Онагледяване на степени на комплексни числа

Започнахме нашето проучване на света на комплексните числа с въвеждането на измисленото число $i$‍, което е решение на уравнението $i^2=-1$‍. По-късно го представихме графично над оста на реалните числа, една единица над $0$‍. От графиките в предишния урок виждаме защо тази точка е естествено място на число, чийто квадрат е $-1$‍.

Виж как умножението по $i$‍ завърта на ${90}^{\circ }$‍ спрямо началото:

Можеш да си го обясниш със свойствата на $i$‍: абсолютна стойност $1$‍ и ъгъл ${90}^{\circ }$‍ или с това, че такова завъртане е единственият начин да завъртим координатната система (като началото остава в $0$‍), за да поставим $1$‍ на първоначалното място на $i$‍.

Какво ще се случи, ако умножим всичко от равнината по $i$‍ два пъти?

Това действие отговаря на завъртане със ${180}^{\circ }$‍ около началото, което е умножение по $-1$‍. Това е логично, защото умножаването два пъти по $i$‍ означава умножаване по $i^2$‍, което е $-1$‍.

Интересно е да помислим как ако бяхме опитали да поставим $i$‍ на друго място, запазвайки свойството му да отговаря на определението си $i^2=-1$‍, нямаше да получим толкова ясно онагледяване на комплексното умножение.

Да се поупражним още малко с последователно умножаване по дадено комплексно число.

Дадено е числото $z=1+i\sqrt{3}$‍ с абсолютна стойност $\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=2$‍ и ъгъл ${60}^{\circ }$‍. Какво ще се получи, ако умножим всичко в равнината по $z$‍ три пъти един след друг?

Всичко ще се увеличи по коефициента $2$‍ три пъти, значи общо се увеличава по $2^3=8$‍. По същия начин, три пъти последователно ще се завърти с по ${60}^{\circ }$‍, което прави общо завъртане от ${180}^{\circ }$‍. Накрая резултатът ще е същият като умножение по $-8$‍, следователно $(1+i\sqrt{3}{)}^3=-8$‍.

Можем да получим същия резултат и с алгебрични преобразувания:

Сега да умножим всичко от равнината по $(1+i)$‍ осем последователни пъти:

Тъй като големината на $1+i$‍ е

$|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$‍,

То всичко ще се мащабира с осем пъти по $\sqrt{2}$‍, което е общо мащабиране по $(\sqrt{2}{)}^8=2^4=16$‍.

Тъй като ъгълът на $(1+i)$‍ е ${45}^{\circ }$‍, то общото завъртане на равнината е $8\cdot {45}^{\circ }={360}^{\circ }$‍, което е същото като да не направим никакво завъртане. Следователно $(1+i{)}^8=16$‍.

Можем да видим същото и чрез алгебра:

Сега да си зададем въпроса в обратна посока: има ли такова число $z$‍, за което като умножим всичко от равнината по $z$‍ пет пъти един след друг, то всичко ще си бъде на същото място? Или, с други думи, можем ли да решим уравнението $z^5=1$‍? Един очевиден отговор е $z=1$‍, но нека да опитаме да намерим и други такива числа.

Най-напред да заключим, че големината на такова число трябва да е $1$‍: ако тя е по-голяма от $1$‍, то равнината все ще се разширява, докато ако е по-малка от $1$‍, то тя ще се стеснява. При завъртането обаче имаме друг филм, тъй като се иска да се стигне до началното положение след няколкото завъртания. Това може да стане с ъгъл на завъртане от ${\displaystyle \frac{1}{5}}$‍ от целия кръг, ето така:

$5$‍ последователни такива завъртания ще ни върнат в началното положение.

Числото, което завърта равнината по такъв начин, е $\cos ({72}^{\circ })+i\sin ({72}^{\circ })$‍, тъй като ${\displaystyle \frac{{360}^{\circ }}{5}}={72}^{\circ }$‍.

Има и други решения, например завъртане от ${\displaystyle \frac{2}{5}}$‍ от целия кръг:

или ${\displaystyle \frac{1}{5}}$‍ от кръга, но в обратна посока:

Всъщност решенията на уравнението образуват красив петоъгълник на единичната окръжност:

С уравнението $z^6=-27$‍ се търси комплексно число $z$‍, за което като умножим равнината $6$‍ последователни пъти по него, то тя ще се увеличи по $27$‍ и завърти с ${180}^{\circ }$‍, тъй като минусът отговаря на завъртане от ${180}^{\circ }$‍.

Число, което ще мащабира равнината по $27$‍ след $6$‍ умножения, трябва да има големина $\sqrt[6]{\phantom{A}27}=\sqrt{3}$‍, а един от начините на завъртане, по който да се получат ${180}^{\circ }$‍ след $6$‍ приложения, е да се завърти по ${\displaystyle \frac{{180}^{\circ }}{6}}={30}^{\circ }$‍. Следователно едно от решенията на уравнението $z^6=-27$‍ е числото

Но то има и други възможни решения! Всъщност тези решения образуват правилен шестоъгълник по окръжността с радиус $\sqrt{3}$‍:

Виждаш ли защо е така?

Нека да обобщим последните два примера. Ако са ни дадени стойностите за $w$‍ и $n$‍ и се търси да намерим $z$‍, както в последния пример имахме $n=6$‍ и $w=-27$‍, то най-напред намираме тригонометричното представяне на числото $w$‍:

Това означава, че ъгълът на числото $z$‍ е ${\displaystyle \frac{\theta }{n}}$‍ и неговата големина е $\sqrt[n]{\phantom{A}r}$‍, защото по този начин умножението по $z$‍ общо $n$‍ последователни пъти ще доведе до завъртане с ъгъл $\theta$‍ и мащабиране по $r$‍, каквото ще се случи и при умножение по $w$‍. Имаме:

За да намерим и останалите решения на уравнението използваме това, че ъгълът $\theta$‍ може да се вземе и като $\theta +2\pi$‍ или $\theta +4\pi$‍ или $\theta +2k\pi$‍ за всяко цяло число $k$‍, тъй като те всички отговарят на един и същ ъгъл. Това е важно за нас, тъй като стойността на ${\displaystyle \frac{\theta }{n}}$‍ може да се промени, като на мястото на $\theta$‍ сложим $\theta +2\pi k$‍ преди да разделим. Всички решения ще имат следната форма:

за някоя целочислена стойност на $k$‍. Тези решения ще са различни, когато $k$‍ е в интервала от $0$‍ до $n-1$‍ включително. За $k=n$‍ можем да забележим, че ъгълът ${\displaystyle \frac{\theta +2n\pi }{n}}={\displaystyle \frac{\theta }{n}}+2\pi$‍ става равен на ${\displaystyle \frac{\theta }{n}}$‍, защото разликата им е в едно пълно завъртане. Следователно намираме всички решения на уравнението, като вземем за стойности на $k$‍ целите числа в интервала от $0$‍ до $n-1$‍ включително.