Уравнения с комплексни корени: x³=1

В това видео се надявам да разберем защо експоненциалната форма на едно комплексно число е полезна. Да кажем, че искаме да решим уравнението х на трета степен е равно на 1. Искаме да намерим всички реални и/или комплексни корени на това уравнение. То е еквивалентно на х на трета минус 1 е равно на 0. Търсим всички реални и комплексни корени на това. Има начини да го направим и без експоненциалната форма на комплексните числа. Но в това видео ще представим един начин, който е приложим и за х на пета минус 1 или дори х на 13-та минус 1. Ще видим и обобщенията, които следват от диаграмите на Арган. Нека първо помислим за експоненциалното представяне на числото 1. Да кажем, че числото z е равно на 1. 1 също е комплексно число. То е реално число. И всички реални числа са също и комплексни. Те са подможество на комплексните и се намират на комплексната равнина. Те просто нямат имагинерна част. Нека го начертаем на диаграма на Арган. Това е реалната ос, а това е имагинерната. Отбелязвам ги: реална и имагинерна ос. Ще начертая z = 1. То има само реална част. Нека отбележа всички единици. Тук е –1. и –1 на имагинерната ос. Числото z изглежда така. Представям го като вектор от нулата до точката (1;0). Друг начин да го представим е като 1 + 0 по i. Сега да преобразуваме това в експоненциална форма. Модулът на z е ясен, той е равен на големината на този вектор. Има абсолютна стойност 1. Модулът е 1. Колко е аргументът (ъгълът) на z? Това е ъгълът между този вектор и положителната посока на реалната ос. Числото е на самата реална ос, то е положително реално число. Значи няма ъгъл. Аргументът на z е нула. Досега не беше много интересно, просто установихме, че 1 е равно на 1 по е на степен 0i. Tова е очевидно. Числото е, повдигнато на степен нула, защото 0i е равно на 0, е равно на 1 и 1 по 1 е 1. Няма нищо интересно. Но хубавото на този аргумент е, че той е нула радиана или прави пълно завъртане като добавим 2 пи и се върнем в същата точка. Аргументът на комплексното число 1 може да е ъгълът 2 пи, също и 4 пи или 6 пи, дори 8 пи. Можем да представим 1 като 1 по е или дори да пропусна 1, е на степен 2 пи по i или на степен 4 пи по i... Това е интересно, защото тогава това уравнение може да се запише по различни начини. Може да се запише като х на трета равно на 1, но също и х на трета равно на е на степен 2 пи по i. Също може да е х на трета равно на е на степен 4 пи по i. След малко ще видим защо това е толкова важно. Да повдигнем двете страни на всички тези уравнения на степен 1/3 и да намерим х. На степен 1/3 повдигам цялата лява част. Също и дясната. Просто повдигаме всичко на степен 1/3, за да решим всички тези уравнения за х. И тук на степен 1/3. Първото уравнение става х равно на 1 на степен 1/3, което е просто 1. Какво се получава с второто уравнение? То става х равно на е на степен 2/3 пи по i. В последното уравнение очевидно отляво е х, х на трета на степен 1/3 става х на първа. Ще използвам същото синьо. х е равно на е на степен 4/3 пи по i. Да помислим малко. Какво означава това? Колко е аргументът на пръв поглед? Тук имаме три различни корена. Ще ги нарека х1, х2 и х3. Те са три различни числа. Единият от корените е 1. Това е ясно. 1 е единият от кубичните корени на себе си. Но тези две числа са различни. Те са комплексни числа. Нека си ги представим. Какви аргументи и абсолютни стойности имат? Абсолютната стойност на х2 очевидно е 1, това е коефициентът пред е. Той е 1. Ще използвам същия цвят. Абсолютната стойност на х3 също е 1. Но колко е аргументът на х2? Колко е ъгъл φ, аргументът на това число? Той е 2/3 пи радиана. Как ще начертаем х2? Ъгълът е 2 пи върху 3. По-лесно ми е да си го представя в градуси. 2 пи е 360 градуса. 360 градуса, делено на 3 е 120 градуса. Значи нашето φ е 120 градуса. С 60 градуса преди полукръга. Ще изглежда така. Този ъгъл тук отговаря на аргумент 120 градуса, което е същото като 2/3 пи радиана. Абсолютната стойност е същата, ще използвам същите цветове. Това е х1. Отбелязано е в зелено тук. х2 е в лилаво тук. Абсолютната им стойност е еднаква. Просто завъртаме едното. Завъртаме на 120 градуса. А какво ще кажем за х3? Колко е неговият аргумент? Аргументът на х3 е 4 пи върху 3. Това е равно на 720 градуса върху 3, за да мислим в градуси. Колко е 720 делено на 3? 240? Имам 720. 240 по 3 е 720. Така е. Това е ясно. Чертая 240 градуса, като подмина 180 и добавя още 60 градуса. Това се намира тук. Ще го начертая така. Ето тук. Този ъгъл е 4/3 пи радиана, което е равно на 240 градуса. Отново неговата абсолютна стойност е същата. Видяхме, че кубичните корени на това реално число разделят окръжността, целите 360 градуса или целите 2 пи радиана, на три равни части. Това е едната трета. После имаме още 120 градуса. И накрая последните 120 градуса. Виждаме къде са трите корена. Ако това не ти изглежда като намиране на комплексни корени, нали не сме свикнали това или това да бъдат комплексни числа, обикновено са във формата а + bi, можем лесно да ги изведем от това. х2 е равно на косинус от 2/3 пи плюс i по синус от 2/3 пи. Като погледнеш графиката, можеш да разбереш откъде идва. Виж този правоъгълен триъгълник. Този ъгъл е 60 градуса, тук горе са 30 градуса, хипотенузата е 1, това е корен от 3 върху 2. Разстоянието тук е –1/2. х2 е равно на косинус от 2/3 пи, това е –1/2. Правилно ли е? Да, –1/2 плюс i по синус от 2/3 пи. Последното е тази височина, която е корен от 3 върху 2 по i. Това е х2. Можем да представим по същия начин и х3. х3 има същата реална част, която е –1/2, да намерим и имагинерната му част. Този ъгъл от отрицателната посока на реалната ос до вектора е –60 градуса. Тази височина е минус корен от 3 върху 2. Значи х3 е –1/2 минус корен от 3 върху 2 по i. По този начин успяхме да намерим трите комплексни кубични корена на 1. Това е единият от тях. Това е другият. И естествено, 1 също е корен. Къде го намерихме? Ето корена 1. Можеш да използваш този метод, за да намираш и корените при степен 4. Взимаме обиколката от 2 пи радиана или 360 градуса и я разделяме на 4. Това ще бъде така. Тук е i, тук е –1, тук –i. Знаем, че i на четвърта степен е 1. Като повдигнем –i на четвърта, също се получава 1. –1 на четвърта степен отново е 1. И очевидно 1 на четвърта е 1. Осмите корени от 1 можеш да намериш по същия метод. Може би ще попиташ защо спрях до е на степен 4 пи по i? Защо не продължих и със степен 6 пи по i, за да намеря още един кубичен корен? Да речем, че го бях направил. Може би щях да намеря още един корен. х на трета равно на е на степен 6 пи по i. Взимам двете страни на това уравнение и ги повдигам на степен 1/3. Това на степен 1/3 става е на степен 2 пи i. Колко е е на степен 2 пи i? Това се завърта обратно до 1. Затова добавянето на още 2 пи ни върна обратно до първия корен. Дори да бях взел е на степен 6 пи или на степен 8 пи, щях да се върна до същите корени. Винаги кубичните корени са само три, от каквото и число да са. Всичко повече от това е излишно, просто се повтаря.