Въведение към схемата на Хорнер за деление на многочлени

В този израз делим този полином от трета степен на този полином от първа степен. И можем да опростим това, като използваме традиционното алгебрично дълго деление. Но в това видео ще говорим за малко по-различна техника, която наричаме синтетично деление или правило на Хорнер. И синтетичното деление ще изглежда малко като вуду магия в контекста на това видео. В следващите няколко видеа ще помислим защо това е логично, защо получаваш същия резултат като при традиционното алгебрично дълго деление. Личните ми предпочитания не включват синтетично деление, понеже това е много, много, много алгоритмично. Предпочитам да правя традиционно алгебрично дълго делене. Но мисля, че ще видиш, че това има някои преимущества. Може да е по-бърз метод. И използва по-малко място. Нека извършим това синтетично деление. Нека опростим този израз. Преди да започнем, има две неща, които да помним. Извършваме най-основния вид синтетично деление. И за да извършим този най-основен алгоритъм, този най-основен процес, трябва да гледаш за две неща в този долния израз. Първото е, че това трябва да е полином от степен 1. Трябва да имаш просто х. Не трябва да е х на квадрат, х на трета, х на четвърта или нещо подобно. Другото нещо е, че коефициентът тук е 1. Има начини да извършим това, ако коефициентът беше различен, но тогава към синтетичното си деление ще трябва да добавим някои допълнителни детайли. Като цяло, тук ще ти покажа как това ще работи, ако имаш нещо във вида 'х плюс или минус нещо друго'. Като казахме това, нека на практика извършим синтетичното деление. Първото нещо, което ще направя, е да запиша всички коефициенти за този полином, които са в числителя. Нека запишем всички тях. Имаме 3. Имаме 4, това е +4. Имаме -2. И имаме -1. Ще видиш различните хора да пишат различни видове знаци тук, в зависимост от това как извършват синтетичното деление. Но това е най-традиционният. И ще искаш да оставиш малко място тук за друг ред числа. Ето защо слязох чак тук. И после гледаме знаменателя. И, в частност, гледаме х плюс или минус каква стойност имаме тук. Виждаме, че тук имаме +4. Вместо да пишем +4, ще запишем отрицателната стойност на това. Пишем отрицателната стойност, която ще е -4. И сега сме готови и можем да извършим синтетичното си деление. Това ще изглежда като вуду магия. В бъдещи видеа ще обясним защо това работи. Първо, този първи коефициент буквално ще го свалим право надолу. И поставяш това 3 тук. После умножаваш това, което имаш тук, по -4. Умножаваш го по това -4. 3 по -4 е -12. После добавяш това 4 към това -12. 4 плюс -12 е -8. И после умножаваш -8 по това -4. Мисля, че виждаш модела. -8 по -4 е +32. Сега събираме -2 с +32. Това ни дава 30. После умножаваш това 30 по това -4. И това ти дава -120. И после събираш това -1 с това -120. И получаваш -121. Последното нещо, което трябва да направиш, е да си кажеш: "Тук имам един член." С тази проста версия на синтетичното деление си имаме работа само когато имаме х плюс или минус нещо. Така че там ще имаш само един член. Изваждаш единия член отдясно, ето така. И имаме отговора си, въпреки че изглежда като вуду магия. За да опростим това – аплодисменти – това ето тук ще е константата. Можеш да мислиш за нея като за член без степен. Това ще е членът от първа степен. Това ще е членът х от втора степен. Можеш да надграждаш оттук, като кажеш, че първото ще е константа. После това ще е член х, това ще е х^2. Ако имаше повече, тогава щеше да имаш х^3, х^4 и така нататък. Това ще е равно на 3х^2 - 8х + 30. И това тук можеш да разгледаш като остатъка, тоест -121, върху (х + 4). Това не се раздели перфектно. И това върху (х + 4). Друг начин да направиш това е да кажеш, че това е остатъкът. Така че ще имам -121 върху (х + 4). И това ще е 30 - 8х + 3х^2. Надявам се, че виждаш логиката на това. Ще направя друг пример в следващото видео. И тогава ще помислим защо това работи.