Цели числа: задача от АМИП (2003 AIME II задача 1)

Тази задача е от изпита AIME от 2003. Това е съкращение за Американски изпит по математика (само с покана), а тази задача е първата в състезанието. Произведението N на три положителни цели числа е шест пъти техния сбор, а едното от числата е равно на сбора на останалите две. Намерете сбора на всички възможни стойности на N. Имаме три положителни цели числа. Имаме три положителни цели числа точно тук, затова нека да помислим за тези три положителни чели числа. Да ги наречем a, b и c. Всички са положителни, всички са цели. Произведението N на тези 3 положителни, цели числа... Така а х b x c е равно на N и е равно на 6 пъти техния сбор. Това е равно на 6 пъти по сбора. Ще оцветя това в различен цвят. Това е тяхното произведение. Произведението N на три положителни цели числа е 6 пъти техния сбор. Това е равно на 6 пъти сбора на тези цели числа, а + b +c. Едно от числата е равно на сбора на останалите две. Едно от целите числа е равно на сбора на останалите две. Избираме с да бъде сбор на а и b. Няма значение кое ще изберем, това са само имена и не твърдим, че едното е по-голямо от другото. Казваме само, че а + b е равно на с, Едното от целите числа с е равно на сбора на а + b. Намерете сбора на всички възможни стойности на N. Да опитаме малко манипулации с информацията, която имаме и може би ще открием някаква връзка или ограничение за нашите числа и след това ще преминем през всички възможности. Да видим, знаем, че а + b = c. Можем да заместим с навсякъде с а + b, така че този израз става аb, което е а по b по с, но вместо с, ще запиша а + b, а след това равно на 6 пъти а + b. a + b + c. Отново ще заместя с с а + b. Какво опростява това. От дясната страна имаме 6 пъти a + b + a + b. Това е равно на 2а + 2b. Събрахме а и b и можем да разделим на 2. Това е все едно да извадим 2, 6 по 2 е 12 пъти а + b, лявата страна все още е а по b, или а b po a + b, така аb по a + b трябва да е равно на 12 пъти а + b. Това е много интересно, можем да разделим двете страни на а + b. Знаем, че а + b не може да е равно на 0 тъй като всички числа са положителни. Ако разделим двете страни и причината да кажа това е, че ако това беше равно на 0, делението на 0 дава недефиниран отговор. Така, ако разделим двете страни на а + b, получаваме, че а по b е равно на 12. Така всички дадени ограничения се сведоха до това, че произведението на а и b е равно на 12, а има толкова числа, положителни цели числа, чието произведение е равно на 12. Да ги намерим. Да опитаме. Ще използвам колони. Да кажем а, b и с, интересува ни тяхното произведение. Тяхното произведение. Ще го запиша тук. a, b, c. Ако а е 1, b ще бъде 12, с - сборът на двете ще бъде 13, 12, 1 по 12 по 13, 12 по 12 е 144 + 12 ще бъде 156. Можете да се уверите в това, че това ще е равно на 6 пъти техния сбор. Техният сбор е 26, 26 по 6 е 156, така че това със сигурност работи за ограниченията, така и трябва, защото ги сведохме до а по b равно на 12. Да опитаме друго, 2 по 6, сборът им е 8, и ако взема произведението им, получавам 2 по 6 - 12, по 8 - 96. След това можем да опитаме 3 и 4, 3 + 4 е 7, 3 по 4 е 12, по 7, всъщност трябва да знам, а по b винаги е 12, така че трябва само да умножим по 12 тази колона. 12 по 7 е 84 и няма други, не можете да получите повече от 12, защото тогава трябва да работите с не-цели числа, с дроби. Не можете да използвате и отрицателни, защото всички са положителни цели числа. Това са всички възможни цели положителни числа, Взимаме техните произведения, получаваме 12. Извадихме 12. Трябва да намерим сбора на всички възможни стойности на N. Това са всички възможни стойности на N. N е произведението на тези цели числа. Да вземем сумата, 6 + 6 e 12, + 4 e 16. 1 + 5 е 6, + 9 е 15, + 8 е 23. 2 + 1 е 3, нашият отговор е 336.