Диференциране на параметрични уравнения

Това, което ни е дадено в тази задача, е х, дефинирано като функция на t, и у, дефинирано като функция на t. Ако трябва да изобразиш всички стойности t, то щеше да получиш доста приятно изображение, точно като ето това. Ако заместиш t = 0, ще получиш на какво са равни х и у. За t = 1., отново ще намериш на какво са равни х и у. И така за всички останали стойности на t. Така ще получиш тази приятно изглеждаща графика. Целта на настоящия урок обаче не е само да оцени колко е хубава графиката или кривите, зададени чрез параметрични уравнения. Всъщност искаме да използваме математически анализ, за да намерим производната, т.е. производната на у спрямо х. Или производната на у спрямо х (dy/dx), когато параметърът t е равен на минус 1/3. И ако имаш много ентусиазъм, те насърчавам да спреш видеото и да се опиташ да решиш задачата самостоятелно. Готов съм да я решим заедно, в случай, че не можеш самостоятелно, или просто искаш аз да го направя. Добре, ключовото в задачата е как ще намериш производната спрямо х, т.е. производната dy/dx спрямо х, когато и двете променливи са дефинирани като функция на t. Основното е да разбереш, че производната на у спрямо х ще бъде равна на производната на у спрямо t, върху производната на х спрямо t. Ако можеше да видиш тези диференциали като числа, това действително би изчерпало въпроса математически. Решението няма да е строго, ако го направиш по този начин, но това е лесен начин да си представиш действителната логика на решението. Производната на нещо спрямо нещо друго е равна на производната на у спрямо t, върху производната на х спрямо t. Добре, а това как ни помага? Е, може да намерим производната на х спрямо t и производната на у спрямо t. Производната на х спрямо t ще бъде равна на следното. Нека да видим. Имаме производната на външната функция спрямо вътрешната. Ще бъде равно на 2 по синус... Опа! Производната на синус е косинус. Получава се 2 по косинус от 1 плюс 3 по t, умножено по производната на вътрешната функция спрямо t. Производната на 1 е равна на 0. Производната на 3 по t спрямо t е равна на 3. Тоест, по 3. И този израз е равен на производната на х спрямо t. Просто приложих верижното правило. Производната на външната функция 2 по синус от нещо, спрямо вътрешната. Тоест, производната на функцията отвън 2 по синус от нещо спрямо 1 плюс 3 по t, което е този израз ето тук. И след това производната на вътрешната функция спрямо t, което е равно само на 3. Сега следва производната на у спрямо t, която се получава малко по-лесно. Производната на у спрямо t. Просто ще приложим правилото за намиране производна на степен. 3 пъти по 2 е равно на 6, по t на степен 3 минус 1, т.е. се получава 6 по t на квадрат. Тогава dy/dx ще бъде равно на 6 по t на квадрат – 6 по t на квадрат – върху следното. В този израз имаме 2 по 3, така че се получава 6 по косинус от 1 плюс 3 по t. Шестиците се съкращават и остава само t на квадрат върху косинус от 1 плюс 3 по t. Интересува ни моментът, когато t е равно на минус 1/3. Когато t е равно на минус 1/3, то производната ще бъде равна на минус 1/3 на квадрат. Минус 1/3 на квадрат, върху косинус от 1 плюс... 3 по минус 1/3 е равно на минус 1, т.е. 1 плюс –1, и се получава косинус от 0. А косинус от 0 е равно на 1. Следователно този израз се опростява до плюс 1/9. Нека да видим сега дали може да визуализираме какво се случва на графиката. Нека да начертая една малка таблица ето тук. Ще изобразя... т.е. ще мисля за t, х и у. t, х и у. Когато t е равно на минус 1/3, х ще бъде равно на синус от 0, т.е. х ще бъде равно на 0. А у ще бъде равно на минус 2 върху 27. Следователно разглеждаме точката (0; –2/27). Това е ето тази точка тук. Това е точката, в която искаме да намерим наклона на допирателната. Получихме, че наклонът е равен на 1/9. Наклонът е равен на 1/9. Възможен начин да мислиш за това е, ако се преместим до едно, две, три, четири и половина, а след това се преместим с половин деление нагоре. Ако искахме да начертаем допирателната в тази точка, би изглеждала по следния начин. Като нещо такова. По подобен начин. Като нещо такова. Нека да проверим. Имаме едно, две, три, четири и половина. Това е което се е получило и е начертано с висока точност. Следователно това е, което току-що намерихме. Намерихме, че наклонът на допирателната точно в тази точка е равен на 1/9. Мисля, че не само е приятно да го видим, но и предполагам, че е полезно.