Основно съдържание

Курс: Гимназиална геометрия > Раздел 9

Урок 3: Обем и лице на повърхнина

Формули за обем - преговор

Преглед на формулите за обем на призма, цилиндър, пирамида, конус и сфера.

Може би на пръв поглед изглежда, че има голям брой формули за пресмятане на обем на тела, но по същество повечето от тях имат сходна логика и структура.

Призми и подобни на призми тела

{Обем}_{призма} = (лицето на основата) \cdot (височината)

Винаги измерваме височината на призмата перпендикулярно на равнината на основата ѝ. Това се отнася дори и за призми, които са наклонени.

Правоъгълна призма

Често първо се изучава как се пресмята обема на правоъгълна призма (по-точно на права правоъгълна призма), например чрез изграждане на призмата с кубчета.

Обърни внимание, че произволна стена на правоъгълната призма може да бъде нейна основа, ако измерим височината на призмата перпендикулярно на тази стена.

\begin{aligned} {Обем}_{правоъгълна призма} & = ({Лице}_{правоъгълник}) \cdot (височина) \\ = ((основа на правоъгълника) (височина на правоъгълника)) \cdot (височина на призмата) \\ = l w h \end{aligned}

Триъгълна призма

Триъгълната призма има основа с форма на триъгълник.

\begin{aligned} {Обем}_{триъгълна призма} & = ({Лице}_{триъгълник}) \cdot (височина) \\ = (\frac{1}{2} (основа на триъгълника) (височина на триъгълника)) \cdot (височина на призмата) \\ = \frac{1}{2} b h ℓ \end{aligned}

Цилиндър

Кръгов цилиндър наричаме подобно на призма тяло, чиято основа е с форма на кръг.

\begin{aligned} {Обем}_{кръгов цилиндър} & = ({Лице}_{кръг}) \cdot (височина) \\ = (π \cdot (радиус)^{2}) \cdot (височина) \\ = π r^{2} h \end{aligned}

Наклонена призма

В наклонената призма основите лежат в успоредни равнини,

Изчисляваме обема по съвсем същия начин съгласно принципа на Кавалиери.

Кой израз дава обема на наклонената правоъгълна призма?

Пирамиди и подобни на пирамиди тела

{Обем}_{пирамида} = \frac{1}{3} (лице на основата) \cdot (височина)

Височината на пирамидата също измерваме перпендикулярно на равнината на основата. Съгласно принципа на Кавалиери същата формула за обем може да се използва и за права пирамида, и за наклонена пирамида.

Правоъгълна пирамида

Правоъгълната пирамида има основа с форма на правоъгълник.

\begin{aligned} {Обем}_{правоъгълна пирамида} & = \frac{1}{3} ({Лице}_{правоъгълник}) \cdot (височина) \\ = \frac{1}{3} ((дължина на правоъгълника) (широчина на правоъгълника)) \cdot (височина на пирамидата) \\ = \frac{1}{3} l w h \end{aligned}

Конус

Кръгов конус наричаме подобно на пирамида тяло, чиято основа е с форма на кръг.

\begin{aligned} {Обем}_{кръгов конус} & = \frac{1}{3} ({Лице}_{кръг}) \cdot (височина) \\ = \frac{1}{3} (π \cdot (радиус)^{2}) \cdot (височина) \\ = \frac{1}{3} π r^{2} h \end{aligned}

Сфера

{Обем}_{сфера} = \frac{4}{3} π (радиус)^{3}

Толкова се радвам, че попита! Да си представим сфера с радиус

r

. Да вземем сечението, което е перпендикулярно на вертикалния диаметър на сферата.

Съгласно питагоровата теорема радиусът

x

на напречното сечение на сферата в точка, отдалечена на

y

единици от центъра, е:

x = \sqrt{r^{2} - y^{2}}

Значи лицето на напречното сечение на сферата в тази височина е:

\begin{aligned} {Лице}_{кръгово сечение} & = π \cdot x^{2} \\ = π (r^{2} - y^{2}) \end{aligned}

Има друго тяло, което има една и съща площ на напречните сечения във всяка произволна точка от височината: прав кръгов цилиндър с радиус

r

и височина

2 r

, от който са отстранени два кръгови конуса. Всеки от конусите също има радиус

r

и височината им е

r

Радиусът на цилиндъра във всяка произволна точка от височината е

r

. По същия начин радиусът на напречните сечения на всеки от конусите в точка на разстояние

y

единици от върха е

y

Значи лицето на напречното сечение на сложното тяло в тази височина е:

\begin{aligned} {Лице}_{напречно сечение с форма на пръстен} & = π \cdot r^{2} - π \cdot y^{2} \\ = π (r^{2} - y^{2}) \end{aligned}

Съгласно принципа на Кавалиери, тъй като сферата и сложното тяло имат еднаква площ на напречните сечения при всяко разстояние

y

от центъра на тялото, то двете тела имат равни обеми.

\begin{aligned} {Обем}_{сложното тяло} \\ = {Обем}_{цилиндър} - 2 \cdot {Обем}_{конус} \\ = [π \cdot (радиус)^{2} \cdot (височина на цилиндъра)] - 2 \cdot [\frac{1}{3} π \cdot (радиус)^{2} \cdot (височина на конуса)] \\ = [π \cdot r^{2} \cdot 2 r] - 2 \cdot [\frac{1}{3} π \cdot r^{2} \cdot r] \\ = 2 π r^{3} - \frac{2}{3} π r^{3} \\ = \frac{4}{3} π r^{3} \end{aligned}

Обемът на сложното тяло е

\frac{4}{3} π r^{3}

, следователно съгласно принципа на Кавалиери обемът на сферата също е

\frac{4}{3} π r^{3}

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.