Граници при безкрайност на частни от функции (част 2)

Да намерим още няколко граници на функции за х, клонящо към плюс или минус безкрайност. Имам тази завъртяна функция: 9х⁷ - 17х⁶ + 15√х, всичко това делено на 3х⁷ + 1000х⁵ - log₂х. Какво ще стане, когато х се стреми към безкрайност? Най-важното тук, както виждаме и в други примери, е да разберем кои са доминиращите членове. Например в числителя старшият член е 9х⁷: той расте много по-бързо от останалите членове. Това е доминиращият член в числителя. В знаменателя 3х⁷ расте много по-бързо от члена с х⁵, и определено по-бързо от този логаритъм с основа 2. Значи, когато сме много близко до безкрайност, тази функция ще е приблизително равна на 9х⁷ върху 3х⁷. Затова можем да кажем, че когато х става все по-голямо и по-близо до безкрайност, тези два израза са все по-близки един до друг. Можем да кажем, че тази граница ще е равна на тази граница: дописвам знака за граница при х, клонящо към безкрайност. Можем да съкратим х⁷. Тогава остава 9/3, което е 3. Всичко това е равно на 3. Това е нашата граница при х, клонящо към безкрайност. Сега да направим същото и с втората функция. Тя отново е завъртяна. Тук х клони към минус безкрайност. Но същите принципи са в сила. Търсим доминиращия член, когато абсолютната стойност на х става все по-голяма. Това е, когато големината на х расте. В числителя това е 3х³. В знаменателя е 6х⁴. Значи това е равно на границата на 3х³ / 6х⁴ при х, клонящо към минус безкрайност. Като го опростим, получаваме границата на 1/2х, когато х клони към минус безкрайност. На колко е равна тя? Знаменателят става отрицателно число с все по-голяма абсолютна стойност. Това е 1 върху много голямо отрицателно число, което става много близко до нулата, подобно на 1/х при х, клонящо към минус безкрайност. Това се стреми към нула. В този случай имаме хоризонтална асимптота при у = 0. Приканвам те да начертаеш графиката или да опиташ с няколко числа, за да се убедиш самостоятелно. Най-важното тук е да опростим задачата, като помислим кои членове са с по-голяма тежест от останалите. Сега да помислим за последния пример. Каква е границата на тази сложна функция, когато х клони към плюс безкрайност? Отново, да помислим кои са старшите членове? В числителя това е х⁴, а в знаменателя е 250х³. Това са членовете с най-висока степен. Значи това е равно на границата на х⁴ / 250х³, когато х клони към безкрайност. Това може да се опрости, като разделим 4 на 250... не, по-добре засега да го оставим така. Това е границата на, имаме 4/250 и после х⁴ / х³ е равно на х, значи по х, когато х клони към безкрайност. Дори можем да го напишем като 4/250 по границата на х при х, клонящо към безкрайност. Колко е това? Колко е границата на х, когато х клони към безкрайност? Това ще расте неограничено. Значи тази граница тук ще е равна на безкрайност. Получихме безкрайност по положително число, което е равно на безкрайност. Значи границата на този израз, когато х клони към безкрайност всъщност е неистинска. Тя е безкрайност. Има и очевиден начин да получим това директно, като забележим, че числителят е от четвърта степен, а най-високата степен в знаменателя е само трета степен. Значи числителят ще расте много по-бързо от знаменателя. Когато числителят расте по-бързо от знаменателя, получаваме безкрайност в този случай. Ако числителят расте по-бавно от знаменателя, тоест знаменателят расте по-бързо от числителя, получаваме 0 като във втория случай. Надявам се този извод да ти е полезен.