Основно съдържание

Курс: Основи на алгебрата > Раздел 7

Урок 6: Разлагане на квадратни изрази - 2

Разлагане на квадратни изрази: водещ коефициент ≠ 1

Научи как да разлагаш квадратни изрази като произведение на два линейни бинома. Например 2x²+7x+3=(2x+1)(x+3).

Какво трябва да знаеш преди този урок

Методът на групиране може да се използва за разлагане на многочлени с

4

члена, като изнесем общите членове на няколко пъти. Ако това е нещо ново за теб, ще ти е от полза да разгледаш нашия урок Въведение към разлагане чрез групиране.

Преди да продължиш, ти препоръчваме също така да прегледаш урока за разлагане на квадратни изрази с водещ коефициент 1.

Какво ще научиш в този урок

В този урок ще използваме групиране, за да разложим квадратен израз с водещ коефициент, различен от

1

, като

2 x^{2} + 7 x + 3

Пример 1: Разлагане на $2 x^{2} + 7 х + 3$ ‍

Тъй като водещият коефициент в израза

(2 x^{2} + 7 x + 3)

2

, не можем да го разложим чрез метода с произведение от сборове.

Вместо това, за да разложим

2 x^{2} + 7 x + 3

, трябва да намерим две цели числа, произведението на които е

2 \cdot 3 = 6

(водещият коефициент, умножен по константния член), и сборът им е

7

(коефициентът на

x

Тъй като

1 \cdot 6 = 6

1 + 6 = 7

, двете числа са

1

6

Можем да създадем списък на всички числа, произведението от които е

6

. След това в рамките на този списък търсим числата, чийто сбор е

7

Произведение: $m \cdot n = 6$ ‍	‍	Сума: $m + n = 7$ ‍
$1 \cdot 6 = 6$ ‍		$1 + 6 = 7$ ‍
$2 \cdot 3 = 6$ ‍		$2 + 3 = 5$ ‍
$(- 1) \cdot - (6) = 6$ ‍		$(- 1) + (- 6) = - 7$ ‍
$(- 2) \cdot (- 3) = 6$ ‍		$\begin{aligned} (- 2) + (- 3) = 5 \end{aligned}$ ‍

Тези две числа ни подсказват как да разбием члена

x

в първоначалния израз. Така че можем да преобразуваме нашия многочлен така

2 x^{2} + 7 x + 3 = 2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3

Сега можем да използваме групиране, за да разложим многочлена:

\begin{aligned} 2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3 & = (2 x^{2} + 1 x) + (6 x + 3) & Групирай членовете & = x (2 x + 1) + 3 (2 x + 1) & Намери НОД & = x (2 x + 1) + 3 (2 x + 1) & Общ делител! & = (2 x + 1) (x + 3) & Изнеси 2 x + 1 \end{aligned}

Разложеният вид е

(2 x + 1) (x + 3)

Да предположим, че записахме многочлена като

2 x^{2} + 6 x + 1 x + 3

и след това групирахме, както следва:

$\begin{aligned} 2 x^{2} + 6 x + 1 x + 3 & = (2 x^{2} + 6 x) + (1 x + 3) & Групирай членовете \end{aligned}$ ‍

Обърни внимание, че тази група също ще доведе до правилното разлагане.

$\begin{aligned} = 2 x (x + 3) + 1 (x + 3) & Намери най-големият общ множител \\ = 2 x (x + 3) + 1 (x + 3) & Общ множител! \\ = (x + 3) (2 x + 1) & Изнеси x + 3 \\ = (2 x + 1) (x + 3) & Умн. е комутативно \end{aligned}$ ‍

Стига да намериш правилния начин да раздробиш члена

x

, няма значение коя част поставяш в първата група и коя поставяш във втората група.

Можем да проверим нашата работа, като покажем, че при обратно умножение отново се получава

2 x^{2} + 7 x + 3

Обобщение

По принцип можеш да използваш следните стъпки, за да разложиш квадратен израз от вида

a x^{2} + b x + c

Започни, като намериш две числа, чието произведение е $a c$ ‍ и чийто сбор е $b$ ‍.
Използвай тези числа, за да разделиш члена, който съдържа $x$ ‍.
Използвай групиране, за да разложиш квадратния израз.

Провери знанията си

1) Разложи $3 x^{2} + 10 x + 8$ ‍.

За да разложим

3 x^{2} + 10 x + 8

, трябва да намерим две цели числа с произведение

3 \cdot 8 = 24

и сума

10

Можем да създадем списък на всички числа, чието произведение е

24

. След това в рамките на този списък търсим числата, чийто сбор е

10

Произведение: $m \cdot n = 24$ ‍	‍	Сума: $m + n = 10$ ‍
$1 \cdot 24 = 24$ ‍		$1 + 24 = 25$ ‍
$2 \cdot 12 = 24$ ‍		$2 + 12 = 14$ ‍
$3 \cdot 8 = 24$ ‍		$3 + 8 = 11$ ‍
$4 \cdot 6 = 24$ ‍		$4 + 6 = 10$ ‍

(Обърни внимание, че тук не трябва да включваме отрицателните множители, тъй като те ще ни дадат отрицателен сбор!)

Сега можем да разбием члена

10 x

на

4 x + 6 x

и да използваме групиране, за да разложим многочлена:

\begin{aligned} 3 x^{2} + 10 x + 8 \\ = 3 x^{2} + 4 x + 6 x + 8 \\ = (3 x^{2} + 4 x) + (6 x + 8) & Групирай членовете \\ = x (3 x + 4) + 2 (3 x + 4) & Намери най-големия общ множител \\ = x (3 x + 4) + 2 (3 x + 4) & Общ множител! \\ = (3 x + 4) (x + 2) & Изнеси пред скоби (3 x + 4) \end{aligned}

Разложеният вид е

(3 x + 4) (x + 2)

2) Разложи $4 x^{2} + 16 x + 15$ ‍.

За да разложим

4 x^{2} + 16 x + 15

, трябва да намерим две цели числа с произведение

4 \cdot 15 = 60

и сума

16

Можем да създадем списък на всички числа, които при умножение дават

60

. След това в рамките на този списък търсим числата, които при сумиране ще дадат

16

Произведение: $m \cdot n = 60$ ‍	‍	Сума: $m + n = 16$ ‍
$1 \cdot 60 = 60$ ‍		$1 + 60 = 61$ ‍
$2 \cdot 30 = 60$ ‍		$2 + 30 = 32$ ‍
$4 \cdot 15 = 60$ ‍		$4 + 15 = 19$ ‍
$5 \cdot 12 = 60$ ‍		$5 + 12 = 17$ ‍
$6 \cdot 10 = 60$ ‍		$6 + 10 = 16$ ‍

(обърни внимание, че тук не включваме отрицателните множители, тъй като те ще ни дадат отрицателна сума!)

Сега можем да разбием члена

16 x

на

6 x + 10 x

и да използваме групиране, за да разложим многочлена:

\begin{aligned} 4 x^{2} + 16 x + 15 & = 4 x^{2} + 6 x + 10 x + 15 & = (4 x^{2} + 6 x) + (10 x + 15) & Групирай членовете & = 2 x (2 x + 3) + 5 (2 x + 3) & Намери НОД & = 2 x (2 x + 3) + 5 (2 x + 3) & Общ делител! & = (2 x + 3) (2 x + 5) & Разложи 2 x + 3 \end{aligned}

Разложеният вид е

(2 x + 3) (2 x + 5)

Пример 2: Разлагане на $6 x^{2} - 5 x - 4$ ‍

За да разложим

6 x^{2} - 5 x - 4

, трябва да намерим две цели числа с произведение

6 \cdot (- 4) = - 24

и сума

- 5

Тъй като

3 \cdot (- 8) = - 24

3 + (- 8) = - 5

, числата са

3

- 8

Можем да създадем списък на всички числа, които при умножение дават

- 24

. След това в рамките на този списък търсим числата, които при сумиране ще дадат

- 5

Произведение: $m \cdot n = - 24$ ‍	‍	Сума: $m + n = - 5$ ‍
$1 \cdot (- 24) = - 24$ ‍		$1 + (- 24) = - 23$ ‍
$- 1 \cdot 24 = - 24$ ‍		$- 1 + 24 = 23$ ‍
$2 \cdot (- 12) = - 24$ ‍		$2 + (- 12) = - 10$ ‍
$- 2 \cdot 12 = - 24$ ‍		$- 2 + 12 = 10$ ‍
$3 \cdot (- 8) = - 24$ ‍		$3 + (- 8) = - 5$ ‍
$- 3 \cdot 8 = - 24$ ‍		$- 3 + 8 = 5$ ‍
$4 \cdot (- 6) = - 24$ ‍		$4 + (- 6) = - 2$ ‍
$- 4 \cdot 6 = - 24$ ‍		$\begin{aligned} - 4 + 6 = 2 \end{aligned}$ ‍

Сега можем да запишем члена

- 5 x

като сума от

3 x

- 8 x

и да използваме групиране, за да разложим многочлена:

$\begin{aligned} 6 x^{2} + 3 x - 8 x - 4 \\ (1) & = (6 x^{2} + 3 x) + (- 8 x - 4) & Групирай членовете \\ (2) & = 3 x (2 x + 1) + (- 4) (2 x + 1) & Намери най-големият общ множител \\ (3) & = 3 x (2 x + 1) - 4 (2 x + 1) & Опрости \\ (4) & = 3 x (2 x + 1) - 4 (2 x + 1) & Общ множител! \\ (5) & = (2 x + 1) (3 x - 4) & Изнеси пред скоби (2 x + 1) \end{aligned}$ ‍

Разложеният вид е

(2 x + 1) (3 x - 4)

Можем да проверим нашата работа, като покажем, че при обратното умножение се получава

6 x^{2} - 5 x - 4

Обърни внимание: В стъпка

(1)

по-горе, забележи, че понеже третият член е отрицателен, един "+" е вмъкнат между групите, за да запази израза еквивалентен на първоначалния израз. Също така в стъпка

(2)

беше необходимо да намерим отрицателен най-голям общ множител от втората група, за да намерим общия множител

(2 x + 1)

. Внимавай със знаците!

Провери знанията си

3) Разложи $2 x^{2} - 3 x - 9$ ‍.

За да разложим

2 x^{2} - 3 x - 9

, трябва да намерим две цели числа с произведение

2 \cdot (- 9) = - 18

и сума

- 3

Можем да създадем списък на всички числа, чието произведение е

- 18

. След това в рамките на този списък търсим числата, чийто сбор е

- 3

Произведение: $m \cdot n = - 18$ ‍	‍	Сума: $m + n = - 3$ ‍
$(- 1) \cdot 18 = - 18$ ‍		$(- 1) + 18 = 17$ ‍
$1 \cdot (- 18) = - 18$ ‍		$1 + (- 18) = - 17$ ‍
$(- 2) \cdot 9 = - 18$ ‍		$(- 2) + 9 = 7$ ‍
$2 \cdot - (9) = - 18$ ‍		$2 + (- 9) = - 7$ ‍
$(- 3) \cdot 6 = - 18$ ‍		$(- 3) + 6 = 3$ ‍
$3 \cdot (- 6) = - 18$ ‍		$3 + (- 6) = - 3$ ‍

Сега можем да разбием члена

- 3 x

на

3 x - 6 x

и да използваме групиране, за да разложим многочлена:

\begin{aligned} 2 x^{2} - 3 x - 9 \\ = 2 x^{2} + 3 x - 6 x - 9 \\ = (2 x^{2} + 3 x) + (- 6 x - 9) & Групирай членовете \\ = x (2 x + 3) + (- 3) (2 x + 3) & Намери най-големия общ множител \\ = x (2 x + 3) - 3 (2 x + 3) & Опрости \\ = x (2 x + 3) - 3 (2 x + 3) & Общ множител! \\ = (2 x + 3) (x - 3) & Изнеси пред скоби (2 x + 3) \end{aligned}

Разложеният вид е

(2 x + 3) (x - 3)

4) Разложи $3 x^{2} - 2 x - 5$ ‍.

За да разложим

3 x^{2} - 2 x - 5

, трябва да намерим две цели числа с произведение

3 \cdot (- 5) = - 15

и сума

- 2

Можем да създадем списък на всички числа, които при умножение дават

- 15

. След това в рамките на този списък търсим числата, които при сумиране ще дадат

- 2

Произведение: $m \cdot n = - 15$ ‍	‍	Сума: $m + n = - 2$ ‍
$(- 1) \cdot 15 = - 15$ ‍		$(- 1) + 15 = 14$ ‍
$1 \cdot - (15) = - 15$ ‍		$1 + - (15) = - 14$ ‍
$(- 3) \cdot 5 = - 15$ ‍		$(- 3) + 5 = 2$ ‍
$3 \cdot (- 5) = - 15$ ‍		$3 + (- 5) = 2$ ‍

Сега можем да разбием члена

- 2 x

на

- 5 x 3 x

и да използваме групиране, за да разложим многочлена:

\begin{aligned} 3 x^{2} - 2 x - 5 \\ = 3 x^{2} - 5 x + 3 x - 5 \\ = (3 x^{2} - 5 x) + (3 x - 5) & Групирай членовете \\ = x (3 x - 5) + 1 (3 x - 5) & Намери най-големия общ множител \\ = x (3 x - 5) + 1 (3 x - 5) & Общ множител! \\ = (3 x - 5) (x + 1) & Изнеси пред скоби (3 x - 5) \end{aligned}

Разложеният вид е

(3 x - 5) (x + 1)

5) Разложи $6 x^{2} - 13 x + 6$ ‍.

За да разложим

6 x^{2} - 13 x + 6

, трябва да намерим две цели числа с произведение

6 \cdot 6 = 36

и сума

- 13

Можем да създадем списък на всички числа, които при умножение дават

36

. След това в рамките на този списък търсим числата, които при сумиране ще дадат

- 13

Тъй като сумата на числата е отрицателна, ние трябва да мислим само за случаите, когато и двата делителя са отрицателни.

Произведение: $m \cdot n = 36$ ‍	‍	Сума: $m + n = - 13$ ‍
$(- 1) \cdot (- 36) = 36$ ‍		$(- 1) + (- 36) = - 37$ ‍
$(- 2) \cdot (- 18) = 36$ ‍		$(- 2) + (- 18) = 20$ ‍
$(- 3) \cdot (- 12) = 36$ ‍		$(- 3) + (- 12) = - 15$ ‍
$(- 4) \cdot (- 9) = 36$ ‍		$(- 4) + (- 9) = - 13$ ‍
$(- 6) \cdot - (6) = 36$ ‍		$(- 6) + (- 6) = 12$ ‍

Сега можем да разбием члена

- 13 x

на

- 4 x - 9 x

и да използваме групиране, за да разложим полинома:

\begin{aligned} 6 x^{2} - 13 x + 6 \\ = 6 x^{2} - 4 x - 9 x + 6 \\ = (6 x^{2} - 4 x) + (- 9 x + 6) & Групирай членовете \\ = 2 x (3 x - 2) + (- 3) (3 x - 2) & Намери най-големия общ множител \\ = 2 x (3 x - 2) - 3 (3 x - 2) & Опрости \\ = 2 x (3 x - 2) - 3 (3 x - 2) & Общ множител! \\ = (3 x - 2) (2 x - 3) & Изнеси пред скоби (3 x - 2) \end{aligned}

Разложеният вид е

(3 x - 2) (2 x - 3)

Кога е полезен този метод?

Ясно е, че методът е полезен за разлагане на квадратни изрази от вида

a x^{2} + b x + c

, дори и когато

a \neq 1

Но не винаги е възможно квадратният израз от този вид да се разложи чрез нашия метод.

Например да вземем израза

2 x^{2} + 2 x + 1

. За да го разложим, трябва да намерим две цели числа с произведение

2 \cdot 1 = 2

и сума

2

. Колкото и да опитваш, няма да намериш две такива цели числа.

Следователно нашият метод не действа за

2 x^{2} + 2 x + 1

и за куп други квадратни изрази.

Полезно е да се помни обаче, че ако този метод не дава резултат, това означава, че изразът не може да бъде разложен като

(A x + B) (C x + D)

, където

A

B

C

D

са цели числа.

Защо този метод действа?

Нека да анализираме по-задълбочено това защо този метод изобщо има успех. Ще трябва да използваме цял куп букви за целта, но моля имай търпение!

Да предположим, че общият квадратен израз

a x^{2} + b x + c

може да се разложи като

(A x + B) (C x + D)

с целите числа

A

B

C

D

Когато разкрием скобите, получаваме квадратния израз

(A C) x^{2} + (B C + A D) x + B D

Тъй като този израз е еквивалентен на

a x^{2} + b x + c

, съответстващите коефициенти в двата израза трябва да бъдат равни! Това ни дава следната връзка между всички неизвестни букви:

(\underset{a}{\underset{⏟}{A C}}) x^{2} + (\underset{b}{\underset{⏟}{B C + A D}}) x + (\underset{c}{\underset{⏟}{B D}})

Сега нека да определим

m = B C

n = A D

(\underset{a}{\underset{⏟}{A C}}) x^{2} + (\underset{b}{\underset{⏟}{\overset{m}{\overset{⏞}{B C}} + \overset{n}{\overset{⏞}{A D}}}}) x + (\underset{c}{\underset{⏟}{B D}})

Според това определение...

m + n = B C + A D = b

m \cdot n = (B C) (A D) = (A C) (B D) = a \cdot c

И така

B C

A D

са двете цели числа, които винаги търсим, когато използваме този метод на разлагане!

След намирането на

m

n

следващата стъпка в метода е да представим

(b)

, коефициентът пред

x

, според

m

n

и да разложим, като използваме групиране.

Да, ако представим членът, съдържащ

x

(B C + A D) x

, като

(B C) x + (А D) x

, ще можем да използваме групиране, за да преобразуваме нашия израз обратно в

(A x + B) (C x + D)

\begin{aligned} (A C) x^{2} + (B C + A D) x + B D \\ = A C x^{2} + B C x + A D x + B D & Разкрий скобите и умножи \\ = (A C x^{2} + B C x) + (A D x + B D) & Групирай членовете \\ = (A x + B) (C x) + (A x + B) (D) & Намери най-големия общ множител \\ = (A x + B) (C x + D) & Изнеси пред скоби (A x + B) \end{aligned}

Нека обобщим, в този раздел ние...

започнахме с общия развит израз $a x^{2} + b x + c$ ‍ и неговото общо разлагане $(A x + B) (C x + D)$ ‍,
успяхме да намерим две числа $m$ ‍ и $n$ ‍, които са такива, че $m n = a c$ ‍ и $m + n = b$ ‍ $($ ‍направихме това, като дефинирахме $m = B C$ ‍ и $n = A D)$ ‍,
представихме съдържащия $x$ ‍ член, $b x$ ‍, като $m x + n x$ ‍ и успяхме да разложим развития израз обратно до $(A x + B) (C x + D)$ ‍.

Този процес показва защо ако един израз наистина може да бъде разложен като

(A x + B) (C x + D)

, с нашия метод гарантирано ще открием това разлагане.

Благодаря за издръжливостта!

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Основи на алгебрата

Курс: Основи на алгебрата > Раздел 7

Какво трябва да знаеш преди този урок

Какво ще научиш в този урок

Пример 1: Разлагане на х2x2+7х+3‍

Обобщение

Провери знанията си

Пример 2: Разлагане на 6x2−5x−4‍

Провери знанията си

Кога е полезен този метод?

Защо този метод действа?

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Пример 1: Разлагане на $2 x^{2} + 7 х + 3$ ‍

Пример 2: Разлагане на $6 x^{2} - 5 x - 4$ ‍