Въведение в параболи

В това видео ще говорим за една от най-разпространените криви, които ще срещаш в математиката, и това е параболата. Думата парабола звучи сложно, но ще видим, че тя описва нещо, което е доста просто. По отношение на това защо е наречена парабола има множество обяснения. Тя идва от корена на гръцката дума "para", подобно на думата паралел. Коренът на думата означава "да разглеждаш нещо отстрани", "разглеждаш нещо по дължината му". "Bola" -- същият корен когато говорим за балистичен, за хвърляне на нещо. Така че можеш да го тълкуваш като нещо до, покрай, нещо което е било хвърлено. Как това е свързано с криви като тази? Веднага си представям мислено, че това е траекторията, това е пътят, който е доста добро приближение на пътя на предмети, които са били хвърлени. Когато изучаваш физика, ще определяш приблизително като парабола пътя, изминат от някакви тела, които са били хвърлени. Така че може би това е обяснение за произхода, но има и други възможни обяснения защо това се нарича парабола. Това е било изгубено в историята. Но какво точно е парабола? В бъдещи клипове ще я описваме малко по-алгебрично. В този просто ще добием представа за това как изглеждат параболите и ще се запознаем с някои термини, свързани с параболата. Това са 3 криви, като всички те са нарисувани на ръка, това са варианти на парабола и ти веднага можеш да забележиш някои интересни неща, свързани с тях. Две от тях са отворени нагоре - жълтата и розовата, а третата е отворена надолу. Ще чуваш хората да казват неща като отворени отдолу, отворени надолу или отдолу, или отворени нагоре, така че е добре да знаеш за какво говорят, като това е надявам се доста очевидно. Отворена нагоре - параболата е отворена към горния край на чертежа. Тук е отворена към долната част на чертежа. Това прилича на буквата U, обърната правилно нагоре. Това тук прилича на обърната надолу буква U. Тази розовата ще бъде отворена нагоре. Друг термин, който ще срещаш, свързан с параболата, ние в бъдеще ще учим как да изчисляваме тези неща и да ги намираме точно, е върхът. Върхът би трябвало да бъде разглеждан като максималната или минималната точка на една парабола. Ако една парабола е отворена нагоре като тези двете отдясно, върхът е минималната точка. Върхът е минималната точка, така че ако някой пита какъв е върхът на тази жълтата парабола? определяме: координатата х е 3,5, Изглежда, че координатата у е около минус 3,5. Когато започнем да представяме тези неща аналитично с алгебрични изрази, ще имаме техники за изчисляването им по-точно, но върхът върхът на другата парабола, отворена нагоре, е минималната ѝ точка. Тя е най-ниската точка. Параболата, отворената нагоре, няма максимална точка. Тя просто продължава да нараства, когато х става по-голямо в положителната или отрицателната посока. Ако параболата е отворена надолу, тогава върхът ѝ ще бъде максималната точка. Във връзка с върха на параболата трябва да представим и нейната ос на симетрия. Когато говорим за две измерения, макар да е възможно и при 3 измерения, но особено в две измерения, можеш да си представиш права, през която можеш да обърнеш графиката, така че тя при сгъване да съвпадне със себе си. Оста на симетрия за тази жълтата графика тук, за тази жълтата парабола, ще бъде тази права. Трябва да я начертая малко по-добре. Ще бъде тази права ето тук. Можеш да прегънеш по тази права и параболата ще съвпадне. Тази права -- не съм я начертал ясно колкото трябва -- ще минава директно през върха, така че, за да я опишем, казваме, че правата е х равно на 3,5. Оста на симетрия за тази розова парабола би трябвало да минава през правата х равно на минус 1, така че нека я начертая. Това е оста на симетрия. Тя минава през върха и ако прегънеш параболата през нея, тя съвпада. Оста на симетрия за тази зелената? Тя би трябвало да минава през върха. Изглежда, че тя е при х равно на минус 6. Нека го запиша Това е оста на симетрия. Друга концепция, която не се отнася единствено за параболите, но ще говорим много за нея във връзка с параболите, са пресечните точки. Когато хората казват "пресечна точка с оста у" като си виждал това, когато за първи път си чертал прави е било указано къде правата пресича оста у, или къде е пресечната точка с оста у Пресечната точка с оста у на тази жълтата права ще бъде там. Тя се намира в точката (0; 3), (0; 3). Пресечната точка с у за розовата е точно ето там. Поне на този чертеж не виждаме пресечната точка с у но тя евентуално ще пресече оста у. Просто се намира далеч от този екран. Може също да си запознат с термина пресечна точка с оста х, като той е особено интересен при параболите, както ще видим в бъдеще. Пресечната точка с х е мястото, където графиката пресича оста х. Жълтата парабола го прави на две места, като тук нещата стават интересни. Правите най-често ще пресичат оста х само веднъж, но тук виждаме, че една парабола може да пресича оста х два пъти, защото се извива обратно, за да я пресече отново, така че тук пресечните точки с оста х ще бъдат точката (1; 0) и (6; 0). Вече може да си забелязал нещо интересно. Пресечните точки с оста х са симетрични около оста на симетрия, те би трябвало да са на еднакво разстояние от оста на симетрия и ти можеш да видиш, че наистина са. Те и двете са на разстояние точно 2 и половина от тази ос на симетрия, така че ако знаеш къде се намират пресечните точки, можеш да кажеш, къде е средната точка на координатите х и тогава ще имаш оста на симетрия, координатата х на оста на симетрия и координатата х на действителния връх. Подобно, пресечната точка с оста х тук изглежда, че е отрицателна, точките са (-7; 0) и (-5; 0). А координатата х на върха или оста на симетрия се намира точно между тези две точки. Това няма голямо значение, защото не всяка парабола ще пресича оста х. Погледни розовата отворена нагоре парабола, най-ниската й точка се намира над оста х, така че никога няма да пресече действителната ос х, така че параболата няма да има никакви пресечни точки с х. Ще спра до тук. Това всъщност са основните идеи или основните нагледни теми, свързани с параболите и ние ще ги обсъждаме много по-подробно, когато ги представим аналитично с алгебрични изрази. Както ще видиш, тези алгебрични изрази ще включват членове от втора степен. Така че най-простата парабола ще бъде у е равно на х на квадрат, но тогава можеш да я усложниш малко. Можеш да имаш неща като у е равно на 2х на квадрат минус 5х плюс 7. Тези видове алгебрични изрази, наричани квадратни, са представени като цяло от параболи.