θ_{1}) + i \sin (n \cdot θ_{1})] \end{aligned}

Пример 1

Да изчислим

(1 + \sqrt{3} i)^{6}

. Първо преобразуваме в полярна форма:

(1 + \sqrt{3} i) = 2 (\cos 60^{\circ} + i \sin 60^{\circ})

Сега използваме горното правило:

\begin{aligned} [2 (\cos 60^{\circ} + i \sin 60^{\circ})]^{6} \\ = (2)^{6} [\cos (6 \cdot 60^{\circ}) + i \sin (6 \cdot 60^{\circ})] \\ = 64 (\cos 360^{\circ} + i \sin 360^{\circ}) \\ = 64 (1 + i \cdot 0) \\ = 64 \end{aligned}

Пример 2

Да намерим решенията на уравнението

z^{3} = 27

. Най-напред определяме

r

θ

като абсолютната стойност и ъгъла на

z

. Така

z^{3}

е равно на

r^{3} [\cos (3 \cdot θ) + i \sin (3 \cdot θ)]

Числото

27

може да се запише като

27 [\cos (k \cdot 360^{\circ}) + i \sin (k \cdot 360^{\circ})]

От основното уравнение

z^{3} = 27

получаваме две уравнения:

r^{3} = 27

3 \cdot θ = k \cdot 360^{\circ}

Решението на първото уравнение е

r = 3

. Решението на второто уравнение е

θ = k \cdot 120^{\circ}

, което има три отделни решения:

0^{\circ}

120^{\circ}

240^{\circ}

. Те отговарят на следните три решения на основното уравнение:

\begin{aligned} z_{1} & = 3 \\ z_{2} & = - \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} i \\ z_{3} & = - \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3}}{2} i \end{aligned}

Задача 2.1

(\sqrt{2} + \sqrt{2} i)^{6} =

Искаш ли да опиташ още задачи като тази? Виж това упражнение.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.