Обобщение на метода на кръговете при ротация на графика на функция около оста х

В това видео ще обобщим направеното в предишното. И накрая ще получим формула за въртенето на графика на функция около оста х, която прилича на това, което на английски се нарича "disc method" (няма приет термин на български, може да се преведе като "метод на кръговете"). Искам да покажа откъде идва тази формула. Извеждаме я по същия начин, по който го направихме в предходното видео. Не ти препоръчвам да я наизустяваш, по-важно е да знаеш откъде идва тя. И логиката за извеждането ѝ се базира на принципа, по който намираш обема на всеки от тези дискове. Но нека да обобщим какво направихме в предходното видео. Вместо да кажем, че "у = х^2", нека да кажем, че това е графика на функцията, която е ето тук, да вземем общия случай y = f(х). И вместо интервал от 0 до 2 да вземем граници a и b, които са някакви крайни точки на оста х. Как можем да намерим обема на това тяло? Точно както и в последното видео, ще го разделим на дискове. Колко е височината на един диск в този случай? Височината на един диск не е x^2, тъй като вземаме общия случай. Височината просто ще бъде височината на функцията в тази точка. Височината на диска ще бъде f(х). Площта на това лице на диска ще бъде πR^2. Сега радиусът е f(х) и го подвигаме на квадрат. Това е тази площ, лицето на тази повърхност ето тук. Колко е обемът на диска? Просто ще умножим това по дебелината, която е dх. И ще съберем обемите на всички тези дискове от а до b, ще ги сумираме при все по-намаляваща стойност dх. Имаме безкрайно голям брой от тези дискове. Така получаваме интеграл от това в интервала от а до b. И това е формулата за обема на ротационно тяло, получено от въртенето на графиката на дадена функция около оста х. Исках само да ти покажа как се извежда и каква е логиката за обема на този диск. Това f(х) е радиусът на диска, така че това е всъщност просто πR^2. Умножаваме лицето на кръга по дебелината, сумираме от а до b всички тези дискове. Интегралът е границата на тези дискове, които стават все по-тънки и броят им клони към безкрайност.