Правило за диференциране на степени (преобразуване на израза)

Целта на този урок е да се упражним в използването на правилото за намиране производна на степен. Да кажем, че търсим производната спрямо x на функцията 1/x. На какво ще бъде равна? Спри видеото и се опитай да я намериш самостоятелно. Отначало може да попиташ, "Как се прилага правилото за намиране производна на степен тук?" Правилото за намиране производна на степен, просто да си припомним, ни казва, че ако търсим производната на x^n спрямо x, ако търсим производната на това, това ще бъде равно на, вземаме степенния показател, изнасяме го отпред, доказали сме го в други уроци, но това ще бъде n по x на степен, която намаляваме. Така че, на степен (n – 1). Но това не изглежда по този начин и ключът тук е да се досетим, че 1/x е същото нещо като x^(–1). Следователно това ще бъде производната спрямо x на x^(–1). Сега това изглежда много повече като това, което ти е познато, където това ще бъде равно на вземане на степенния показател, изнасянето му отпред, така че –1, умножено по x^(–1 – 1), –1 минус 1 И това ще бъде равно на –x^(–2), и сме готови. Нека да решим друг пример. Да кажем, че имаме функцията f(x) е равно на корен трети от x и искаме да намерим на какво е равна f'(x). Спри видеото и отново се опитай да решиш задачата самостоятелно. Може би още веднъж ще попиташ, "Хей, как да намеря производната на подобно нещо, особено ако си мисля, че правилото за намиране производна на степен може да е полезно?". Идеята е да представиш това като степен, като запишеш трети корен като x^(1/3). Следователно производната е: вземаш 1/3, изнасяш го отпред, така че 1/3 умножено по x^(1/3 – 1). И това ще бъде 1/3 умножено по x^(1/3 – 1), което е –2/3, степен –2/3, и сме готови. Надявам се, че чрез тези упражнения ще разбереш, че правилото за намиране на производна на степен е изключително важно. Може да се справиш с много по-голям обхват от производни, отколкото си представяш. Нека да решим друг пример, като го направя наистина приятен и интересен. Да кажем, че искаме да намерим производната спрямо x на корен трети от x^2, т.е. cbrt(x^2) (корен трети от x^2). Как ще изглежда това? И действително, нека се опитаме не само да намерим производната, но и да намерим производната за x = 8. Спри видеото отново и провери дали можеш да се справиш самостоятелно. Първо ще намерим какво е това, след което ще го пресметнем за x = 8. Ключовото тук е да се досетим, че това е същото нещо и просто ще направим това, което направихме тук, за производната спрямо x. Вместо да казваме трети корен от x^2, може да кажем, че това е (x^2)^(1/3), което е същото нещо като производната спрямо x от... x^2, но ако повдигна нещо на степен и след това повдигна цялото на степен, мога просто да образувам произведението на двете степени. И това ще бъде x^(2 . 1/3), или на степен 2/3. Сега това просто ще е равно на... ще го направя ето тук, като изнеса 2/3 отпред, 2/3 умножено по x, а колко е 2/3 – 1? Това е 2/3 – 3/3 или ще стане степен –1/3. Сега искаме да разберем какво се случва за x = 8, така че нека го пресметнем. Това ще бъде 2/3 умножено по x, който е 8, на степен –1/3. Колко е 8^(1/3)? 8^(1/3) ще бъде равно на 2, така че 8^(–1/3) е 1/2. Всъщност нека направя това стъпка по стъпка. Това ще бъде равно на 2/3 по... може да го запишем по следния начин, (1/8)^(1/3). Получава се, че това е просто 1/2, 2/3 умножено по 1/2, а това просто ще бъде равно на 1/3 и сме готови.