If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:6:12

Видео транскрипция

Нека преговорим дефиницията за тригонометричните функции. Тук начертах единична окръжност и когато кажем единична окръжност, имаме предвид окръжност с радиус 1. Например, тази точка ето тук е точката (1; 0). х е равно на 1, у е равно на 0. Тази точка е точката (0; 1). Това е точката (-1; 0) и това е точката (0; -1). Радиусът ето тук, разстоянието от центъра на окръжността, което е в началната точка на всяка точка в окръжността или която и да е точка на окръжността, този радиус е равен на 1. Дефиницията на единичната окръжност за тригонометричните функции е свързана с тази единична окръжност и затова се нарича дефиниция на единичната окръжност, като видяхме, че ако дефинираме, че един ъгъл има долна част по положителната х ос и другата му страна, мислим къде се пресича това с единичната окръжност. Да кажем, че това е ъгълът тита. Дефинираме синуса на тита и косинуса на тита или косинуса тита и синуса тита като х и у координатите на тази точка, при които тази страна на ъгъла, тази страна не е положителната х ос, където това се пресича с единичната окръжност. Да вземем за пример тази точка ето тук. Ще наречем това, х координатата на тази точка, тази стойност ето тук, наричаме това косинус на тита. у координатата на тази точка, което е тази точка ето тук, наричаме това синус на тита. В предишни видеа за единичната окръжност говорихме защо това е просто естествено продължение на определението сох-ках-тоа. Полезно е, че започва да върши работа за отрицателни ъгли, дори върши работа за 90-градусови ъгли, върши работа за ъгли по-големи от 90 градуса, върши работа за ъгли по-малки от 90 градуса, така че е много, много, много полезно. Искам да свържа това, което вече знаем за определението на единичната окръжност за тригонометричните функции, за да ни помогне да докажем основното тригонометрично тъждество. Почти излиза от факта, че тази точка ето тук е на окръжността, окръжност с радиус 1. Какво е уравнението за окръжност с радиус 1, центрирана в началната точка на координатната система? Уравнението за това е х на квадрат, х на квадрат... Имаме други видеа, в които доказваме това, като използваме формулата за разстояние, което е просто приложение на Питагоровата теорема. Уравнението за единична окръжност, центрирана в началната точка на координатната система е х на квадрат плюс у на квадрат е равно на 1, равно на радиуса на квадрат. Разстоянието ето тук е равно на 1. Вече казахме, че дефинираме косинуса на тита като х координатата на тази точка и дефинираме синуса на тита като у координатата на тази точка и тази точка стои на окръжността. Трябва да задоволи тази взаимовръзка ето тук. Това означава, че дефинираме косинуса на тита да е х, да е тази х стойност, синуса на тита да е у стойността и това трябва да задоволи тази взаимовръзка, което означава че косинусът на тита на квадрат плюс синусът на тита на квадрат трябва да е равно на 1. Или синус тита на квадрат плюс косинус тита на квадрат трябва да е равно на 1. Това е просто от точката. Това е х, косинус тита и х координатата, синус тита е у координатата. Те трябва да задоволят тази взаимовръзка, която дефинира една окръжност като косинус на квадрат тита плюс синус на квадрат тита е 1. Това се нарича, както сме виждали в други видеа, това се нарича основно тригонометрично тъждество. Може би се питаш защо това е полезно. Като използваме това, ако знаеш синуса на тита, можеш да откриеш какъв ще е косинусът на тита и обратно. И ако знаеш едно от косинус тита и после можеш – да кажем, че знаеш косинус тита, после го използваш, за да откриеш синус тита, после можеш да откриеш тангенса на тита, понеже тангенсът на тита е просто синус върху косинус. Ако се обърка защо това се нарича основно тригонометрично тъждество, е, това идва от това откъде е дошло уравнението за окръжност. Ако погледнем тази точка тук, гледаме тази точка тук, която казваме, че е х координатата и е косинус тита и у координатата е синус тита, какво е разстоянието между тази точка и началната точка на координатната система? За да помислим за това, можем да построим един правоъгълен триъгълник. Това разстояние ето тук. За да можем да работим с всеки квадрант, ще го направя абсолютната стойност на косинус тита е това разстояние ето тук. И това разстояние ето тук е абсолютната стойност на синус тита. Очевидно не трябва да взимам абсолютната стойност за този първи квадрант тук, но ако отидех в другите квадранти и поставех подобен правоъгълен триъгълник, тогава абсолютната стойност влиза в работа. Какво знаем от Питагоровата теорема? Това тук е правоъгълен триъгълник, тази хипотенуза има дължина 1, така че знаем, че този израз на квадрат, абсолютната стойност на косинус тита на квадрат, плюс този израз на квадрат, което е тази дължина, плюс абсолютната стойност на синус тита на квадрат, трябва да е равно на дължината на хипотенузата на квадрат, което е същото нещо, което ще е равно на 1 на квадрат. Или можем да кажем, че това е същото нещо. Ако ще повдигаш нещо, знакът, ако е отрицателен, това ще е отрицателен по отрицателен, така че това просто ще стане положителен, така че това ще е същото нещо като да кажем, че косинусът тита на квадрат плюс синуса тита не квадрат е равно на 1. Ето защо се нарича основно тригонометрично тъждество. Всъщност, оттам идва уравнението за окръжност, то произлиза директно от Питагоровата теорема, при която хипотенузата има дължина 1.
Кан Академия – на български благодарение на сдружение "Образование без раници".