Уникално решение на уравнението Ах = b, което принадлежи на векторното пространство, определено чрез вектор-редовете

Дадена е матрица А, която е с размери m x n. Това е нашата матрица. Мога да я представя като съвкупност от n вектор-стълба, например като [а1; а2;... аn]. Нека е даден и един вектор b. Да кажем, че вектор b принадлежи на векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-стълбовете ѝ. Спомни си, че векторното пространство, определено чрез вектор-стълбовете на една матрица, е просто множеството от всички вектори, които могат да бъдат представени като линейна комбинация на вектор-стълбовете на матрицата А, което означава, че вектор b може да бъде представен като линейна комбинация на вектор-стълбовете на матрицата А. Ще го запиша като сума от произведения на скаларен множител хi и вектор-стълб аi т.е като х1 по а1, плюс х2 по а2 и т.н. до плюс xn по an, като х1, х2... хn са произволни реални числа. Друг начин да формулираме това е, че това означава, че матрицата А, която можем да представим като [а1;а2;...аn], по някакъв вектор [х1; х2...хn] е равно на b. Тези две твърдения са еквивалентни. Знаем, че вектор b принадлежи на векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-стълбовете ѝ. Това означава, че вектор b може да бъде представен като линейна комбинация на вектор-стълбовете на матрицата А, и този израз ето тук можем да преработим по този начин. Значи можем да напишем, че уравнението А по х равно на b има поне едно решение х, което принадлежи на Rn. Елементите на вектор х могат да бъдат представени като коефициенти на вектор-стълбовете на матрицата А, за да получим b като линейната им комбинация. Всичко това е преговор. Сега ще начертая Rn. Всяко решение на това уравнение ще бъде член на Rn. Спомни си, това е матрица m x n. Имаме n стълба и този вектор трябва да принадлежи на Rn, затова ще начертая Rn. Значи Rn изглежда примерно ето така, това е Rn. Да разгледаме някои от подпространствата на Rn. Имаме нулевото пространство. То ще бъде в Rn. Нулевото пространство съдържа всички решения на уравнението А по х = 0. То принадлежи на Rn. Това са всички вектори х, които удовлетворяват това равенство. Ще ги начертая тук. Да кажем, че това тук е нулевото пространство, това е нулевото пространство на матрицата А. Какво друго подпространство имаме в Rn? Имаме ортогоналното допълнение на нулевото пространство на матрицата А. Ще го начертая. Имаме ортогоналното допълнение – ще го направя с различен цвят. Имаме ортогоналното допълнение на нулевото пространство, на матрицата А, което можем да наречем също така – научихме това в предходното видео. Това също така е равно на векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете, което също така е просто векторното пространство, определено чрез вектор-стълбовете на... Векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете е векторното пространство на матрицата А транспонирана, определено чрез вектор-стълбовете. Значи тук имаме тези две подпространства. Това е векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете. Значи имаме две подмножества на Rn. Имаме нулевото пространство и имаме ортогоналното допълнение на нулевото пространство, което е векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете. Видяхме в последните няколко клипа, и аз го доказах, мисля, че беше преди два урока, че всеки вектор в Rn може да се представи като сума от векторите в нулевото пространство. Да наречем това вектор n, и да кажем, че някакъв вектор r е член на векторното пространство, определено чрез вектор-редовете. Всеки вектор в Rn може да се представи като сума от някакъв вектор в нулевото пространство и някакъв друг вектор във векторното пространство, определено чрез вектор-редовете. Всяко решение на това уравнение принадлежи на Rn, следователно можем да го представим чрез някакъв член на нулевото пространство и някакъв член на векторното пространство, определено чрез вектор-редовете. Ще запиша това. Да кажем, че вектор х е решение на уравнението А по х равно на b, което означава също така, че вектор х принадлежи на Rn, и понеже принадлежи на Rn, можем да го представим като комбинация от някакъв вектор тук и някакъв вектор тук. Да кажем, че вектор х е равен на някакъв вектор (r0 + n0), като r0 принадлежи на векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете, а n0 принадлежи на ортогоналното допълнение на векторното пространство. Те са ортогонални допълнения едно на друго, следователно n0 принадлежи на нашето нулево пространство. Добре. Сега, едно нещо, което вероятно ни озадачава, е, че този вектор очевидно не е решение на уравнението А по х равно на b. Този вектор е решение на уравнението А по х равно на 0. Може би се чудим дали това решение ето тук, дали този член на векторното пространство, определено чрез вектор-редове, е решение на А по х равно на b. Това е един вид целта ни тук. Да намерим r0. Ако изразим r0, ако извадим n0 от двете страни, ще получим r0 е равно на х – n0. Просто извадих n0 от двете страни и размених местата. Така изразих r0. Сега, ако заместим, А по r0 е равно на А по всичко това – ще сменя цвета – равно е на А по (х – n0), което е равно на А по х минус А по n0. И на какво е равно това? А по х, вече казахме, това х е решение на А по х = b, значи това тук ще бъде равно на b. n0 е член на нашето нулево пространство, което означава, че удовлетворява това решение тук, че А по всеки вектор от нулевото пространство ще е равно на нулевия вектор. Значи това ще бъде равно на нулевия вектор. Така че имаме вектор b минус нулевия вектор, или просто имаме вектор b. Така намерихме, че А по този член на векторното пространство, определено чрез вектор-редове – да го наречем r0, ето този вектор ето тук. А по r0 равно на b. Значи това е решение. r0 е решение на А по х = b. Дотук, това е един интересен резултат, който получихме. Ако ми дадеш някакъв вектор b, който принадлежи на нашето векторно пространство, определено чрез вектор-стълбове, тогава ще има някакъв вектор, който принадлежи на векторното пространство, определено чрез вектор-редовете ето тук, който е решение на уравнението А по х равно на b. Следващият въпрос, който може би те вълнува, е дали това е единственият вектор във векторното пространство, определено чрез вектор-редовете, който е решение на уравнението А по х = b. За да докажем това, ще допуснем, че тук съществува друг вектор. Да кажем, че вектор r1 принадлежи на векторното пространство, определено чрез вектор-редовете, и той е решение на А по х = b. Векторното пространство, определено чрез вектор-редовете, е валидно подпространство, така че ако съберем или извадим два произволни вектора във векторното пространство, определено чрез вектор-редовете, ще получим друг член на векторното пространство, определено чрез вектор-редовете. Това е едно от изискванията за валидно подпространство. Да разгледаме това. Ако вземем два члена на нашето подпространство, r1 минус r0, и ако намерим тяхната разлика, която е просто сумата.... ако умножим –1, получаваме отрицателен член, като трябва да принадлежи на подпространството, когато ги сумираме, значи полученият вектор трябва да принадлежи на подпространството. Този вектор също така трябва да е член на нашето векторно пространство, определено чрез вектор-редовете. Това е така, защото векторно пространство, определено чрез вектор-редовете, е валидно подпространство. Взимаме два от членовете му, намираме разликата им, и резултатът също трябва да принадлежи на това подпространство. Добре. Сега да видим какво се случва, когато умножим този вектор по матрицата А. Ако умножим А по (r1 – r0), какво се получим? Получаваме А по r1 – А по r0. Вече установихме, всъщност за r1 допуснахме, че е решение на А по х = b, и r0, вече установихме, че е решение на А по х = b. Значи и двата вектора, умножени по матрицата А, дават вектор b. Това е равно на b и това е равно на b, значи получаваме b минус b, което е нулевият вектор. Това е интересно. Това означава, че r1 минус r0 е решение на уравнението А по х = 0, нали така? Когато заместя вектор х с вектор (r1 – r0), а после умножа по матрицата А, получавам 0. Получавам 0, което означава, че (r1 – r0), че този вектор принадлежи на нулевото пространство. Значи имам вектор, който принадлежи на векторното пространство, определено чрез вектор-редовете, и получихме това от факта, че тези два вектора принадлежат на векторно пространство, определено чрез вектор-редовете, което е затворено по отношение на събирането и изваждането, и че вектор (r1 – r0) принадлежи на нулевото пространство. Вече сме виждали това няколко пъти. Ако имам вектор, който принадлежи на дадено подпространство, и същевременно на ортогоналното допълнение на това подпространство, нулевото пространство също е ортогонално допълнение на векторното пространство, определено чрез вектор-редовете, тогава единствената възможност е това да е нулевият вектор. Това е единственият вектор в едно подпространство, който принадлежи едновременно на това подпространство и на неговото ортогонално доплънение. Тези две подпространства са ортогонални допълнения едно на друго. Начертахме ги тук. Така получихме, че (r1 – r0) трябва да е равно на нулевият вектор. Това е единственият вектор, който принадлежи на подпространството и на неговото ортогонално допълнение, което означава, че векторът r1 трябва да е равен на вектор r0. Разликата на тези два вектора е нулевият вектор. Това ни води до няколко интересни извода. Какво знаехме дотук? Знаехме, че ако имаме някакъв вектор b, който принадлежи на векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-стълбовете, тогава съществува един единствен, уникален член, нали? Ние току-що доказахме неговата уникалност. Съществува един уникален член на векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете... Ще го запиша. Ще използвам различен цвят. ...на векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете – това е векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете, такова, че един уникален член на векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете... ще го означа като r0. Ще използвам различен цвят. Искам това наистина да се отпечата в ума ти. Знаем, че r0 принадлежи на векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете, такъв, че r0 е решение на уравнението А по х = b. Това тук е малко по-сложно твърдение, но е интересно. Ако ми дадеш произволен вектор b, който принадлежи на векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-стълбовете, тогава съществува поне един уникален член на векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете, който е уникален член на векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете, който е решение на уравнението А по х = b. Можем да отидем още по-далеч с това. Тук горе написах, че всяко решение на уравнението А по х = b може да се запише като сума от векторите (r0 + n0), където r0 принадлежи на нашето векторно пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете, а n0 принадлежи на нашето нулево пространство, и това е така, защото имаме подпространство и неговото ортогонално допълнение. Значи всеки член на Rn може да бъде представен като сума от член на подпространството и член на неговото ортогонално допълнение. Ще запиша това тук долу. Вече казахме, че всяко решение на уравнението А по х = b може да се запише като комбинация – ще го запиша така – може да се представи като комбинация на r0 + n0. Добре. А какво се случва, ако реша да повдигна на квадрат дължината на вектор х от двете страни на равенството? Ще го запиша и ще разбереш защо правя това, защото това ще ти покаже други интересни резултати. Ако повдигна на квадрат произволно решение на това уравнение тук, това е равно на скаларното произведение на вектор х по вектор х, т.е. скаларно умножен по себе си, и е равно на (r0 + n0) . (r0 + n0) Това на какво е равно? Това е равно на (r0 . r0) + (n0 . r0) плюс, отново, (n0 . r0) + (n0 . n0). Просто го разложих, като можем да направим това, защото знаем, че скаларното умножение притежава дистрибутивно свойство. Значи това тук е равно на дължината на вектор r0 на квадрат. И получаваме – колко е n0 . r0? Дори няма нужда от много опростяване. n0 принадлежи на нулевото пространство. r0 принадлежи на векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете, Всеки от тези вектори принадлежи на подпространство, което е ортогонално допълнение на другото, което означава, че скаларното произведение на всеки вектор от тук по всеки вектор от тук е равно на 0. Значи скаларното произведение на r0 . n0 ще бъде равно на нула. Тези вектори са взаимно ортогонални, така че този член ще е нула, този член ще е нула, и после имаме плюс... какво е това? (n0 . n0) е просто дължината на вектор n0, повдигната на квадрат. Всички тези множители са вектори. Така получаваме, че дължината на вектор х на квадрат е равна на дължината на члена на векторното пространство, определено чрез вектор-редовете, на квадрат, уникалният член на векторното пространство, определено чрез вектор-редовете, на квадрат, плюс този член на нулевото пространство на квадрат. Това определено ще бъде положително число. Минималната му стойност е 0, но може и да е по-голямо от нула, така че можем да кажем, че тази стойност тук определено е по-голяма или равна на r0^2. Друг начин да го разглеждаме е, че ако ми дадеш произволно решение на уравнението А по х = b, то квадратът на дължината на този вектор ще е по-голям или равен на квадрата на дължината на r0. И понеже и двете дължини са винаги положителни, можем да вземем положителния корен и сме спокойни, че няма да сменяме знаците, тогава дължината на произволно решение на уравнението А по х = b ще е по-голяма от или равна на дължината на r0. Това прави r0 един вид специално решение. Сега ще запиша цялото твърдение, всичко, което научихме в това видео. Ако вектор b принадлежи на векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-стълбовете, тогава съществува уникален вектор r0, който принадлежи на векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете, такъв, че r0 е решение на уравнението А по х = b. И той не е просто решение, той е специално решение. r0 е най-малкото решение, или – няма друго решение, чиято дължина е по-малка от дължината на r0. Ще го запиша по следния начин. Може да съществува друго решение, което да има същата дължина. Но никое друго решение не може да има по-малка дължина. Можем да запишем, че ако ми дадеш произволен вектор b, който принадлежи на векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-стълбовете, тогава съществува уникален член на векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете, което е най-малкото решение – можем да напишем малко като имащо най-малката дължина – на уравнението А по х = b, което е един много хубав резултат. В следващото видео ще го разгледаме графично.