Правило за диференциране на сложна функция на много променливи

Тук съм написал три различни функции. Първата функция е функция на много променливи, тя има две входни променливи х и у, а изходните стойности на функцията съдържат само един израз, който е х на квадрат по у, това е просто едно число. Другите две функции са просто обикновени функции от една променлива. (на екрана виждаме х от t равно на синус от t у от t равно на косинус от t.) Сега искам да съставим сложна функция от тези функции. Като първи компонент ще вземем стойността на функцията х от t – в тази функция въвеждаме t. Това ще бъде първият компонент на функцията f. Вторият компонент ще бъде стойността на функцията у от t. Може би сега си представяш че променливата t се намира на някаква числова ос, а после имаме х и у, което е просто една равнина, така че това, досещаш се, е х-координатата, а това е у-координатата, едно двумерно пространство, а после имаме изходната стойност, което е просто стойността на функцията f. За тази функция, за цялата тази сложна функция от двете функции, разглеждаме (х(t); y(t)) като една точка от числовата ос t, която един вид се движи в двумерно пространство, а после от тук нашата функция от много променливи слиза обратно тук долу. Това е просто една функция с една променлива, нищо твърде особено не се случва по отношене на това откъде започваме и къде приключваме, това е всичко, което се случва по средата. Това, което искам да разбера, е каква е производната на тази сложна функция f. Ако намерим това, което е просто една обикновена производна, а не частна производна, защото това е функция на една променлива, аргументът съдържа една променлива и стойността на функцията съдържа една променлива, тогава как да намерим производната ѝ? Има специално правило за това, което се нарича правило за диференциране на сложна функция, правило за диференциране на сложна функция на много променливи, но всъщност тук не е ти е необходимо. Да разгледаме това, като докажем, че то не ни е необходимо. Това не означава, че никога няма да ни потрябва, просто при тези изчисления можем да не го използваме. Това е един много полезен теоретичен инструмент, много удобен модел, за да си представи човек как е съставена сложната функция, и се отнася за производните на функциите на много променливи. Да започнем да заместваме. Ако имаме f от х(t) и у(t), първо мога да напиша, че f... вместо х от t просто записвам косинус от t, тъй като това е функцията за х от t а после заместваме у със синус от t, като, разбира се, се надявам да намеря производната от това. От тук сега отиваме при определението за функцията f, f от (х; у) e равно на х на квадрат по у, което означава, че този първия компонент го повдигаме на квадрат. Значи взимаме първия компонент, който е косинус от t, и го повдигаме на квадрат. После го умножаваме по втория компонент, умножаваме по синус от t и просто записвам, че това е производна. Може би се чудиш защо правя това, просто ти показвам как се намира първата производна, което е една най-обикновена производна. Но моделът, който ще видим, ще ни отведе до правилото за диференциране на функция от много променливи. Всъщност е донякъде изненадващо, когато го разглеждаме в този контекст, защото ще получим нещо, което вероятно не очакваш да получим. Продължаваме да правим това, когато намираме тази производна, използваме правилото за диференциране на произведение, ляво по производната на дясното, плюс дясно по производната на лявото, като в този случай отляво е косинус на квадрат от t, оставяме го така, косинус на квадрат от t, и го умножаваме по производната на дясната функция, по d на дясното, така че това става по косинус от t, а после прибавяме към това дясната част, която остава непроменена, умножена по производната на лявата част, и сега използваме правилото за диференциране на сложна функция, правилото за диференциране на сложна функция от една променлива, където първо намираме производната на външната функция, значи заместваме 2, все едно намираме производната на 2 по х, само че просто пишем косинус, вместо х. Косинус от t, а после умножаваме това по производната на вътрешната функция – направо ми се връзва езикът – което е минус синус от t. Опасявам се, че тук ще ми свърши мястото, особено с всичките тези скоби. Все пак ще го препиша. Ще го препиша, защото има определена закономерност, която се надявам, че ще си проличи. Ще препиша тази страна, ще копирам това тук долу, просто искам да преработя тази част. Може би се чудиш защо, но ще разбереш само след момент защо правя това. В този случай ще запиша това като 2 по косинус от t, по синус от t, после всичко това умножено по минус синус от t. Това е производната на сложната функция, която определено е функция от една променлива, но един вид преминава през две различни променливи. Искам да разгледаме това по отношение на частните производни на f. Само искам да копирам това тук, (началните условия) като освободя малко място тук, поставям го ето тук. Да разгледаме частните производни на f само за малко. Ако намерим частната производна по отношение на х, частно х, което означава, че разглеждаме у като константа. Производната на х на квадрат е 2 по х, а после го умножаваме по константата, която е просто у, и ако намерим частната производна по отношение на у, получавам това ето тук. Сега приемаме, че у е променлива, а х е константа, така че х на квадрат също е константа. Константа по променлива – производната е равна на самата константа. Тези две частни производни, техните формули са крайният резултат, който получаваме. Това беше причината да преработя израза. Ако разгледаме това 2 по х по у, го виждаме ето тук, където косинус съответства на х, а синус съответства на у, въз основа на оригиналните функции, а х на квадрат тук съответства на косинус на квадрат, което написахме ето тук. Тогава, ако намерим производната на двете междинни функции, обикновената производна на х по отношение на t, това е производната от функцията косинус, която е минус синус от t, а после по същия начин производната на у, което е обикновената производна, тук нямаме частни производни, производната на у по отношение на t, тя е равна на косинус – производната на функцията синус е косинус. И сега това се появи във формулата, виждаме това минус синус ето тук, и виждаме косинус, който се появи ето тук. Можем да обобщим това, можем да го запишем и да кажем, че поне за този конкретен пример изглежда, че производната на сложната функция е тази част, което е частната производна на f по отношение на у, това тук изглежда по този начин, след като заместим междинните функции, умножаваме по това, което е обикновената производна на у по отношение на t. Значи това е обикновената производна на у по отношение на t. По същия начин, това е частната производна на функцията f по отношение на х, частно х, което умножаваме по обикновената производна на функцията х от t. Ето тук, х от t, по отношение на t. Разбира се, когато записвам това частно f, частно у, това всъщност означава, че замествам х и у, двете функции от координатите, х от t и у от t. Така че когато казвам частно f, частно у ето тук, това по същество означава, че взимаме това х на квадрат и го заместваме тук, х от t, на квадрат, и получаваме косинус на квадрат. Тук се случва същото, винаги заместваме, така че получаваме накрая функция от t. Но тази формула ето тук си има име, това е правилото за диференциране на сложна функция от много променливи. Това е много важно, затова ще го напиша самостоятелно. Ако намерим обикновената производна по отношение на t, на сложната функция от много променливи, в този пример това е функция само от две променливи, х от t и у от t, като заместваме тук междинните функции, х от t и у от t, всяка от тези междинни функции е функция на една променлива, резултатът е, че намираме частната производна по отношение на х и я умножаваме по производната на функцията х по отношение на t а после събираме това с частната производна по отношение на у, умножено по производната на у по отношение на t. Така целият този израз тук е това, което можем да наречем проста версия на правилото за диференциране на сложна функция от много променливи. Съществува по-общ вид, като ние ще стигнем до него, но това тук е по-простият вид, когато можем да разглеждаме, че започваме с едно измерение, а после някак се оказваме в две измерения, а после от тези две измерения отново се връщаме в едно измерение. Така че това е това, а в следващия урок ще разгледаме логически защо това е вярно. Тук просто разгледахме един пример и ти доказах, че това е вярно, че отговаря на правилото. Но има много добър начин да се демонстрира откъде следва това правило, като ще разгледаме и по-обобщения вариант, където ще го видиш. Ще използваме запис чрез вектори, което прави нещата да изглеждат много изчистени, като може даже да ти покажа още по-изчистено доказателство защо това е вярно. До скоро!