Основно съдържание

Гимназиална геометрия

Курс: Гимназиална геометрия > Раздел 9

Урок 3: Обем и лице на повърхнина

Формули за обем - преговор

Преглед на формулите за обем на призма, цилиндър, пирамида, конус и сфера.

Може би на пръв поглед изглежда, че има голям брой формули за пресмятане на обем на тела, но по същество повечето от тях имат сходна логика и структура.

Призми и подобни на призми тела

start text, О, б, е, м, end text, start subscript, start text, п, р, и, з, м, а, end text, end subscript, equals, left parenthesis, start color #0c7f99, start text, л, и, ц, е, т, о, space, н, а, space, о, с, н, о, в, а, т, а, end text, end color #0c7f99, right parenthesis, dot, left parenthesis, start color #ca337c, start text, в, и, с, о, ч, и, н, а, т, а, end text, end color #ca337c, right parenthesis

Винаги измерваме височината на призмата перпендикулярно на равнината на основата ѝ. Това се отнася дори и за призми, които са наклонени.

Правоъгълна призма

Често първо се изучава как се пресмята обема на правоъгълна призма (по-точно на права правоъгълна призма), например чрез изграждане на призмата с кубчета.

Обърни внимание, че произволна стена на правоъгълната призма може да бъде нейна основа, ако измерим височината на призмата перпендикулярно на тази стена.

\begin{aligned} \text{Обем}_{\text{правоъгълна призма}}&=(\blueE{\text{Лице}_{\text{правоъгълник}}})\cdot (\maroonD{\text{височина}})\\\\ &=\left(\blueE{(\text{основа на правоъгълника})(\text{височина на правоъгълника})}\right)\cdot (\maroonD{\text{височина на призмата}})\\\\ &=\blueE{lw}\maroonD{h} \end{aligned}

Триъгълна призма

Триъгълната призма има основа с форма на триъгълник.

\begin{aligned} \text{Обем}_{\text{триъгълна призма}}&=(\blueE{\text{Лице}_{\text{триъгълник}}})\cdot (\maroonD{\text{височина}})\\\\ &=\left(\blueE{\dfrac{1}{2}(\text{основа на триъгълника})(\text{височина на триъгълника})}\right)\cdot (\maroonD{\text{височина на призмата}})\\\\ &=\blueE{\dfrac{1}{2}bh}\maroonD{\ell} \end{aligned}

Цилиндър

Кръгов цилиндър наричаме подобно на призма тяло, чиято основа е с форма на кръг.

\begin{aligned} \text{Обем}_{\text{кръгов цилиндър}}&=(\blueE{\text{Лице}_{\text{кръг}}})\cdot (\maroonD{\text{височина}})\\\\ &=(\blueE{\pi \cdot (\text{радиус})^2})\cdot (\maroonD{\text{височина}})\\\\ &=\blueE{\pi r^2}\maroonD{h} \end{aligned}

Наклонена призма

В наклонената призма основите лежат в успоредни равнини,

Изчисляваме обема по съвсем същия начин съгласно принципа на Кавалиери.

Кой израз дава обема на наклонената правоъгълна призма?

(Избор А)
2, dot, 1, comma, 5, dot, 5
(Избор Б)
2, dot, 1, comma, 5, dot, 4, dot, 5
(Избор В)
2, dot, 1, comma, 5, dot, 4

Пирамиди и подобни на пирамиди тела

start text, О, б, е, м, end text, start subscript, start text, п, и, р, а, м, и, д, а, end text, end subscript, equals, start color #7854ab, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, end color #7854ab, left parenthesis, start color #0c7f99, start text, л, и, ц, е, space, н, а, space, о, с, н, о, в, а, т, а, end text, end color #0c7f99, right parenthesis, dot, left parenthesis, start color #ca337c, start text, в, и, с, о, ч, и, н, а, end text, end color #ca337c, right parenthesis

Височината на пирамидата също измерваме перпендикулярно на равнината на основата. Съгласно принципа на Кавалиери същата формула за обем може да се използва и за права пирамида, и за наклонена пирамида.

Правоъгълна пирамида

Правоъгълната пирамида има основа с форма на правоъгълник.

\begin{aligned} \text{Обем}_{\text{правоъгълна пирамида}}&=\purpleD{\dfrac{1}{3}}(\blueE{\text{Лице}_{\text{правоъгълник}}})\cdot (\maroonD{\text{височина}})\\\\ &=\purpleD{\dfrac{1}{3}}\left(\blueE{(\text{дължина на правоъгълника})(\text{широчина на правоъгълника})}\right)\cdot (\maroonD{\text{височина на пирамидата}})\\\\ &=\purpleD{\dfrac{1}{3}}\blueE{lw}\maroonD{h} \end{aligned}

Конус

Кръгов конус наричаме подобно на пирамида тяло, чиято основа е с форма на кръг.

\begin{aligned} \text{Обем}_{\text{кръгов конус}}&=\purpleD{\dfrac{1}{3}}(\blueE{\text{Лице}_{\text{кръг}}})\cdot (\maroonD{\text{височина}})\\\\ &=\purpleD{\dfrac{1}{3}}(\blueE{\pi \cdot (\text{радиус})^2})\cdot (\maroonD{\text{височина}})\\\\ &=\purpleD{\dfrac{1}{3}}\blueE{\pi r^2}\maroonD{h} \end{aligned}

Сфера

start text, О, б, е, м, end text, start subscript, start text, с, ф, е, р, а, end text, end subscript, equals, start color #a75a05, start fraction, 4, divided by, 3, end fraction, end color #a75a05, pi, left parenthesis, start color #0c7f99, start text, р, а, д, и, у, с, end text, end color #0c7f99, right parenthesis, cubed

[Откъде идва тази формула?]

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.