Преговор по физика: въртящ момент и момент на импулса

Кинематичните формули за въртеливо движение ни позволяват да свържем 5-те различни ротационни променливи за движението и изглеждат точно като нормалните кинематични формули, с тази разлика, че вместо преместване има ъглово преместване. Вместо начална скорост има начална ъглова скорост. Вместо крайна скорост има крайна ъглова скорост. Вместо ускорение има ъглово ускорение. А времето пак си е просто време. Получаваш само тези първите две формули на изпитната си бланка по физика за напреднали. Не получаваш третата и четвъртата. И точно както нормалните кинематични формули, кинематичните формули за въртеливо движение са верни само, ако ъгловото ускорение е постоянно. Какво означава всяка от тези променливи за въртеливо движение? Ъгловото преместване е големината на ъгъла, с който се е завъртяло тялото за определено количество време t. Ъгловата скорост е определена като големината на ъгъла, с който се завърташ за определено време, точно както нормалната скорост е преместването върху времето. А ъгловото ускорение е определено като количеството промяна на ъгловата скорост върху времето, точно както нормалното ускорение е промяната на нормалната скорост върху времето. За нещо, въртящо се в кръг, технически ъгловата скорост сочи перпендикулярно на тази равнина на въртене, но е най-лесно просто да мислим за омега като за обратно на часовниковата стрелка или по часовниковата стрелка. И има зависимост между тези ъглови променливи и техните съответни линейни променливи. За да получим дължината на дъгата s, през която е преминало тялото, просто умножаваме радиуса на траекторията по големината на ъгловото преместване. За да получим големината на скоростта на тялото, просто умножаваме радиуса на пътя по ъгловата големина на скоростта на тялото. За да получим тангенциалното ускорение, умножаваме радиуса на пътя по ъгловото ускорение. Забележи, че това е тангенциалното ускорение. Това ускорение кара тялото да ускори или забави. То е центростремителната компонента на ускорението, която кара тялото да промени посоките си, а формулата за това пак е просто (v^2)/r. Ако едно тяло се движи в кръг, то трябва да има центростремително ускорение, понеже променя посоките си, но само ако то ускорява или забавя ще има тангенциално ускорение и ъглово ускорение. Как ще изглежда една примерна задача с променливи на ъгловото движение? Да кажем, че едно тяло се върти в кръг с постоянна скорост. Кое най-добре ще опише трите различни вида ускорение на тялото? Ако едно тяло се движи по окръжност, трябва да има центростремително ускорение, така че това трябва да е ненулево (различно от нула). И ако се върти с постоянна скорост, няма промяна в омега, а това означава, че ъгловото ускорение е 0. Ако ъгловото ускорение е 0, тангенциалното ускорение също ще е 0. Само когато тялото ускорява или забавя имаш ъглово ускорение и тангенциално ускорение. Това променя големината на скоростта, а центростремителното ускорение променя посоката. Какво означава въртящ момент? Точно както силата е това, което причинява ускорението, въртящият момент е това, което причинява ъглово ускорение. За да може едно тяло да ускори или забави в ъгловото си движение, трябва да има сумарен въртящ момент върху това тяло. Какво създава въртящ момент? Силите създават въртящ момент. За да имаш въртящ момент, трябва да имаш сила, но същата сила може да приложи различен въртящ момент, в зависимост от това къде е приложена тази сила. Ако една сила е приложена далеч от оста на въртене, ще получиш по-голям въртящ момент за това дадено количество сила в сравнение със сили, които са приложени близо до оста на въртене. Това r представлява колко надалеч от оста е приложена тази сила. И за да максимизираш тази сила, ще искаш да я насочиш перпендикулярно на това r, тъй като синус от 90 градуса е равен на 1. С други думи, за да получиш максимален въртящ момент, приложи силата колкото е възможно по-далеч от оста и приложи тази сила перпендикулярно на правата от оста до тази сила. Може да получиш много ъгли в една задача, но този ъгъл тук винаги е ъгълът между r и F. И точно както едно тяло е в транслационно равновесие, ако сумарната сила е 0, казваме, че едно тяло е в ротационно равновесие, ако сумарният въртящ момент е 0. Това ще направи ъгловото ускорение 0, точно както транслационното равновесие прави ускорението 0. Въртящият момент е вектор, така че има посока. Обикновено е най-лесно да мислим за посоката като обратно на часовниковата стрелка или по часовниковата стрелка, въз основа на това накъде тази сила ще накара тялото да се върти. И тъй като въртящият момент е r*F, мерните единици ще са метри по нютон, или нютон метри. Как ще изглежда една примерна задача с въртящ момент? Да кажем, че имаш този прът с тази ос тук и върху него са приложени сили, както е показано. Искаме да знаем колко голяма трябва да е силата F, за да може този прът да е в ротационно равновесие. Помни, ротационно равновесие означава, че сумарният въртящ момент е равен на 0. С други думи, целият въртящ момент, който сочи по часовниковата стрелка, трябва да е равен на целия въртящ момент, който сочи обратно на часовниковата стрелка, за да може системата да е в равновесие. 3-нютоновата сила и 1-нютоновата сила опитват да завъртят тази система по часовниковата стрелка, а неизвестната сила F се опитва да върти системата обратно на часовниковата стрелка. Тази зелена 1-нютонова сила всъщност не прилага никакъв въртящ момент, въпреки че r стойността не е 0. Ъгълът между силата и стойността на r ще е 180 градуса, а синусът от 180 градуса е 0. Което е логично, тъй като тази сила не кара този прът да се върти по часовниковата стрелка или обратно на часовниковата стрелка. Въртящият момент в посоката по часовниковата стрелка ще е 1 метър по 3 нютона, за да намерим въртящия момент за 3-нютоновата сила. Плюс – няма да използваш 2 метра за r на 1-нютоновата сила. Трябва да намериш r от оста, което ще е 3 метра, по сила от 1 нютон, което ни дава общ въртящ момент в посока по часовниковата стрелка от 6 нютон метър и можем да запишем въртящия момент, приложен от неизвестната сила F, като 1 метър по F. За да може 6 нютон метра да са равни на 1 по F, силата F трябва да е равна на 6 нютона. Какво означава инерция при въртеливо движение? Едно тяло с голяма инерция при въртене е трудно за завъртане и още по-трудно за спиране. По същество, инерцията при въртенето ти казва колко едно тяло ще се съпротивлява на ъгловото ускорение. Точно както нормалната инерция ти казва колко едно тяло ще се съпротивлява на нормалното ускорение. И тази инерция при въртене често се нарича инерчен момент. Как правиш инерчния момент по-голям? Можеш да увеличиш инерчния момент, ако поставиш масата по-далеч от оста на въртене, и можеш да намалиш инерчния момент, ако поставиш масата близо до оста на въртене. С други думи, ако можеш да бутнеш масата по-близо до оста на въртене, която е точката, около която тялото се върти, можеш да направиш инерчния момент по-малък и по-малък. За да намериш инерчния момент на едно тяло, чиято цяла маса се върти при един и същи радиус r, можеш просто да използваш формулата I е равно на масата, която се върти, по квадрата на разстоянието от оста на въртене. Тази формула не се дава на изпита, трябва да я запомниш. I = mr^2. И ако имаш много маси, въртящи се при различно r, просто можеш да събереш приноса на всяка маса. Ако имаш непрекъснато тяло, цялата маса на което не е при един и същ радиус от оста, формулите са малко по-сложни. За един прът, въртящ се около центъра си, инерционният момент ще е 1/12 масата на пръта по квадрата на цялата дължина на пръта. За прът, въртящ се около единия си край, инерционният момент ще е по-голям, тъй като повече маса е разпределена по-надалеч от оста и тази формула е 1/3 масата на пръта по квадрата на цялата дължина на пръта. Инерционният момент на една сфера, въртяща се около ос през центъра си, ще е 2/5 масата на сферата по квадрата на радиуса на сферата. И инерционният момент на един цилиндър или диск, въртящ се около ос през центъра си, ще е 1/2 масата на диска по квадрата на радиуса на този диск. Друг пример, който често се среща, и за който няма да ти дадат формула, е обръч. При него цялата маса е разпределена около централната точка с кух център. Тъй като цялата маса е при същия радиус r, формулата за инерционния момент на един обръч е същата като формулата за инерционния момент на единична маса, въртяща се при радиус r. Фактът, че масата е разпределена в окръжност, всъщност няма значение, тъй като масата пак остава при същия радиус r. Инерционният момент не е вектор, така че винаги е положителен или 0, а мерните единици, тъй като е mr^2, ще са килограми по метри на квадрат. Как ще изглежда една примерна задача с инерционен момент? Да кажем, че два цилиндъра са пуснати да се търкалят, без да се плъзгат, от покой надолу по хълм. Масата на цилиндър А е разпределена равномерно в целия цилиндър. Цилиндър В е създаден от по-плътен материал и има кух център, като масата е разпределена около този кух център. Ако масите и радиусите на цилиндрите са еднакви, кой цилиндър пръв ще стигне до подножието на този хълм? За да намерим кой цилиндър стига пръв до подножието на хълма, трябва да попитаме кой от тях ще е по-лесен за въртене. Цилиндърът с по-малък инерционен момент ще е по-лесен за въртене. Това означава, че той ще се върти по-лесно и ще стигне по-бързо до подножието на хълма. Когато масата е разпределена по-надалеч от оста, тялото ще има по-голям инерционен момент, и понеже масата на цилиндър В като цяло е по-отдалечена от оста в сравнение с цилиндър А, цилиндър В има по-голям инерционен момент, а това означава, че се върти по-трудно. Ще му е нужно повече време, за да се изтърколи по хълма, и цилиндър А ще спечели. Какъв е вторият закон на Нютон за въртеливото движение? Вторият закон на Нютон казва, че ускорението е равно на сумарната сила, делена на масата. Ъгловата версия на втория закон на Нютон казва, че ъгловото ускорение е равно на сумарния въртящ момент, делен на инерционния момент. М ти казва колко едно тяло се съпротивлява на ускорението, а инерционният момент или инерцията при въртене ти казва колко едно тяло се съпротивлява на ъглово ускорение. Точно както когато събираш вектори на силите, трябва да внимаваш с положителните и отрицателните знаци, същото е вярно за векторите на въртящия момент. Трябва да определиш или обратно на часовниковата стрелка, или по часовниковата стрелка като положително, а после да го прилагаш последователно. Как ще изглежда една примерна задача с втория закон на Нютон за въртеливо движение? Да кажем, че прътът, показан по-долу, има инерционен момент 2 килограм метра на квадрат и върху него действат сили, както е показано. Искаме да знаем каква е големината на ъгловото ускорение на пръта. Използваме втория закон на Нютон за въртеливо движение, който казва, че ъгловото ускорение е сумарният въртящ момент, делен на инерционния момент. Имаме инерционния момент, просто ни трябва сумарния въртящ момент. Трябва да намерим общия въртящ момент от всички тези сили. Въртящият момент от 1-нютоновата сила е r, което е 3 метра от оста до тази сила от 1 нютон. И тъй като е приложена перпендикулярно, синус от 90 е 1. Въртящият момент от 1-нютоновата сила ще е 3 нютон метра в посока обратно на часовниковата стрелка. И въртящият момент от 4-нютоновата сила ще е 1 метър, тъй като тя е приложена на 1 метър от оста, по 4 нютона и получаваме 4 нютон метра в посока по часовниковата стрелка. Това означава, че общият сумарен въртящ момент, когато имаш 4 нютон метра в посока по часовниковата стрелка и 3 нютон метра в посока обратна на часовниковата стрелка, ще е просто 1 нютон метър в посока по часовниковата стрелка, тъй като 4 е с една единица по-голямо от 3. И сега делим на инерционния момент, който беше 2, и получаваме ъглово ускорение от 1/2, или 0,5. Какво означава ротационна кинетична енергия? Ако едно тяло се върти или търкаля, казваме, че то има ротационна кинетична енергия. Ако центърът на масата на едно тяло се движи и тялото се върти, обикновено казваме, че тялото има транслационна кинетична енергия и ротационна кинетична енергия. И двете са кинетични енергия, това е просто удобен начин да разграничим двата вида кинетична енергия и особено удобен начин да намерим общата кинетична енергия за нещо, което се движи и върти. Формулата за ротационна кинетична енергия е 1/2 по инерционния момент, или ротационната инерция, по квадрата на ъгловата скорост. Което е логично, понеже формулата за нормалната кинетична енергия е 1/2 по нормалната инерция, т.е. по масата, по скоростта на квадрат. Отново, ако едно тяло се върти, то има ротационна кинетична енергия. Ако центърът на масата на едно тяло се движи, то има нормална транслационна кинетична енергия. И ако центърът на масата се движи и тялото се върти, тогава казваме, че тялото има и ротационна енергия, и транслационна енергия. Ротационната кинетична енергия не е вектор. Тя винаги е или положителна, или 0, и мерните единици могат да бъдат записани като килограм метър на квадрат на секунда на квадрат, но това е енергия, така че знаем, че това просто трябва да е равно на джаули. Как ще изглежда една примерна задача с ротационна кинетична енергия? Да кажем, че върху един цилиндър, който в началото е в покой, е приложен постоянен въртящ момент и той се върти около ос през центъра си. Коя от тези криви най-добре ще ни даде ротационната кинетична енергия на цилиндъра като функция на времето? Ако има постоянен въртящ момент върху едно тяло, това ще доведе до постоянно ъглово ускорение. И ако ъгловото ускорение е постоянно, можем да използваме кинематични формули, за да намерим крайната скорост на това тяло. Крайната ъглова скорост, ако започва от покой, ще е просто алфа по t. Това означава, че ротационната кинетична енергия на това тяло може да бъде записана като 1/2 инерционния момент, който е постоянен, по омега на квадрат. Което в този случай ще е 1/2 I по алфа, по t на квадрат. Тъй като функцията за кинетична енергия е пропорционална на времето на квадрат, ако направиш графика на кинетичната енергия като функция на времето, тя ще изглежда като парабола, така че верният отговор ще е В. Какво е момент на импулса? Причината да ни интересува момента на импулса е, че той се запазва в една система, ако няма приложен външен въртящ момент върху тази система. И както нормалният импулс е масата по скоростта, моментът на импулса е инерционния момент по ъгловата скорост. И това е една удобна формула за намиране на момента на импулса на едно дълго тяло, чиято маса е разпределена в различни точки надалеч от оста на въртене. Странното нещо за момента на импулса е, че дори една материална точка, движеща се по права линия, може да има момента на импулса. За да намерим момента на импулса на една материална точка, движеща се в права линия, взимаме масата на тялото по скоростта на това тяло и или умножаваме по това колко надалеч е тялото от оста по синуса на ъгъла между вектора на скоростта и това R, или, по-лесният начин е просто да умножим по разстоянието на най-близкото доближаване, което е колко най-близо тази маса ще се доближи до или е била до оста. С други думи, за да определим момента на импулса на тази маса, движеща се в права линия, чертаем права линия по нейната траектория и питаме колко наблизо е стигнала или ще стигне до оста. Това е главното R, за което говоря. И ако умножиш това по масата и по скоростта, получаваш момента на импулса на тази материална точка. Моментът на импулса е вектор и е по-лесно просто да помислим за посоката на момента на импулса като или обратно на часовниковата стрелка, или по часовниковата стрелка, в зависимост от това накъде се върти тялото. И за мерните единици, ако умножиш масата в килограми по метри в секунда по метри, получаваш килограм метър на квадрат в секунда като мерни единици за момента на импулса. Как ще изглежда една примерна задача с момент на импулса? Да кажем, че една глинена сфера с маса М се беше насочила към прът с маса 3М и дължина L с големина на скоростта v. Прътът може да се върти около ос около края си. Ако глината прилепне към края на пръта, каква ще е ъгловата скорост на пръта след като глината прилепне за пръта? И ни дават инерционния момент на един прът около края му – той е 1/3 ML^2. Тъй като няма да има сумарен външен въртящ момент върху системата, моментът на импулса на тази система ще бъде запазен. Единственото тяло в тази система, което в началото имаше момент на импулса, е тази глинена сфера. Тъй като това е материална точка, движеща се в права линия, ще използваме формулата М по скоростта по това колко най-много ще се приближи топката до оста, което е L, дължината на пръта. Това ще трябва да е равно на крайния момент на импулса, което можем да запишем като I по омега. И това I ще е инерционния момент и на пръта, и на глината, която сега е прилепнала към края на пръта. Ще имаме MvL е равно на общия инерционен момент – инерционният момент на пръта е 1/3 масата на пръта, която е 3М по дължината на пръта на квадрат – плюс инерционния момент на тази глина, прилепнала към края на пръта и въртяща се в кръг – което ще е масата на глината по радиуса на окръжността, която е траекторията на глината, което е дължината на пръта. С други думи, използваме формулата за инерционен момент на материална точка, чиято цяла маса се върти при един и същи радиус от центъра. И добавяме това към инерционния момент на самия прът. Умножаваме по омега. Този член в скобите се получава 2МL^2. Съкращаваме тези М, съкращаваме едно от тези L и получаваме, че омега е равно на v/2L. Последната тема, за която искам да говоря, е по-обобщената формула за гравитационната потенциална енергия. Защо ни трябва по-обобщена формула? Ако си в една област, където гравитационното поле малко g е константа, тогава можеш просто да използваш познатата ни формула mgh, за да намериш гравитационната потенциална енергия. Но ако си в една област, където гравитационното поле варира, тогава ще трябва да използваш тази по-обобщена формула, която твърди, че гравитационната потенциална енергия между две маси m1 и m2 е равна на отрицателната стойност на гравитационната константа G по произведението на двете маси, разделено на разстоянието център до център между двете маси. Забележи, това е център до център, а не повърхност до повърхност, и не е на квадрат, както е във формулата за силата. Това е просто разстоянието. Гравитационната потенциална енергия не е вектор, но поради този отрицателен знак, гравитационната потенциална енергия винаги ще е отрицателна или 0. Тя ще е 0 само тогава, когато тези сфери се раздалечат безкрайно много, понеже тогава ще делиш на безкрайност и едно върху безкрайност е 0. Иначе това винаги е отрицателно. Но въпреки че тази гравитационна потенциална енергия е отрицателна, тази енергия пак бива преобразувана в кинетична енергия, просто за да може тази гравитационна потенциална енергия да намалее, тя щеше да трябва да стане още по-отрицателна, за да преобразува тази енергия в кинетична енергия. Повдигам тази тема в този раздел, понеже често когато планетите обикалят в орбита около звездите в кръгови орбити, трябва да използваш тази формула, за да определиш гравитационната потенциална енергия между тях. И тъй като това е енергия, мерните единици са джаули. Как ще изглежда една примерна задача с тази по-обобщена формула за гравитационната потенциална енергия? Да кажем, че две сфери с радиус R и маса М падат една към друга, поради гравитационното си привличане. Ако разстоянието повърхност до повърхност между тях започне като 4R и приключи като 2R, колко кинетична енергия ще бъде получена от системата? Ще включим и двете маси в системата си и това ще означава, че няма да има извършена външна работа, така че енергията на тази система ще бъде запазена. Системата ще започне с гравитационна потенциална енергия -G, двете маси, умножени, което е М^2, делено на разстоянието, на което са една от друга в началото, което не е 4R, а разстоянието център до център, което е 6R. Ще приемем, че започват от покой, така че в началото няма да има кинетична енергия и това ще е равно на крайната гравитационна потенциална енергия -G, двете маси умножени, М^2, разделено на разстоянието, на което са в края, което не е 2R, а е разстоянието център до център, тоест това е 4R, плюс колкото потенциална енергия е била преобразувана в кинетична енергия. Ако решим това, за да получим кинетична енергия, получаваме -G M^2 върху 6R плюс G M^2 върху 4R. 1/4 - 1/6 е 1/12. Количеството потенциална енергия, което е било преобразувано в кинетична енергия, е GM^2 върху 12R.