Намиране на обем чрез напречни сечения: въведение

Изглежда вече ти е познато как намираме площ между криви. Но ако не ти е познато, ти препоръчвам да видиш уроците в Кан Академия. Например, можем да намерим площта на тази област в жълто, като използваме определен интеграл. В това видео обаче ще направим нещо даже още по-интересно. Ще намираме обема на тела, когато основата им е дефинирана като областта между две криви. В това видео ще говорим за тяло, и аз ще го начертая в три измерения. Ще начертая това отново от малко по-различна гледна точка. Това ще бъде оста у. Това е оста у. Това е оста у. Това е графиката на у = 6 ето тук. у = 6. Тази прекъсната линия, ще я начертая така, Това е точката х = 2. Сега графиката на функцията у = 4ln(3 – х), която ще изглежда ето така. Значи тази област е ето тази област, която ще бъде основата на тримерно тяло, в което всяко сечение, ако направя сечение тук, сечението е квадрат. Независимо каква е тази дължина, това е много по-високо, това сечение също е квадрат ето тук. Сечението тук е квадрат. Каквато и да е разликата между тези две функции, това е колко високо се издигаме. Тази дължина, която е 6 в тази точка, тук височината също ще бъде 6. Това ще бъде квадрат. ще е много голям, трябва да превъртя надолу, за да начертая цялото нещо, горе-долу с правилните пропорции. Ще изглежда ето така. Това е квадрат. Ще изглежда ето така. Значи цялото тяло ще изглежда горе-долу така, ще бъде нещо такова, опитвам се да щриховам част, за да можеш да си го представиш по-добре, надявам се, че ти става ясно. Може би това ти се струва вълнуващо, може би ти се струва страшно. Досега сме работили само в две измерения. Какво ще правим с тези три измерения? Но бързо ще разбереш, че вече имаме знанията да интегрираме, за да решим това. За да го направим, просто трябва да разделим тялото на много такива, можеш да си ги представиш като малки квадратни пластини, които имат някаква дълбочина. Да си представим малки пластини, които имат някаква дебелина. Мога да ги начертая на много места. Можеш да си ги представиш, разделяме тялото на много такива пластинки с малка дебелина, която ще означим с dх. Знаем как да намерим техния обем. Какъв е обемът на една от тези пластини? Това ще бъде дебелината по площта, по площта на тази повърхност, или на това сечение ето тук. Ще го направя с друг цвят. Каква е площта, която оцветявам в розово тук? Тази площ ще бъде дължината на основата на квадрат. Колко е дължината на основата? Това е разликата между тези две функции. Това е 6 минус, долната функция е четири по натурален логаритъм от( 3 – х). Това ни дава дължината. Ако го повдигнем на квадрат, получаваме това лице. Получаваме цялата площ, повдигаме на квадрат. И после го умножаваме по дебелината. Умножаваме го по дебелината. Сега имаме обема на тази малка част ето тук, и предполагам, че се досещаш накъде отиваме. Ако съберем всички тези обеми от х = 0 до х = 2? Това е обемът на цялото тяло. Това е силата на определения интеграл. Можем просто да интегрираме от х = 0 до х = 2. Ако начертаем къде това пресича основата, можеш да кажеш, че това нещо тук е това нещо ето точно тук, което е dх. И вместо да умножаваме по dх, по разликата на тези функции, ние ще повдигнем на квадрат разликата на тези функции, защото си представяме това тримерно тяло, повърхностната площ на това тримерно тяло, за разлика от височината на този малък правоъгълник. И ако сметнеш този интеграл, ще получиш обема на тялото, това нещо, което прилича на отсечен пиедестал. Този интеграл не е лесен за решаване на ръка, но можем да използваме калкулатор. Така, можем да го изчислим, а после да вземем число по избор за определения интеграл, и после просто заместваме всичко. Интегралът е от 0 до 2, а после имаме, тук ще отворя скоба, защото ще повдигнем всичко това на квадрат. 6 – 4ln(х) не, ln (3 – х). Затварям скобите на частта с натуралния логаритъм. После затварям скобата за цялото това нещо, което подвигаме на квадрат. И после интегрираме спрямо х. Ентър и получаваме приблизително 26,27. Значи този обем приблизително е 26,27. Понеже това е обем, мерните единици, ще бъдат кубични единици или единици на куб.