Тетраедър: задача от АМИП (2003 AIME II задача 4, част 2)

В края на последното видео успяхме да намерим координатите на всички върхове за тази стена на тетраедъра ето тук. Сега можем да използваме тези координати, за да намерим координатите на центъра на тази стена, който също така е един от върховете на по-малкия тетраедър. Когато намерим тези координати, ще можем да намерим разстоянието между тази точка и тази точка, или между тази точка и тази точка. Това ще ни даде дължината на една от страните на малкия тетраедър. После можем да сравним това с дължината на по-големия тетраедър и да получим това отношение ето тук. Хайде да намерим координатите на тази точка или на тази точка ето тук. Да намерим координатите на тази точка. За да го направим, трябва просто да намерим средната стойност на х, у и z координатите на върховете на тази стена. За х – можеш да видиш – надявам се, че виждаш, че тази точка лежи в равнината уz. Всъщност ще начертая оста z, просто за да я визуализираме. Оста z отива нагоре ето така, а после това ето тук е отрицателната посока на z, която отива надолу ето така. Така че тази точка определено лежи в равнината zy. Но дори ако не виждаш това, можеш просто да намериш средната стойност на х за тези две точки. Имаме –1 плюс 1, плюс 0, върху 3, което е равно на 0 върху 3. След това можем да намерим средната стойност за у. 0 плюс 0, плюс корен квадратен от 3, върху 3, всичко това върху 3. Сега да намерим средната стойност за z. Ще направя това с нов цвят. Средната стойност на координатите z. 0 плюс 0, плюс 2 по корен квадратен от 2, върху корен квадратен от 3, всичко това върху 3. Първата координата ето тук очевидно е нула. Втората координата ето тук ще бъде корен квадратен от – това е корен квадратен от 3 върху 3. Това е трудно за четене. Корен квадратен от 3, върху 3, делено на 3. Значи става корен квадратен от 3, върху 9. После имаме 2 по корен квадратен от 2, върху корен квадратен от 3, делено на 3. Това е равно на 2 по корен квадратен от 2, върху 3, по корен квадратен от 3. Това тук са координатите на центъра на тази стена, координатите на тази точка тук. . Като използваме това, сега можем да намерим разстоянието между тази точка и тази точка. Вече знаем координатите на тази точка. Знаем вече и центъра на основата. Вече го намерихме ето тук. Сега да намерим това разстояние или това разстояние, дължината на страната на по-малкия тетраедър. Ще го запиша ето тук. . Дължината на страната на по-малкия тетраедър, повдигната на квадрат, е равна на разликата от квадратите на стойностите на х. Тук стойността на х е 0. Тази точка има стойност на х нула. Значи 0 минус 0, на квадрат, плюс разликата на стойностите на у. Корен квадратен от 3 върху 9, минус корен квадратен от 3 върху 3 минус...корен квадратен от 3 върху 3, тук имаме общ знаменател, така че това е равно на 3 по корен квадратен от 3, върху 9. Исках да го преработя по този начин, така че да имам общ знаменател – на квадрат. Плюс 2 по корен квадратен от 2. Става малко претрупано, защото... плюс 2 по корен квадратен от 2, върху 3 по корен квадратен от 3 – минус z-координатите на тази точка. Тази точка е в равнината ху, така че това е минус 0, минус 0 на квадрат. Това е равно на... ще го запиша ето тук. Ще се преместя малко, за да имам място. Значи получаваме, че дължината на малкия тетраедър, повдигната на квадрат, е равна на... това ще бъде просто 0. Това тук е –2 по корен квадратен от 3, върху 9, на квадрат. Значи –2 по корен квадратен от 3, върху 9, на квадрат, е равно на 4 по 3... –2 по корен квадратен от 3, цялото на квадрат, това е 4 по 3, върху 9 на квадрат, значи върху 81. Получихме тази част ето тук. Имахме –2 по корен квадратен от 3, върху 9. Повдигаме на квадрат и получаваме ето това тук. Това става това. После този член ето тук, това ще бъде просто 2 по корен от 2, върху 3 по корен от 3, на квадрат. Това става плюс... става 4 по 2 върху 9 по 3. Друг начин да го формулираме, е, че това е равно на... да видим. Числителят и знаменателят се делят на 3. Това е равно на 4 върху 27. Този първият член е 4 върху 27, плюс това, което имаме тук, 4 по 2 е 8 върху 27, което е равно на... което е същото като 12 върху 27. Делим числителя и знаменателя на 3. Това е равно на 4 върху 9. Значи дължината на малката страна на квадрат е равна на 4/9. Коренуваме двете страни, положителен корен квадратен. Интересуват ни само положителните стойности на корена, защото разглеждаме дължини. Значи дължината на едната страна ще бъде равна на корен квадратен от това, което е 2 върху 3. Значи това разстояние ето тук, тази дължина тук е равна на 2/3, или тази дължина тук е равна на 2/3. Какво е отношението на дължината на голямата страна към дължината на малката страна? Вече намерихме дължината на голямата страна. Дължината на голямата страна е 2. Това тук е 2. Колко е дължината на малката страна? Въз основа на пресмятанията, които току-що направихме, тя е 2/3. Сега, преди още да повдигнем на трета степен, можем да разделим числителя и знаменателя на 2. Всъщност, можем да разделим числителя и знаменателя на 2, така че тук получаваме 1/3. 1 върху 1/3 е равно на 3. 3 на трета степен е 27. Можем да запишем това като 27 към 1, понеже търсим отношение. Когато опростим всичко това, наистина получаваме просто 27. Но ако искаш да го изразиш като отношение, това е 27 към 1, обемът на големия тетраедър към обема на малкия тетраедър. Това отношение е m върху n. Това е равно на m/n, като m и n са взаимно прости положителни цели числа. Това определено са взаимно прости числа. Единственият им общ множител е 1. Колко е m + n? 27 плюс 1 е 28, така че отговорът ни е 28.