Използване на ортогонална матрица на прехода за намиране на матрицата на трансформацията

В последното видео учихме, че ако имаме една матрица... нека я наречем матрицата С, която е с размери n x k. Всички стълбове на матрицата С – нека това са стълбовете с1, с2, и така нататък до стълб сk – всички тези вектор-стълбове образуват ортонормално множество – ще го запиша – стълбовете са ортонормално множество, или множеството от стълбовете е ортонормално множество, и в предходното видео видяхме, че ако умножим С транспонирана по С, ще получим единичната матрица. Получаваме единичната матрица k x k. Получаваме единичната матрица k x k, защото умножаваме k x n по матрица n x k Видяхме, че всичко се съкрати, и получихме нули освен ето тук по диагонала. После само умножихме векторите по тях самите, и всички те са единични вектори. Така получихме дължините им на квадрат, което бяха единици по целия диагонал. Това го видяхме в предходното видео. А какво се случва, когато k е равно на n? Тогава тази матрица ще бъде квадратна матрица. Освен че това е квадратна матрица, какво друго знаем за нея? Знаем, че тези вектори образуват ортонормално множество. Видяхме, мисля, че беше преди два или три урока, видяхме, че това означава, че стълбовете са линейно независими. Така че знаем също, че имаме линейно независими стълбове. Виждали сме това много, много пъти досега. Ако имаме квадратна матрица с линейно независими стълбове, това означава, че тази матрица С е обратима. Това означава също така, че ако имаме n реда, тези стълбове, или по-точно тези вектор-стълбове, ако те принадлежат на едно множество, то ще е базис на Rn. Ще напиша това отстрани, само защото, разбираш, това означава също и, че с1, с2 и така нататък до cn, понеже казахме, че n е равно на k, това ще бъде базис на Rn. Ще оставим това настрани засега. Но то заслужаваше да го подчертая. Ако матрицата С е обратима, какво означава това? Това означава, че съществува някаква матрица С обратна, такава че С обратна по С дава единичната матрица n x n. В този случай k и n са равни, затова ще напиша тук n, ще заместя k с n. Тези две твърдения изглеждат доста сходни. Ако стълбовете принадлежат на ортонормално множество, ако тази матрица е n x n, както учихме в предходното видео, С транспонирана по С е равно на единичната матрица n x n. Знаем също, понеже това е квадратна матрица с линейно независими стълбове, то матрицата С е обратима. В този случай, когато имаме матрица n x n, чиито стълбове са ортонормално множество, тогава матрицата С обратна трябва да е равна на матрицата С транспонирана. Имам предвид, че можем да кажем, че някаква матрица по матрицата С е равно на единичната матрица. Някаква матрица, умножена по матрицата С е единичната матрица. Тази матрица трябва да е същата матрица. Тогава матрицата С обратна е равна на С транспонирана. Така спестяваме много време. Ако можем да допуснем, че това е квадратна матрица, чиито стълбове са ортонормално множество. Понеже намирането на обратната матрица е много трудоемко, особено ако имаме – знаеш, когато n e по-голямо от 3. Ако трябва да намерим обратната матрица например на матрица 10 х 10, това ще отнеме цяла вечност. Но за да намерим транспонираната матрица на матрица 10 х 10 е много по-лесно. Само превръщаме стълбовете в редове. Да видим можем ли да приложим този новополучен резултат, за да опростим някои задачи, които сме решавали преди. Тук имаме няколко вектора, v1, v2, v3. Нека... ще копирам и ще поставя и тези, за да мога да ги използвам отдолу, понеже мисля, че ще са ни полезни. Ще копирам и ще ги поставя ето тук. Имаме ето тези вектори. Ще оставя на теб да провериш дали те са единични вектори, и дали взети заедно те образуват ортонормално множество, или че те представляват ортонормален базис на R3. Както и да ги разглеждаме, можем да провериш това самостоятелно. В това видео сега искам да конструирам една интересна линейна трансформация в R3. Нека да имаме равнината, определена от векторите v1 и v2. Векторите v1 и v2 също така са ортогонални помежду си. Това е едно ортогонално множество. Значи векторите v1 и v2 са ортогонални. Нека вектор v1... аз не ги чертая такива, каквито са в действителност. Правя един вид абстрактно представяне на векторите v1 и v2, които са базисни вектори на някаква равнина. Ще се постарая да начертая равнината възможно най-добре. Ако вземем всички линейни комбинации на векторите v1 и v2, те представляват равнина в R3. Значи това е нашата равнина, и ние знаем, че тя продължава до безкрайност във всички посоки. Тя изглежда ето така. В нея имаме нулевия вектор. Ще нарека тази равнина – това ще бъде някакво подпространство V в R3, което е равно на линейната обвивка на векторите v1 и v2. Вектор v3 е ортогонален на всички вектори тук. Може би вектор v3 изглежда приблизително така. Той е ортогонален на тези два вектори, както и е ортогонален на всички линейни комбинации на тези два вектора. Ако това е равнината V, тогава правата, която е линейна обвивка на вектор v3, представи си я по този начин, тя е ортогоналното допълнение на нашата равнина. Ще начертая вектор v3, който принадлежи на ортогоналното допълнение, или ортогоналното допълнение има базов вектор v3. Това е кратък преговор. Сега да разгледаме една линейна трансформация, която искам да конструирам в това видео. Искам да конструирам линейна трансформация в R3... спомни си, че тук разглеждаме R3 – която представлява симетричен образ на този вектор спрямо равнината. Ще начертая няколко примера. Надявам се да го начертая добре. Нека да имаме един такъв вектор. Ще го нарека вектор х. Нека вектор х да изглежда приблизително така. Той е над равнината. Един вид стърчи нагоре. Той не принадлежи на нашето подпространство. Искам да трансформирам вектор х и да получа симетриячния му образ под тази равнина. Знаеш, ако си представиш, че тази равнина е прозрачна, образът на вектор х ще бъде ето тук отдолу. Моят вектор х ще изглежда приблизително ето така. Това е трансформацията на вектор х, която искам да създам. Ако имаме вектор... ще избера цвят, който не съм използвал досега – нека да имаме един вектор, който изглежда така. Тогава неговият образ при трансформацията ще е под равнината и това е един симетричен образ. Това е симетричен образ, ето така, разбираш идеята. За да разберем по-добре нашата трансформация – какво ще представлява трансформацията на v1? Вектор v1 лежи в равнината, така че неговият симетричен образ няма да се промени. Трансформацията на вектор v1 ще бъде просто вектор v1. А какво ще представлява трансформацията на вектор v2? Вектор v2 също лежи в равнината. Значи трансформацията на вектор v2 също ще е вектор v2. А какво представлява вектор v3? Вектор v3 е директно ортогонален на равнината. Той един вид стърчи право нагоре. Неговият симетричен образ буквално е вектор минус v3. Ще го направя веднага. Ние не знаем задължително дали... v3 очевидно не е право нагоре. Аз просто начертах тази равнина, начертах го спрямо тази равнина. Тази равнина може да е по-наклонена, отколкото я начертах. Но както и да е, трансформацията на вектор v3 е равна на минус v3. Тази трансформация изглежда доста трудна за конструиране. Можем да опитаме да приложим трансформацията към нашите стандартни базисни вектори в R3, както сме правили преди. Но това изглежда доста сложно, ще трябва да направим много тригонометрични изчисления. Ще трябва да намерим наклона на тази равнина и какво се случва с него. Това ще е трудно да се визуализира. Може би имаш усещането, че тази трансформация може да се опише по-лесно, ако променим нашия базис. Да кажем, че това е нашият стандартен базис. Нашият стандартен базис, нашата трансформация, трябва да го умножим по някаква матрица х, извинявам се, по матрица А, за да получим трансформацията на вектор х. Казваме, че това е трудно за решаване, защото е трудно да определим каква е трансформацията, когато я прилагаме просто към нашите стандартни базови вектори. Сега аз искам да се опитам да конструирам някакъв базис, такъв че, когато представя вектор х в новия базис, ако умножа вектор х по обратната матрица на нашата матрица на прехода, тогава ще получа вектор х с координати спрямо новия базис. И може би ще е по-лесно да намерим D в новия базис, и тогава ще получим представянето в базиса В на трансформацията на вектор х. После можем да умножим полученото по матрицата С. Ако мога да намеря матрицата D... можем да кажем, че ние знаем, че трансформацията на вектор х ще бъде равна на матрицата А по х. Преди доста време видяхме, че всяка линейна трансформация може да се представи като произведение на матрица с вектор. Но да кажем, че това е трудно да се намери. Това е трудно. Тогава можем да направим обратното нещо. Можем да кажем, че трансформацията на вектор х е равна на – първо умножаваме х по матрицата С обратна, за да получим вектор х спрямо базиса В. Значи първо умножаваме по матрицата С обратна. После умножаваме това по матрицата D, за да получим трансформацията на вектор х спрямо базиса В. После умножаваме това по матрицата D. И после умножаваме полученото по матрицата С, за да получим трансформацията обратно спрямо стандартния базис. Значи после умножаваме по матрицата С. Вече сме виждали тази формула. Ако можем да намерим хубав базис, в който лесно да определим D, после можем да умножим по този начин, по матрицата на прехода, и по нейната обратна матрица, и ще получим нашата матрица А. Защото това трябва да е равно на това нещо ето тук. Даже нещо повече, ако изберем ортонормален базис, ако В е ортонормален базис, включващ тези три вектора, тогава матрицата С ще бъде обратима. Вече знаем, че ако това е ортонормална база, тогава С транспонирана по С е равно на единичната матрица. Знаем също, че матрицата С е обратима, ако тя е с размери 3 х 3. Значи С обратна съществува. В началото на това видео казахме, че това означава, че С транспонирана ще е равна на С обратна, защото тази матрица тук е просто равна на обратната матрица. Тогава, ако матрицата С е с размери n x n, в такъв случай ние имаме матрица 3 х 3, ние работим в R3, тогава това се опростява до А е равно на С по D, по С транспонирана, което е доста по-лесно за решаване, отколкото да търсим обратната матрица на матрица 3 х 3. Да видим можем ли да направим това на практика. Какъв би бил един добър базис? Вероятно един съвсем логичен базис би включвал векторите v1, v2 и v3, защото за тези базисни вектори можем да намерим лесно тяхната трансформация. Ще напиша това. Ще определя нашия нов базис, към който ще преминем, да бъде v1, v2 и v3. Само да се уверя, че е ясно какво точно правим. Всеки от тези вектори – как ще изглеждат те в нашия нов базис? Вектор v1 е равен на 1 по v1, плюс 0 по v2, плюс 0 по v3. Значи вектор v1 в нашия нов базис, където той е първият базисен вектор, ще бъде равен на [1;0;0]. По същата логика, вектор v2 на какво ще е равен в новия ни базис? Няма да го обяснявам, защото мисля, че разбираш принципа. Ще го напиша ето тук. v2 в новия базис е равен на 0 по v1... спомни си, тези числа, тези елементи са просто коефициентите на нашите базисни вектори – ще е равен на 0 по v1, плюс 1 по v2, плюс 0 по v3. Накрая, вектор v3 в новия базис ще бъде 0 по v1, 0 по v2 и 1 по v3. Това е супер елементарно. А каква ще бъде матрицата на прехода? Ще имаме... ще запазя това за по-късно. Матрицата на прехода ще бъде матрица, чиито вектор-стълбове са тези вектори. Разбира се, нейната обратна матрица ще е транспонираната матрица на тази. Но ще запазим това за по-късно. Как да намерим матрицата D? Ще запиша матрицата D. D ще има три стълба. Значи d1, d2 и d3. Това все още е изобразяване от три измерения, предполагам, че можем да кажем, че това е изобразяване на тримерна матрица в тримерен вектор. Всеки от тези вектори принадлежи на R3. Какво представлява трансформацията на вектор v1, представен спрямо базиса В? Тя ще е равна на матрицата D по представянето на вектор v1 с координати спрямо В, което е равно на [d1;d2;d3] по това, нали? Това е представянето на вектор v1 спрямо базиса В. Значи по [1;0;0], което е равно на d1. Виждали сме това и преди. Ако искам да намеря d1, той е просто трансформацията на вектор v1, изразен с координати спрямо базиса В. Сега можем да използваме съвсем същата логика – ще се преместя малко вляво. Отдясно ми свършва мястото. Значи трансформацията на вектор v2, изразен с координати спрямо В, е равна на D, което е [d1;d2;d3] по версията на вектор v2 спрямо В, или вектор v2, изразен с координати спрямо базиса В. Вектор v2, представен с В-координати е [0;1;0]. Значи това ще е равно на d2. И сега да го довършим. Трансформацията на вектор v3, представен с координати спрямо В е равна на [d1;d2;d3] по вектор v3, представен с координати спрямо базиса В. Значи по [0;0;1]. Това е 0 по d1, плюс 0 по d2, плюс 1 по d3, и това е равно на d3. Това е един вид повторно доказателство, че можем да намерим стълбовете на D, като намираме на практика представянето на тези трансформации спрямо базиса В. Значи можем да преработим матрицата D да бъде равна на – първият стълб ще бъде ето това тук. Значи това е трансформацията на вектор v1 с координати спрямо базиса В. Вторият стълб е ето това. Значи d2 е ето това. Това е трансформацията на вектор v2 с координати спрямо базиса В. Третият стълб е ето това, трансформацията на вектор v3, изразен с координати спрямо базиса В. Ето така. Да видим дали можем да намерим тези. Това, надявам се, няма да е твърде трудно. Видяхме тук горе. Написахме какво представляват трансформациите на векторите v1, v2 и v3. Сега трябва да ги намерим изразени с координати спрямо В. Ще преработя това – ще копирам и поставя, защото може да ни е полезно да виждаме това. Вече намерихме това. Ще го поставя ето тук долу. Значи имаме това. Вече намерихме това. Остава само да намерим представянето на тези вектори с координати спрямо базиса В. Значи представянето с В-координати на трансформацията на вектор v1 – всъщност, аз мисля че... ще го напиша. Това стана малко досадно. Това е еквивалентно на представянето на вектор v1 с координати спрямо В, което е просто [1;0;0]. Ще запиша матрицата D тук. Матрицата D е равна на – първият стълб е 1, 0, 0. Кой е вторият стълб? Трансформацията на вектор v2... представянето спрямо базиса В ще бъде просто представянето на вектор v2 с координати спрямо базиса В, което е равно на [0;1;0], и ни остана още един стълб. Той е малко по-интересен. Представянето спрямо базиса В на трансформацията на вектор v3 – спомни си, че v3 е векторът, който е извън равнината – то е равно на – спомни си, че трансформацията му е –v3. Обръщаме знака, защото това е симетричен образ спрямо тази равнина. Значи това е представянето спрямо В на вектор –v3. Вектор –v3 е равен на 0 по v1, плюс 0 по v2, плюс –1 по v3. Това са базисните вектори, така че третият стълб става 0, 0, –1. Намерихме нашата трансформационна матрица D. Това беше доста лесно. Това D ето тук е матрицата, която току-що намерихме. Значи намерихме матрицата А и можем да приложим формулата с нашата матрица на прехода. Само ще копирам ето това. То ще ни потрябва. Ще копирам всичко това. Копирам, после поставям ето тук долу, и вече имаме D. Добре, имаме всичко това тук. Сега да намерим матрицата А. За целта първо трябва да намерим нашата матрица на прехода. Ще я запиша ето така. Ще почистя малко това, разчиствам нещата. Нужно ни е само това. Нищо от това не ни е нужно на практика. Затова ще го изтрия. Ще изтрия и това. Сега да намерим матрицата А. Матрицата А е равна на нашата матрица на прехода. Матрицата на прехода е просто матрицата, чиито стълбове са тези вектори тук. Само още изнеса отпред 1/3. Значи матрицата С е 1/3 по [2;–2;1;2;1;–2... и после имаме ...1;2;2], нали? Това тук е матрицата А, а после я умножаваме по това – или това тук е нашата матрица на прехода, това е матрицата С – и ще ги умножим по матрицата D, която е [1;0;0;0;1;0;0;0;–1]. Тя изглежда почти като единична матрица, но ние обърнахме третия вектор, и затова тук има –1. После имаме матрицата С обратна, но понеже С е квадратна матрица, чиито стълбове са ортонормални, знаем, че матрицата С обратна е равна на матрицата С транспонирана. Ще го запиша ето тук. Ще го запиша ето тук. Значи това ще е транспонираната версия на тази матрица. Ще запиша отново 1/3 тук, само да опростим нещата. Значи по 1/3, по транспонираната версия на тази матрица, значи имаме 2, 2, 1, имаме –2, 1, 2. Имаме 1, –2, 2. Това ето тук, това е С обратна, която е равна на С транспонирана, защото С е обратима матрица, или квадратна матрица с ортонормални стълбове. И на какво ще е равно това? Да вземем, не знам – да вземем първо... ще го запиша така, това беше D – първо да извършим това умножение. После ще се тревожим за това 1/3. Сега мога да изтрия това. Мога да използвам това място. Ще изтрия това. Ще активирам отново инструмента за писане. Добре. Да извършим това умножение. Значи А е равна на – да умножим по 1/3, това става 1/9 по... сега това е друга матрица 3 х 3. Имаме [2; 2; 1] по [1; 0; 0]. Ще умножим скаларно [2; 2; 1] по [1; 0; 0]. Единственият елемент, който ще е различен от нула, ще бъде 2 по 1, значи получаваме 2. После ще умножим скаларно [2; 2; 1] по [0; 1; 0], по втория стълб. Единственият елемент, различен от нула, ще бъде 2, това 2 в средата. После умножаваме скаларно [2; 2; 1] по [0; 0; –1]. Тук единственият елемент, различен от нула, е е последният, който е със знак минус, така че тук е –1. Това не е никак зле. Опростих това, но това е почти единичната матрица. Сега да умножим този ред. Умножаваме скаларно [2; 2; 1] по този стълб и един вид само този елемент "преживя" скаларното умножение, това е –2, после умножаваме по този стълб, само този елемент "преживява" умножението. И накрая умножаваме това по този стълб. Този елемент става отрицателен. Той е единственият "оцелял". Мисля, че виждаш какво се случва. Тези редове остават същите, но третият им елемент става отрицателен. Да го повторим още веднъж. Значи взимаме този вектор. Умножаваме скаларно по този стълб, този вектор-ред по този вектор-стълб. Само този елемент оцелява. После умножаваме скаларно този ред по този стълб, имаме това –2. После умножаваме скаларно този ред по този стълб, само 2 оцелява, но този път е по –1, така че става –2. После имаме този вектор ето тук. Спомни си, изнесохме 1/3, умножихме по него, и получихме 1/9. После имаме 2, –2, 1, 2, 1, –2, после имаме 1, 2, 2. Това е малко по-трудно за умножение, но мисля, че ще се справим. Защото сме вече на самия финал. Значи нашата трансформационна матрица А за тази странна трансформация, при която имаме симетрия спрямо равнина в R3, матрицата ще е равна на 1/9 по... ще получим матрица 3 х 3. Значи ще бъде 2 по 2, дава 4. Ще го запиша. О, не, това ще стане много претрупано. Значи 2 по 2, това е 4, плюс 2 по 2, което е 4, и плюс –1, нали? Значи става 4 + 4 –1, което е 7. 4 плюс 4 минус 1 е 7. Сега ще умножим този ред по този стълб. 2 по –2 е –4, плюс 2 става –2. –2 минус 2 е –4. После имаме 2 по 1 което е 2; 2 минус 4 е –2; после имаме –2 плюс –2, което е –4. Не е толкова страшно. Сега вторият ред: –2 по –2 е –4, (тук Сал греши, –2 по –2 е 4) –4 плюс 2 е –2. –2 минус 2 е –4. После ще имаме –2 по –2, което е 4, 4 плюс 1, което е 5, минус 4. Само да проверя, че всичко е вярно. Имаме –2 по –2, което е плюс 4, плюс 1 по 1, което е 1; –4 плюс 1 е –3; плюс –2 плюс –2; това дава –4. И така ще получим – обърквам се – ще получим... о, не, това нещо стана много объркано. Това е ясно. –2 по –2 е 4; 4 плюс 1 е 5; 5 минус 4 е 1. После имаме –2 минус 2, което е –4; –4 минус 4 е –8. На финала сме. Това е трудната част. После имаме 2 минус 4, което е –2; –2 минус 2 е –4; –4 минус 4... добре, да видим – минус 2, минус 2, минус 4, и това е –8. После получаваме 1 плюс 4, това е 5; 5 минус 4 дава 1. Ако не съм допуснал някакви грешки по невнимание, сме готови. Знаем, че нашата трансформация е симетричният образ... след всички тези специални усилия – нашата трансформация е симетрия спрямо равнината, чиито базови вектори са тези вектори тук, и тази трансформация може да се представи с тази матрица. Значи нашата трансформация, приложена към вектор х със стандартни координати, просто е равна на А по х, като А е ето тази матрица. Можем да умножим по 1/9, но това само ще направи нещата още по-объркани. Това щеше да е много трудно да го намерим сами, да намерим, че тук трябва да има 7 и –4, или даже да приложим тази трансформация към вектори в стандартния базис, както правим обикновено, за да намерим тази матрица. Вместо това ние променихме нашия базис с един логичен ортонормален базис. Тъй като е ортонормален, този базис направи много лесно намирането на обратната матрица на нашата матрица на прехода. Надявам се, че ти бях полезен.