Сложна задача със сумиране на квадратни корени (2003 AIME II задача 15, част 3)

В края на предходното видео започнахме да определяме кои са 24-те корена, когато полиномът е равен на 1. Щяхме да повдигнем на квадрат тези 24 корена, да вземем абсолютната стойност на имагинерните им части, а после да ги сумираме. Повтарям, че ще разгледаме само корените, които ни интересуват. Това тук установихме, че е пи върху 12. Значи... това е пи върху 12. Това е ъгълът, предполагам, че мога да се изразя така. Това е "е" на степен (пи върху 12) по i. Сега ще се фокусирам върху ъгъла тук. Това тук е 2 пи върху 12, или пи върху 6. Това тук е 3 пи върху 12, или пи върху 4. Това тук е 4 пи върху 12, или пи върху 3. Това тук е 5 пи върху 12. Това е 6 пи върху 12, или пи върху 2. Можем да продължим така, но преди това – това наистина опростява пресмятанията ни – спомни си, че ще повдигнем на квадрат тези корени. Така че да помислим за случай, когато имаме комплексно число във вида а плюс b по i, да помислим какво се случва, когато ги повдигнем на квадрат. Това ще е равно на а на квадрат плюс 2 по а по b по i, минус b на квадрат. Можем да преработим това като а на квадрат минус b на квадрат – това е реалната част – а после плюс 2 по а по b по i. 2 по a по b е имагинерната част. Причината да да записваме всичко това е, че това е един начин да разберем какво ще правим, когато повдигнем на квадрат всички тези комплексни числа, а после ще намерим абсолютните стойности на имагинерните им части. Всъщност важното е абсолютната стойност на 2 по а по b. По-точно 2 по абсолютната стойност на a по b. Всички тези числа имат аналози, при които или а, или b са отрицателни. Ако това число тук е... това ето тук е... нека го означим като а плюс b по i. (пише до окръжността срещу пи върху 4) Ако имаме а минус bi, може да сме тук долу в единичната окръжност. Ако това е числото а плюс bi, тогава а минус bi ще бъде ето тук. Или можем да имаме минус а минус bi, което ще е ето тук, или можем да имаме минус а плюс bi ето тук. Причината да направя това е, че ти показах, че ето тук всички тези, когато ги повдигнем на квадрат, и когато вземем абсолютната стойност на имагинерната им част, или тази стойност на квадрат, всички тези ще са еднакви. Защото, когато вземем – това ще бъде a по b, абсолютната стойност ще бъде а по b. Абсолютната стойност |–аb| също е ab. Така че всички те ще са равни. Така че можем... всеки от тези членове ще имат един и същ аналог. Така че можем да намерим само стойностите на тези членове – едно, две, три, четири – за тези пет члена ето тук. После просто ще умножим полученото по 4, защото – предполагам че има четири такива стойности в единичната окръжност, а това ще ни спести много работа. Другото нещо, за което искам да помислим – вече казахме, че пренебрегваме 1, защото добавихме този корен на полинома. Но дори ако забравим да го игнорираме, това няма да има значение, защото 1 няма имагинерна част. 1 на квадрат пак е 1 – то няма имагинерна част. Можем да игнорираме също така ъгъла пи върху 2 или 90 градуса, защото той няма реална част. Както виждаш тук, когато го повдигнем на квадрат, това ще ни отведе ето тук, и тогава няма да има имагинерна част. Когато го повдигнем на квадрат, това е 2 по реалната част, по имагинерната част. Тук няма реална част, така че това ще е нула. Значи този корен също не добавя стойност в сумата. Всъщност ни интересуват само тези ъгли ето тук. После ги повдигнем на квадрат, ще намерим абсолютната стойност на имагинерните им части, а после ще умножим всичко по 4, защото така ще съответства на тези другите – ако вземем имагинерната или реалната им част и ги направим отрицателни. Така ще обиколим цялата единична окръжност. Да помислим малко върху това. Само ще запиша тези ето тук. Значи корените на полинома z, които разглеждаме сега, ще бъдат е на степен пи върху 12, е на степен пи върху 6, е на степен пи върху 4... о, е на степен пи върху 12 по i, извинявам се – е на степен пи върху 6 по i, е на степен пи върху 4 по i, е на степен пи върху 3 по i, а после имаме е на степен 5 по пи върху 12 по i. Сега ще повдигнем на квадрат всички тях, и е хубаво да ги оставим в експоненциален вид, когато ги повдигаме на квадрат. Така ще е много по-лесно да ги повдигнем на квадрат. Ако повдигнеш това на квадрат, по същество просто умножаваме степенния показател по 2. Значи това ще е равно на е на степен пи върху 6 по i. Това е равно на е на степен пи върху 3 по i – просто ги повдигаме на квадрат. Просто повдигаме на квадрат всяка от тези стойности, всеки от тези корени на полинома. Значи е на степен пи върху 3 по i, а после тук ще имаме е на степен пи върху 2 по i. Ето тук ще имаме е на степен 2 пи върху 3 по i. Накрая тук ще имаме е на степен 5 пи върху 6 по i. Това са стойностите на тези корени на полинома, повдигнати на квадрат. Сега да разгледаме имагинерните части. Този корен на полинома тук може да се преработи като косинус от пи върху 6, плюс i по синус от пи върху 6. Значи тази имагинерна част е синус от пи върху 6. Имагинерната част на този член – ако го развием с помощта на тъждеството на Ойлер, ако използваме формулата на Ойлер – става косинус от пи върху 3, плюс i по синус от пи върху 3. Значи тази имагинерна част просто ще бъде синус от пи върху 3. Тук ще имаме синус от пи върху 2. Тук ще имаме синус от 2 пи върху 3. Тук ще стане синус от 5 пи върху 6. Сега само трябва да пресметнем тези, и да вземем абсолютната им стойност, после да ги съберем, а после да умножим всичко това по 4. На практика сме на финалната права. Значи пи върху 6 е 180 – ако използваме градуси – на мен лично така ми е по-лесно да го осмислям. Всъщност ще начертая още една единична окръжност, само за да си представим ъглите. Имаме синус от пи върху 6. Пи върху 6 е равно на 30 градуса. Изглежда по този начин. Знаем, че синус от 30 градуса е 1/2. Това тук е 1, това е 1/2, това тук е косинусът, който е квадратен корен от 3, върху 2. Но това тук е 1/2. Синус от пи върху 3 – пи върху 3 е равно на 60 градуса. Синусът тук е корен квадратен от 3/2. Можем да го намерим от триъгълник 30:60:90 градуса. После имаме синус от пи върху 2 – пи върху 2 е ето това тук. Значи този синус е 1. Това е имагинерната част на ето това, или, предполагам, че... по същество, това е просто i, но имагинерната част, която разглеждаме като коефициентът пред i, което донякъде не е логично, един вид можеш да си я представиш като цялата част, когато се казва имагинерна част. Значи това ще е просто 1. После синус от 2 пи върху 3. Да видим, това е – значи пи върху 3 е 60 градуса. Можеш да разглеждаш това като 120 градуса. Значи това е 120 градуса. Това е ето тук. То ще има същата стойност на синуса като пи върху 3, така че ще бъде корен квадратен от 3 върху 2. После имаме синус от 5 пи върху 6. Пи върху 6 е 30 градуса, значи това е синус от 150 градуса. Ще бъде ето тук. Ще има същата стойност на синуса като пи върху 6. Значи ще бъде 1/2, за наш късмет, тук всички стойности са положителни. Сега да ги сумираме. Имаме 1/2 плюс 1/2, което е 1, плюс още 1 ето тук, дава 2, плюс корен квадратен от 3/2, плюс корен квадратен от 3/2 е корен квадратен от 3. Спомни си, че правим това само за този квадрант ето тук. Но ние трябва да го направим за всички квадранти. Затова трябва просто да умножим по 4. Значи сумата от абсолютните стойности на имагинерните части на квадратните корени е 8 плюс 4 по корен квадратен от 3. Ако се върнем към условието на задачата, тук получихме отговора. Това е 8 плюс 4 по корен квадратен от 3. Искам да проверя, че не допускам грешка. Добре. 8 плюс 4 по корен квадратен от 3. Да намерим сбора m + n + p – това е равно на 8 плюс 4, плюс 3, което е равно на 15. Решихме задачата.