If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:5:02

Диференцируемост в точка: аналитично зададена функция (функцията е диференцируема)

Видео транскрипция

Определи дали дадената функция е непрекъсната или диференцируема в точката x = 3? Функцията е частично определена и имаме няколко възможности. Непрекъсната, недиференцируема. Диференцируема, прекъсната. Непрекъсната и диференцируема. Нито непрекъсната, нито диференцируема. Една от тези възможности можем да изключим още в началото. За да бъде диференцируема една функция, тя трябва да е непрекъсната. Не може да е диференцируема, но да е прекъсната. Така че нека просто да изключим тази възможност. Нека сега да помислим за непрекъснатост. Ако функцията наистина не е непрекъсната, тогава няма да бъде диференцируема. Нека да помислим върху това за малко. За да бъде непрекъсната функцията, f от... Използвам по-тъмен цвят. f(3) трябва да е равно на границата за f(x), когато x клони към 3. На какво е равно f(3)? Е, нека да видим. Намираме се в този интервал ето тук. защото x = 3. Тогава 6*3 е 18. Минус 9 е 9, така че това е 9. Границата на f(x), когато x клони към 3 трябва да е равно на 9. Нека да помислим за границата, когато се приближаваме от лявата страна. Търсим граница, когато x клони към 3. Граница от f(x), когато x клони към 3 от лявата страна. Когато x е по-малко от 3, се намираме в този интервал, така че функцията f(x) просто ще бъде равна на x^2. В този интервал функцията е дефинирана и непрекъсната за всички реални числа, така че можем просто да заместим x = 3. Това ще бъде равно на 9. На какво е равна границата, когато x клони към 3 от дясната страна? Е, когато се приближаваме отдясно, това нещо ето тук, което е f(x), е равно на 6x – 9. Следователно просто записваме 6x – 9. И още веднъж, 6x – 9 е дефинирана и непрекъсната за всички реални числа, така че можем просто да заместим 3 в израза за функцията и ще получим 18 – 9. Това също е равно на 9. Следователно дясната и лявата страна, т.е. лявата и дясна граници са равни на 9, което е равно на стойността на функцията там. Следователно функцията определено е непрекъсната. Така че можем да изключим тази възможност ето тук. А сега нека да помислим за диференцируемост. За да бъде диференцируема... Диференцируема, просто ще го запиша. Диференцируема. За да бъде диференцируема, границата на функцията, когато x клони към 3, границата на f(x) – f(3) върху x – 3 трябва да съществува. Нека да видим дали можем да я изчислим. Първо, знаем на какво е равно f(3). Вече изчислихме границата за f(3). Това ще бъде 9. Нека да видим дали можем да изчислим границата, или нека да видим на какво е равна границата, когато x клони към 3 от лявата страна. Ако двете граници клонят към едно и също нещо, тогава същото нещо, към което клонят е граница. Нека първо да помислим за границата, когато x клони към 3 от лявата страна. В знаменател стои x – 3, а в числителя е f(x) – 9. Когато обаче се приближаваме от лявата страна, това е f(x), като x е по-малко от 3 и функцията f(x) e равна на x^2. Следователно на мястото на f(x) – 9, ще запиша x^2 – 9. x^2 – 9 е разлика от квадрати, така че това е (x + 3)*(x – 3). (x + 3)*(x – 3) Тези ще се съкратят. Можем да кажем, че е равно на x + 3 и x е различна стойност от 3. Това е добре, защото се приближаваме отляво. Когато се приближаваме отляво, x + 3 е дефинирано за всички реални числа. Тогава функцията е непрекъсната за всички реални числа, така че може просто да заместим числото 3. Ще получим 6. Нека сега да се опитаме да изчислим границата, когато се приближаваме от дясната страна. Още веднъж, имаме f(x), но когато се приближаваме от дясната страна f(x) е равно на 6x – 9. Това е функцията f(x). Тогава имаме минус f(3), което е 9. Получава се 6x – 18. 6x – 18 Това е същото нещо като 6*(x – 3) и, когато се приближаваме отдясно, това просто ще бъде равно на 6. Следователно изглежда, че производната съществува в тази точка, и е равна на границата, когато x клони към 3, като резултат, защото всичко това е равно на 6. Защото границата, към която x клони отляво и отдясно, е равна на 6. Изглежда, че функцията е непрекъсната и диференцируема.