Повдигане на степен на комплексни числа и графично представяне

Дадено ни е комплексното число z равно на минус 1 плюс i по корен квадратен от 3. Да се изрази числото z на четвърта степен в тригонометричен и алгебричен вид. Постави видеото на пауза и опитай да отговориш самостоятелно. Добре, сега да решим задачата заедно. Първо да помислим колко е абсолютната стойност (модулът) на z. Знаем, че модулът ще е равен на корен квадратен от: реалната част на квадрат плюс корен квадратен от 3 (имагинерната част на квадрат). Значи това е минус 1 на квадрат, плюс корен квадратен от 3 на квадрат, което е равно на 1 плюс 3. Квадратен корен от 4 е равно на 2. Следващият интересен въпрос е: колко е аргументът на z? Причината да правя всичко това е, че след като представим числото в тригонометричен вид, ще ни бъде много по-лесно да си представим какво означава да повдигаме комплексно число на различни степени. След това можем отново да го превърнем в алгебричен вид. Ще начертая друга комплексна равнина. Това е имагинерната ос. Това е реалната ос. Ако трябва да начертаем числото z, то ще изглежда така: на реалната ос имаме минус 1. Да кажем, че минус 1 е ето тук. Имаме корен квадратен от 3 спрямо имагинерната ос. Значи точката, съответстваща на числото z, е ето тук. Знаем, че разстоянието от началото на комплексната равнина, т.е. модулът, знаем, че това разстояние ето тук е 2. Знаем, че това разстояние ето тук е корен квадратен от 3. Знаем, че това разстояние ето тук е 1. Вероятно веднага разпознаваш, че това е триъгълник с ъгли 30-60-90, в който късият катет е половината от хипотенузата, а дългият катет е корен квадратен от 3 по късата страна. Следователно този ъгъл е 60 градуса. Знаем, че това е ъгълът от 30 градуса. Причината това да ни е полезно е... извинявам се, трудно се вижда, че това е 30 градуса. Причината това да ни е полезно, ако този ъгъл е 60 градуса, знаем, че аргументът тук трябва да е 120 градуса. Значи аргументът на z е 120 градуса. По този начин ние представихме числото z в тригонометричен вид. Ще го запиша ето тук. Можем да запишем, че z е равно на неговия модул 2, по косинус от 120 градуса плюс i по синус от 120 градуса. Можем да покажем z и ето тук. Това е модулът 2. Това е половината разстояние до 4, а аргументът е 120 градуса. Това ни довежда ето тук. Това е мястото на z. Колко ще бъде z на втора степен? Когато умножаваме комплексни числа, които сме представили в тригонометричен вид, знаем, че трябва да умножим техните модули, значи това тук ще бъде 2 на квадрат. Това тук става 4. След това събираме аргументите. Това означава, че имаме завъртане на z с още 120 градуса, защото го умножаваме по z. (по самото него) Значи това ще бъде косинус от 240 градуса, плюс i по синус от 240 градуса. После отново, 2 по 2 е равно на 4. 120 градуса плюс 120 градуса дава 240 градуса. И къде ще се намира числото z на квадрат? Аргументът му е 240 градуса, а модулът му е 4. Значи сега е два пъти по-далече от началото на комплексната равнина. Сега да помислим колко е... ще използвам нов цвят – на колко е равно z на трета степен. То е равно на z на квадрат по z. Значи ще умножим 2 по този модул. (показва на екрана) Това е равно на 8. После имаме ротация на z на квадрат на 120 градуса. Значи косинус от 360 градуса плюс i по синус от 360 градуса. Така получаваме модул 8 и аргумент 360 градуса, който е равен на 0 градуса. Значи се намираме ето тук. (поставя червена точка) Това е числото z на трета степен. Мисля, че се досещаш какво се случва тук. Колко е z на четвърта степен? Само ще се преместя малко, за да имам повече място за работа. z на четвърта степен. Добре, просто ще взема този модул ето тук, тъй като ще умножа z по z на трета степен. Ще умножа този модул по 2 и получаваме 16. После ще прибавя още 120 градуса. Мога да запиша косинус от 480 градуса, но 360 градуса е равно на 0 градуса. Така че мога да кажа, че това са нула градуса. Ако добавя към тях 120 градуса, получавам косинус от 120 градуса плюс i по синус от 120 градуса. Значи аргументът ни отново е равен на 120 градуса, но сега модулът е 16. Имаме 4, 8, 12, 16, този външен кръг ето тук. Ето тук е z на четвърта степен. (поставя синя точка) Вече сме почти на финала. Току-що представихме z на четвърта степен в тригонометричен вид. Сега да видим какъв е алгебричният му вид. За наша радост, вече знаем колко е косинус от 120 градуса и синус от 120 градуса. Можем, ако имаме желание, да построим още един триъгълник с ъгли 30-60-90 ето тук. Хипотенузата има дължина 16 единици. Късата страна е половината от тази дължина, така че тя е с дължина 8 единици. След това дългата страна е корен квадратен от 3, по късата страна. Това е 8 по корен квадратен от 3. Ако искаме да представим z на четвърта степен в алгебричен вид, реалната му част е минус 8, плюс i по 8, по корен квадратен от 3. Задачата е решена!