If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Граници при безкрайност на частни от функции (част 2)

Сал анализира границите при безкрайност на три различни рационални функции. Той открива три общи случая на поведение на границите. Създадено от Сал Кан.

Видео транскрипция

Да намерим още няколко граници на функции за х, клонящо към плюс или минус безкрайност. Имам тази завъртяна функция: 9х⁷ - 17х⁶ + 15√х, всичко това делено на 3х⁷ + 1000х⁵ - log₂х. Какво ще стане, когато х се стреми към безкрайност? Най-важното тук, както виждаме и в други примери, е да разберем кои са доминиращите членове. Например в числителя старшият член е 9х⁷: той расте много по-бързо от останалите членове. Това е доминиращият член в числителя. В знаменателя 3х⁷ расте много по-бързо от члена с х⁵, и определено по-бързо от този логаритъм с основа 2. Значи, когато сме много близко до безкрайност, тази функция ще е приблизително равна на 9х⁷ върху 3х⁷. Затова можем да кажем, че когато х става все по-голямо и по-близо до безкрайност, тези два израза са все по-близки един до друг. Можем да кажем, че тази граница ще е равна на тази граница: дописвам знака за граница при х, клонящо към безкрайност. Можем да съкратим х⁷. Тогава остава 9/3, което е 3. Всичко това е равно на 3. Това е нашата граница при х, клонящо към безкрайност. Сега да направим същото и с втората функция. Тя отново е завъртяна. Тук х клони към минус безкрайност. Но същите принципи са в сила. Търсим доминиращия член, когато абсолютната стойност на х става все по-голяма. Това е, когато големината на х расте. В числителя това е 3х³. В знаменателя е 6х⁴. Значи това е равно на границата на 3х³ / 6х⁴ при х, клонящо към минус безкрайност. Като го опростим, получаваме границата на 1/2х, когато х клони към минус безкрайност. На колко е равна тя? Знаменателят става отрицателно число с все по-голяма абсолютна стойност. Това е 1 върху много голямо отрицателно число, което става много близко до нулата, подобно на 1/х при х, клонящо към минус безкрайност. Това се стреми към нула. В този случай имаме хоризонтална асимптота при у = 0. Приканвам те да начертаеш графиката или да опиташ с няколко числа, за да се убедиш самостоятелно. Най-важното тук е да опростим задачата, като помислим кои членове са с по-голяма тежест от останалите. Сега да помислим за последния пример. Каква е границата на тази сложна функция, когато х клони към плюс безкрайност? Отново, да помислим кои са старшите членове? В числителя това е х⁴, а в знаменателя е 250х³. Това са членовете с най-висока степен. Значи това е равно на границата на х⁴ / 250х³, когато х клони към безкрайност. Това може да се опрости, като разделим 4 на 250... не, по-добре засега да го оставим така. Това е границата на, имаме 4/250 и после х⁴ / х³ е равно на х, значи по х, когато х клони към безкрайност. Дори можем да го напишем като 4/250 по границата на х при х, клонящо към безкрайност. Колко е това? Колко е границата на х, когато х клони към безкрайност? Това ще расте неограничено. Значи тази граница тук ще е равна на безкрайност. Получихме безкрайност по положително число, което е равно на безкрайност. Значи границата на този израз, когато х клони към безкрайност всъщност е неистинска. Тя е безкрайност. Има и очевиден начин да получим това директно, като забележим, че числителят е от четвърта степен, а най-високата степен в знаменателя е само трета степен. Значи числителят ще расте много по-бързо от знаменателя. Когато числителят расте по-бързо от знаменателя, получаваме безкрайност в този случай. Ако числителят расте по-бавно от знаменателя, тоест знаменателят расте по-бързо от числителя, получаваме 0 като във втория случай. Надявам се този извод да ти е полезен.