Ротационна версия на втория закон на Нютон

Добре, сега знаем как да намерим въртящия момент, но кой го е грижа? От каква полза ни е въртящият момент? Какво може да направи за нас? Ето какво може да направи. От втория закон на Нютон знаем, че ускорението е пропорционално на силата. Бихме искали да имаме някакъв вид ротационен аналог на тази формула. Нещо, което ще ни каже, че ще имаме определено количество ъглово ускорение за определено количество въртящ момент. И вероятно можеш да предположиш, че това ъглово ускорение вероятно ще има нещо с въртящ момент отгоре, понеже въртящият момент ще накара нещо да ускори ъглово. И после, отдолу, може би това е маса, може би не. Това ни трябва тук. Ако имахме тази формула, този ротационен аналог на втория закон на Нютон, тогава като знаем въртящия момент, можем да намерим какво е ъгловото ускорение. Точно както тук горе, като знаем силата, можем да кажем какво ще е нормалното ускорение. Това искам да направя в това видео. Искам да намеря този ротационен аналог на втория закон на Нютон за един обект, който се върти в кръг, като тази топка. И не просто се върти в кръг, а е и нещо, което ускорява ъглово. Това ще увеличава скоростта си в своето въртене или ще намалява скоростта си в своето въртене. Нека направим това, да намерим тази формула, така че ако знаем въртящия момент, да можем да определим ъгловото ускорение, точно както определяме нормалното ускорение, като знаем силата и втория закон на Нютон. Как правим това? За да имаме ъглово ускорение ще ни трябва сила, която е допирателна на окръжността. За да можеш да ускориш нещо ъглово имаш нужда от тангенционална сила, понеже тази сила ще причини въртящ момент. Да кажем, че това е силата, която води до въртящ момент. Сега знаем как да я намерим. Спомни си, въртящият момент е r по F по синус от тита, но нека опростим това. Да кажем, че ъгълът е 90, така че синус от тита ще е 1, понеже синус от 90 е 1. Нека опростим нещата и като кажем, че тази сила е сумарната сила. Да кажем, че има само една сила върху този обект и това е тази сила тук. Знаем, че сумарната сила трябва да е равна на масата на обекта по ускорението на обекта. И вероятно се радваш. Вече знаехме това. Какво е ново тук? Помни, искаме да свържем въртящия момент с ъгловото ускорение, така че нека запишем формулата за въртящ момент. Как намираш въртящия момент от дадена сила? Припомни си, че въртящият момент от дадена сила ще е равен на силата, прилагаща този въртящ момент, по r – разстоянието от оста до точката, в която бива приложена силата. В този случай това е целият радиус, понеже прилагаме тази сила чак до ръба. Ако тази сила беше приложена някъде навътре, тогава щеше да е само това разстояние от оста до точката, в която е силата. Но я приложихме в самия край, така че това ще е F по целия радиус. И после има и синус от ъгъла между F и r, но ъгълът между F и r е 90 градуса тук, а синусът от 90 градуса е просто 1, така че може да се отървем от това. Това е просто – въртящият момент, приложен от тази сила F, ще е F по r. Какво правим с това? Погледни тук долу, вече имаме F тук долу. Ако имаш творческо въображение, може да си кажеш: "Нека умножим двете страни по r тук долу и така ще получим въртящ момент в тази формула. С други думи, ако умножа лявата страна по r, ще получа r по F и сега това ще е равно на r по дясната страна. Тоест това ще е r по m по ускорението. И това ще е добре, виж, сега имаме r по F. Това е просто въртящият момент. Въртящият момент е r по F, или F по r. Имам – въртящият момент е равен на r по m по ускорението, но това не е добре. Спомни си, тук искаме формула, която свързва въртящия момент с ъгловото ускорение, а не формула, която свързва въртящия момент с нормалното ускорение. С какво мога да заместя обикновеното ускорение, за да получа ъглово ускорение? Може би помниш, че говорихме за променливите на ъгловото движение. Тангенциалното ускорение винаги ще е равно на разстоянието от оста до този обект, който получава тангенциалното ускорение, умножено по ъгловото ускорение алфа. Това е зависимостта между алфа и тангенциалното ускорение. Това тангенциално ускорение ли е? Да, понеже това беше допирателната (тангенциалната) сила. След като взехме тангенциалната сила, това ще е пропорционално на тангенциалното ускорение. И двете са допирателни тук, всички тези сили са допирателни. Това означава, че мога да преобразувам тангенциалното ускорение като r по алфа и това ще направя. Ще преобразувам тази страна като r по алфа, понеже r алфа е тангенциалното ускорение. Целият този член ето тук беше просто тангенциалното ускорение. И виж какво получихме. Получихме, че въртящият момент ще е равен на r по m по r по алфа. Мога да комбинирам двете r и просто да запиша това като m по r^2 по алфа, ъгловото ускорение. И сега сме близо. Ако исках определен вид на втория закон на Нютон, можех да го оставя така или да го поставя в този вид ето тук и да намериш алфа и получавам алфа, ъгловото ускорение на тази маса, ще е равно на въртящия момент, приложен върху тази маса, делено на този странен член, това m, масата, по r^2. И това търсим. Това търсим тук. Ще го запиша в това квадратче. Ротационният аналог за втория закон на Нютон за въртенето е този въртящ момент, делено на този член тук. Какво е това mr^2. Това играе същата роля, каквато тази маса играеше за обикновеното ускорение и за стандртния втори закон на Нютон. И припомни си, тази маса беше пропорционална на инерцията на един обект. Тя ти казва колко трудно е да накараш този обект да ускори. Колко е бавен един обект. Колко се съпротивлява на ускорението. Това ще е този член тук долу. Хората обикновено наричат това момент на инерция, но това трябва да е най-сложното име, което някога съм чувал за която и да е физична идея. Дори не знам какво означава. Импулс на инерция. Това звучи странно. Представя се с буквата l и играе същата роля. Намира се в този знаменател, точно както масата, и играе същата роля. Играе ролята на инерционен момент на въпросната система. С други думи, нещо с голям инерционен момент ще се съпротивлява повече на ъгловото ускорение, точно както нещо с голяма обиковена инерция се съпротивлява на обикновеното ускорение. Ако тази топка – и можем да видим от какво зависи. Виж, за една топка на края на една нишка импулсът на инерция за топката на края на нишката беше прост mr^2. Това беше знаменателят. Това беше членът, който играе ролята на инерционен момент за тази маса, вързана с нишката. И това означава, че ако имаш по-голяма маса или ако радиусът беше по-голям, ще е по-трудно този обект да ускори ъглово. Тоест ще е трудно да задвижиш това и да започнеш да го ускоряваш. Но от друга страна, ако масата беше малка или радиусът беше малък, щеше да е много по-лесно това нещо да ускори ъглово. Можеш да го въртиш наоколо както си искаш. Но ако масата беше много голяма или радиусът беше много голям, този член за импулса на инерция ще стане много по-голям. Това е импулсът на инерция за една маса на края на една нишка и това представлява това l тук. Можеш да мислиш за това като за инерционен момент. Това е много по-добро име. Хората осъзнават, че просто трябва да го наречеш така, понеже това всъщност представлява. Това "импулс на инерция" е един вид термин от миналото. Заседял се е наоколо, но не е много добър. "Инерционен момент" е много по-добро описание за това, което l всъщност е. И трябва да отбележим, че мерните единици на този импулс на инерция, след като е масата по радиуса на квадрат, мерните единици ще са килограм метри на квадрат. Това са мерните единици за импулс на инерция, а това е формулата, ако имаш точкова маса. И под това просто имам предвид маса, при която цялата маса пътува по същия радиус в една окръжност. Не е нужно да е вързана към нишка. Това може да е Луната, обикаляща около Земята. Но стига цялата маса да е на същия радиус и да пътува наоколо в кръг, или поне почти в същия радиус. Нека приемем, че този малък радиус на сферата е много малък в сравнение с този радиус на нишката. Ако наистина е така – ако цялата маса обикаля в кръг при същия радиус, това ще е формулата за намиране на импулса на инерция. Как това става по-трудно? За какво трябва да внимаваш? Е, тук говорихме само за една сила. Можеш да си представиш, че може да има много сили върху този обект. Може би има някаква друга сила насам. В този случай можеш просто да имаш сумарната сила тук, за да се увериш, че това е m по a, и просто трябва да се увериш, че използваш сумарния въртящ момент тук горе. Тази формула все още ще работи, ако имаш множество въртящи моменти върху този обект или тази система. Просто трябва да използваш сумарния въртящ момент тук горе. Събираш всички въртящи моменти. Въртящите моменти, които опитват да го въртят в една посока, ще са положителни. Въртящите моменти, които се опитват да го въртят в другата посока, ще са отрицателни. Така че трябва да се увериш, че знаците тук са правилни. А какво да кажем за инерционния момент? А ако обектът ти не е толкова прост, колкото една-единствена маса? Какво ще правиш тогава? Нека разгледаме това. Нека вземем тази формула тук, ще копирам това. Нека се отървем от всичко това и да кажем, че имаш една такава странна задача. Сега имаш три тежести и една сила върху тази тежест 2 беше 20 нютона надолу, а една сила беше 50 нютона нагоре върху тази тежест 1. И те за разделени от 3 метра и могат да се въртят. Сега усложняваме задачата. Това е сложно. Това може да се върти в кръг, но ние можем да се справим. Можем да се справим с формулата, която току-що намерихме. Нека използваме това. Това ще е полезно. Да кажем, че въпросът е какво е ъгловото ускорение за тези три маси при тази поредица от сили. Ще използваме тази формула за втория закон на Нютон. В ъгловата версия ще кажем, че ъгловото ускорение, ако това е, което искаме, ще е равно на сумарния въртящ момент. Как намираме сумарния въртящ момент? Сега има две сили. Не е толкова трудно. Просто намираш въртящия момент от всяка от тях поотделно и после ги събираш. Точно както правиш с всеки сумарен вектор – намираш всяка от частите поотделно и ги събираш. Но това няма да е 50 - 20. Това са въртящи моменти. Ще въведем въртящия момент тук горе, а не силата. Това трябва да е въртящ момент и докато не умножиш тази сила по r, това е просто сила. Така че не опитвай да поставиш това 50 тук горе. То трябва да е умножено по r. По какво r? Внимавай, може да решиш, че е 3 метра, но това не е така. r винаги е от оста на въртене, което е от центъра, чак до мястото, в което се прилага тази сила. Тоест въртящият момент от това 50 ще е 9 метра по 50 нютона. Сега имаме един въртящ момент. Това не е въртящ момент, докато не умножиш тази сила по r. Това беше въртящият момент от 50-те нютона. А какво да кажем за този въртящ момент от 20-те нютона? Може да си кажеш, че сега знаеш как да се справиш: "Това ще е 20 нютона, но не мога просто да поставя 20, нали така?" Трябва да умножим по r. Това ще е 20 нютона по – и това не е 3. Това винаги е разстоянието от оста, тоест това е от центъра чак до мястото, където са прилагани тези 20 нютона, а това ще е 6 метра. Понякога, когато хората стигнат дотук, са просто толкова щастливи, спомнят си r, и поставят плюс, без да помислят за това, но ще сгрешат. Не можеш да направиш това. Виж, тези 50 нютона се опитваха да въртят тази система обратно на часовниковата стрелка. 50-те нютона се опитват да я въртят насам. 20-те нютона се въртят насам. Те са противоположни едни на други. Въртящите моменти трябва да са с противоположни знаци, така че трябва да представя това тук. Ще представя този въртящ момент за 20-те нютона като отрицателен въртящ момент и това е общоприетата практика, която обикновено използваме. Обратно на часовниковата стрелка обикновено е положително, а по часовниковата стрелка обикновено е отрицателно, но без значение как избереш да поставиш знаците, тук трябва да имаш различни знаци, така че внимавай. Това тук горе е нашият сумарен въртящ момент. Как да намерим инерционния момент или импулсът на инерция? От предишни примери знаем, че инерционният момент на една точкова маса което е маса, движеща се в кръг, при което цялата маса се движи в този определен радиус, е просто mr^2. Но сега имаме три тежести, така че може да мислиш, че това е трудно, но не е чак толкова. Просто трябва да кажем, че общият инерционен момент ще е сборът от всички отделни инерционни моменти. Просто събираме всички отделни инерционни моменти. С други думи, това просто ще е инерционният момент на тежест 1. Ако това е 1 килограм, това ще е 1 килограм по r^2. Ето какво означава това. Взимаш всички тежести. m1 по (r1)^2 плюс m2 по (r2)^2 плюс m3 по (r3)^3. Ако имаш още, продължаваш нататък. Просто събираш всички и това ще ти даде общият инерционен момент за една система от тежести (маси). Ако ги правим едно по едно, това един килограм по – r за тази тежест ще е 9 метра, понеже това е разстоянието от оста до тежестта. Това ще е 9 метра на квадрат плюс тежест 2. Ако това са 2 килограма, това ще е по 6^2. И сега продължаваме. Взимаме тази 3-килограмова тежест и също я добавяме към инерционния момент. И това ще е 3 килограма по – това е само на 3 метра от оста, на квадрат, тоест 3 метра на квадрат. Ако съберем всичко това – и въведем това в калкулатор – получаваме, че алфа, ъгловото ускорение, ще е 1,83 радиана в секунда на квадрат. Това е скоростта, с която обектът ще започне да ускорява, ако започне от покой. Ще започне да увеличава скоростта си в тази посока и започва да я увеличава отново и отново, и отново, ако тези сили поддържаха въртящия момент, който прилагат. Да обобщим, точно както вторият закон на Нютон свързва силите с ускорението, тази ъглова версия на втория закон на Нютон свързва въртящите моменти с ъгловите ускорения. И долу в този знаменател това не е масата, това е инерционен момент, който ти казва колко трудно ще е ъглово да ускорим един обект. И можеш да намерим инерционния момент на една точкова маса като mr^2 и можеш да намериш инерционния момент на една група точкови маси, като събереш това, което всяка отделна маса допринася за него.