Основно съдържание

Курс: Физика – 8. клас (България) > Раздел 3

Урок 1: Работа и енергия

Какво е гравитационна потенциална енергия?

Научи какво представлява гравитационната потенциална енергия и как се изчислява.

Какво представлява гравитационната потенциална енергия?

Всички инстинктивно знаем, че нещо тежко, повдигнато над нечия глава, представлява потенциално опасна ситуация. Тежестта може да е добре обезопасена, така че да не е задължително опасно. Нашето притеснение е, че това, което осигурява силата, задържаща тежестта срещу гравитацията, може да се провали. За да използваме правилната физична терминология, загрижени сме от гравитационната потенциална енергия на тежестта.

Всички консервативни сили имат потенциална енергия, свързана с тях. Силата на гравитацията не е изключение. Гравитационната потенциална енергия обикновено се представя със символа

U_{g}

. Тя представлява потенциала на едно тяло да извършва работа в резултат на конкретното си местоположение в гравитационно поле.

Нека имаме тяло с маса

m

, което бива вдигано на височина

h

срещу силата на гравитацията, както е показано по-долу. Тялото се повдига вертикално от макара и въже, така че силата поради вдигането на кутията и силата поради гравитацията,

F_{g}

, са успоредни. Ако

g

е големината на земното ускорение, можем да намерим общата извършена работа от силата върху теглото, като умножим големината на силата на гравитацията (земното притегляне)

F_{g}

по вертикалното разстояние

h

, на което е преместено. Това предполага, че гравитационното ускорение е постоянно по протежение на височината

h

\begin{aligned} U_{g} & = F_{g} \cdot h \\ = m \cdot g \cdot h \end{aligned}

Ако силата се премахне, обектът ще падне обратно на земята и гравитационната потенциална енергия ще се превърне в кинетична енергия на падащия обект. Статията ни върху запазването на енергията включва няколко примерни задачи, за чието решаване използваме това, че гравитационната потенциална енергия се преобразува в други форми.

Интересното за гравитационната потенциална енергия е, че нулата се избира произволно. С други думи, свободни сме да изберем всяка точка по вертикала за местоположението, където

h = 0

. За прости механични задачи удобно място за нула ще е подът на лабораторията или повърхността на масата. По принцип обаче можем да изберем всяка отправна точка – понякога наречена начало. Гравитационната потенциална енергия дори може да бъде отрицателна, ако обектът мине под нулевата точка. Това не представлява проблем; просто трябва да се уверим, че използваме същата нулева точка до края в изчисленията си.

Това, че потенциалната енергия може да е с отрицателна стойност, е резултат от произволната константа, която се появява, когато изчисляваме неопределения интеграл

U (x) = \int F (x) \cdot d x

Това е следствие от избраната координатна система и e съвсем различно от отрицателната енергия, която се среща в квантовата механика, когато се обясняват неща като Ефект на Казимир.

Упражнение 1a: Колко електрична енергия ще изразходва един асансьор, вдигащ човек с маса 75 kg на височина от 50 m, ако асансьорната система има обща ефективност от 25%? Приемаме, че масата на празната асансьорна кабина е правилно балансирана от противотежест.

Електричната енергия от мрежата се преобразува в гравитационна потенциална енергия на човека и в топлина, дължаща се на триенето в асансьорната система. Тъй като асансьорната кабина има противотежест, няма промяна в гравитационната потенциална енергия на системата асансьор-противотежест.

Като използваме уравнението за гравитационна потенциална енергия, първо намираме промяната в гравитационната потенциална енергия на човека

Δ U_{person}

\begin{aligned} Δ U_{п ъ т н и к} & = m g h \\ = (75 kg) \cdot (9, 81 m / s^{2}) \cdot (50 m) \\ ≃ 3, 68 \cdot 10^{4} J \\ ≃ 36, 8 kJ \end{aligned}

Дадено ни е, че системата има обща ефективност 25%. Това означава, че 25% от използваната от двигателя електрична енергия се преобразува в полезна работа – гравитационна потенциална енергия в този случай – а останалите 75% са изгубени в околната среда. Следователно общата консумация на електрична енергия

E

е:

\begin{aligned} E & = \frac{1}{0, 25} Δ U_{ч о в е к} \\ = \frac{1}{0, 25} 36, 8 kJ \\ = 147 kJ \end{aligned}

Упражнение 1b (разширение): Колко струва пътуването на асансьора, ако приемем, че цената за електричество е

0, 10 \frac{д о л а р а}{kW \cdot час}

Знаем от определението за мощност, че общата енергия е мощността, умножена по продължителността:

1 kW за 1 час = (1 kW) \cdot (60 \cdot 60 s) = 3600 kJ

Следователно цената на електричеството е

\frac{0, 1 д о л а р а}{3600 kJ} = 2, \overset{―}{77} \cdot 10^{- 5} д о л а р а / kJ

А цената на пътуването е

(2, \overset{―}{77} \cdot 10^{- 5} д о л а р а / kJ) \cdot (147 kJ) = 0, 41 цента

Упражнение 2: Гравитационната потенциална енергия е една от много малкото форми на енергия, които могат да бъдат използвани за практично съхраняване на енергия в много голям мащаб. Съхраняването на енергия в много голям мащаб е необходимо за съхраняване на излишна електрическа енергия от вятърни и слънчеви енергийни източници, така че да може да бъде прехвърлена в електричната мрежа в момент на нужда. Това може да бъде постигнато чрез помпени хидроелектрични системи. Изображението по-долу показва пример за такава система. Водата се изпомпва в горния резервоар чрез използване на излишната енергия за задвижване на двигател, който движи турбинна помпа. Когато търсенето на енергия в мрежата се повиши, посоката се обръща. Помпата става генератор, захранван от гравитационната потенциална енергия на водата в горния резервоар. Водата може да бъде освободена много бързо, за да осигури пикова мощност за цял град и дори за много градове.

Помпената станция за съхранение в окръг Бат е най-голямата електроцентрала за изпомпване и съхранение в света. Тя обслужва 60 милиона души и има генераторен капацитет около 3 GW

^{1}

. Разликата във височината

h

при тази система е 380 m. Да приемем, че системата има обща енергийна ефективност от 80%. Какъв обем вода трябва да преминава от горния резервоар през турбината за 30-минутен период, ако в града се потребява 3 GW мощност в този период?

Първо трябва да намерим нужната енергия от дадените в условието мощност

P

и продължителност

t

\begin{aligned} E & = P \cdot t \\ = (3 \cdot 10^{9} W) \cdot (30 \cdot 60 s) \\ = 5, 4 \cdot 10^{12} J \end{aligned}

Като имаме предвид, че процесът е 80% ефективен, ще имаме нужда от повече гравитационна потенциална енергия с коефициент

\frac{1}{0, 8} = 1, 25

, следователно

U_{g} = 1, 25 \cdot (5, 4 \cdot 10^{12} J) = 6, 75 \cdot 10^{12} J

Тогава можем да намерим масата на нужната вода от уравнението за гравитационна потенциална енергия:

\begin{aligned} m & = \frac{U_{g}}{g \cdot h} \\ = \frac{6, 75 \cdot 10^{12} J}{(9, 81 m / s^{2}) \cdot (380 m)} \\ ≃ 1, 81 \cdot 10^{9} kg \end{aligned}

Чрез магията на метричната система — 1 L вода има маса 1 kg — това са 1,81 GL (гигалитра) вода. За сравнение – един басейн с олимпийски размери съдържа 2,5 ML (мегалитра) вода, следователно 1810 ML вода за 30 минути е равно на обема на около 24 олимпийски басейна, падащи всяка минута.

Какво се случва, ако гравитационното поле не е еднородно?

Ако задачата включва големи разстояния, вече не можем да приемем, че гравитационното поле е еднородно. Ако си припомним закона на Нютон за гравитацията, силата на привличане между две маси

m_{1}

m_{2}

намалява с квадрата на разстоянието

r

между тях. Ако

G

е гравитационната константа,

F = \frac{G m_{1} m_{2}}{r^{2}}

Когато се занимаваме с гравитационна потенциална енергия при големи разстояния, обикновено правим избор за позицията на нашата точка нула, което може да изглежда нелогично. Поставяме нулевата точка на гравитационната потенциална енергия на разстояние

r

от безкрайност. Това прави всички стойности на гравитационната потенциална енергия отрицателни.

Оказва се, че това е логично, понеже с увеличаване на разстоянието гравитационната сила бързо приближава нула. Когато си близо до планета, тази планета те привлича с нейната гравитация и ти трябва много енергия, за да "избягаш". Строго погледнато, можеш да избягаш само когато

r = \infty

, но поради обратната зависимост от квадрата на разстоянието можем да достигнем асимптота, където гравитационната потенциална енергия става много близка до нула. За космически кораб, напускащ Земята, това може да се каже, че се случва при височина от

5 \cdot 10^{7}

метра над повърхността, което е около четири пъти диаметъра на Земята. При тази височина гравитационното ускорение е намаляло до около 1% от стойността си на земната повърхност.

Ако си припомним, че извършената работа е равна на силата по разстоянието, тогава можем да видим, че разстоянието

r

, умножено по силата на гравитацията в числителя, се съкращава с квадрата на разстоянието в знаменателя. Ако определим нашата нула за потенциалната енергия да бъде в безкрайността, няма да е голяма изненада, че гравитационната потенциална енергия като функция на

r

е:

U_{g} (r) = - \frac{G m_{1} m_{2}}{r}

Ако дефинираме

U (\infty) = 0

, тогава извършената работа при придвижване на една частица от безкрайност до разстояние

r

от гравитационен обект е

W = - \int_{\infty}^{r} \vec{F} \cdot d \vec{r}

Най-простият начин, по който изчисляваме интеграла, е права отсечка по оста х.

\begin{aligned} U_{g} (r) & = - \int_{\infty}^{r} \frac{- G m_{1} m_{2}}{x^{2}} \cdot d x \\ = {[\frac{- G m_{1} m_{2}}{x}]}_{\infty}^{r} \\ = - \frac{G m_{1} m_{2}}{r} \end{aligned}

Формулировката е много удобна за описване на енергийните нужди при пътуване между различни тела в слънчевата система. Можем да си представим, че кацаме на планета. Колкото повече се приближаваме до планетата, толкова повече кинетична енергия получаваме. Тъй като енергията се запазва, ние губим гравитационна потенциална енергия в резултат на това – с други думи,

U_{g}

става по-отрицателна.

Тази картинка води до идеята за гравитационен кладенец, от който трябва да се "изкатериш", за да се прехвърлиш от едно планетарно тяло на друго. Изображението по-долу показва гравитационните кладенци на Плутон и неговата луна Харон, калибрирани за космически кораб с маса 1000 kg.

Упражнение 3: Основавайки се на графиката от изображението по-горе, колко работа трябва да се извърши срещу гравитацията при пътешествие, започващо в покой от повърхността на Харон и завършващо на повърхността на Плутон със скорост нула?

За да напуснем повърхността на Харон, първо трябва да се измъкнем от гравитационния му кладенец. За щастие, няма нужда да се измъкваме от цялата система, а само толкова далече, че да имаме достатъчно енергия, за да избегнем падане обратно на Харон, ако ракетата ни спре. Това се случва, когато червената и синята линия се пресекат.

Поглеждайки графиката, виждаме, че това изисква

(- 0, 07) - (- 0,175) = 0,105 GJ

В тази точка можем просто да паднем на Плутон, но тогава цялата гравитационна потенциална енергия би била превърната в кинетична енергия и бихме се разбили на повърхността на Плутон. Искаме да се приземим с нулева скорост, така че трябва да извършим работа, точно равна на гравитационната ни потенциална енергия, за да постигнем това. Като погледнем отново графиката, откриваме, че това изисква

(- 0, 07) - (- 0,737) = 0,667 GJ

Следователно се нуждаем от обща енергия

0,105 + 0,667 = 0,772 GJ

. Това не включва никаква енергия, нужна за отчитане на скоростните разлики между двата обекта.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.