Основно съдържание

Курс: Библиотека по физика > Раздел 6

Урок 2: Еластични и нееластични удари

Какво представляват еластичните и нееластичните удари?

Ударите могат да бъдат еластични и нееластични. Научи какво се запазва и какво не се запазва по време на еластични и нееластични удари.

Какво е еластичен удар?

Еластичен удар е удар, при който в системата няма загуба на кинетична енергия в резултат на сблъсъка. Импулсът и кинетичната енергия са консервативни величини в еластичните удари.

Да предположим, че две подобни колички се движат една срещу друга с еднаква скорост. Те се сблъскват и отскачат една от друга без загуба на скорост. Този удар е напълно еластичен, защото няма загуба на енергия.

В реалността примерите за перфектни еластични удари не са част от нашето ежедневие. Някои сблъсъци между атомите на газовете са примери за перфектни еластични удари. Все пак има примери за сблъсъци в механиката, където загубата на енергия може да е пренебрежима. Тези удари се приемат за еластични, макар и да не са перфектно еластични. Сблъсък между твърди билярдни топки или топките в Люлката на Нютон са два такива примера.

Защо понякога приемаме един удар за перфектно еластичен?

Като имаме предвид, че задачите по механика, които е вероятно да срещнем, не включват перфектно еластични удари, може да изглежда, че това понятие няма голямо практическо приложение. Обаче се оказва, че в практиката често то е много полезно. Това е така, защото условието кинетичната енергия да се съхранява добавя допълнително ограничение към нашите уравнения за движение. Това ни позволява да решаваме задачи, които в противен случай имат твърде много неизвестни. Често отговорът ще бъде доста точен, защото ударът е "достатъчно близък" до перфектно еластичния.

Да предположим, че се случва челен сблъсък между две колички (A и B) на една писта. Искаме да знаем крайните скорости (индекс f) на двете колички, но имаме дадени само началните скорости

v_{A i}

v_{B i}

. Прилагайки запазването на момента, можем да видим, че имаме едно уравнение с две неизвестни:

v_{A f}

v_{B f}

m_{A} v_{A i} + m_{B} v_{B i} = m_{A} v_{A f} + m_{B} v_{B f}

Тъй като кинетичната енергия също се съхранява, ние едновременно с това имаме и друго ограничение:

\frac{1}{2} m_{A} v_{A i}^{2} + \frac{1}{2} m_{B} v_{B i}^{2} = \frac{1}{2} m_{A} v_{A f}^{2} + \frac{1}{2} m_{B} v_{B f}^{2}

Тъй като в момента имаме две уравнения с две неизвестни, знаем, че можем напълно да решим системата, използвайки система уравнения, за да определим двете скорости.

Решаването на тези уравнения е донякъде досадно. Засега просто ще запишем резултата:

v_{A f} = (\frac{m_{A} - m_{B}}{m_{A} + m_{B}}) v_{A i} + (\frac{2 m_{B}}{m_{A} + m_{B}}) v_{B i}

v_{B f} = (\frac{2 m_{A}}{m_{A} + m_{B}}) v_{A i} + (\frac{m_{B} - m_{A}}{m_{A} + m_{B}}) v_{B i}

От запазването на импулса имаме:

m_{A} v_{A i} + m_{B} v_{B i} = m_{A} v_{A f} + m_{B} v_{B f}

и от запазването на кинетичната енергия:

\frac{1}{2} m_{A} v_{A i}^{2} + \frac{1}{2} m_{B} v_{B i}^{2} = \frac{1}{2} m_{A} v_{A f}^{2} + \frac{1}{2} m_{B} v_{B f}^{2}

След като опростим и пренаредим уравнението за кинетичната енергия, получаваме:

m_{A} (v_{A i}^{2} - v_{A f}^{2}) = m_{B} (v_{B f}^{2} - v_{B i}^{2})

Като използваме формулите за съкратено умножение, можем да запишем това като:

m_{A} (v_{A i} - v_{A f}) (v_{A i} + v_{A f}) = m_{B} (v_{B f} - v_{B i}) (v_{B f} + v_{B i})

Сега, ако се върнем към уравнението за запазване на импулса, това може да бъде записано в подобен вид:

m_{A} (v_{A i} - v_{A f}) = m_{B} (v_{B f} - v_{B i})

Ако разделим тези две уравнения едно на друго, получаваме простичък резултат:

v_{A i} + v_{A f} = v_{B f} + v_{B i}

или

v_{B f} = v_{A i} + v_{A f} - v_{B i}

Сега можем да заместим това в първоначалното ни уравнение за запазване на импулса. Можем да преобразуваме уравнението, за да поставим всички членове с

V_{A f}

от дясната страна:

\begin{aligned} m_{A} v_{A f} & = m_{A} v_{A i} + m_{B} v_{B i} - m_{B} (v_{A i} + v_{A f} - v_{B i}) \\ = m_{A} v_{A i} + m_{B} v_{B i} - m_{B} v_{A i} - m_{B} v_{A f} + m_{B} v_{B i} \\ m_{A} v_{A f} + m_{B} v_{A f} & = m_{A} v_{A i} + m_{B} v_{B i} - m_{B} v_{A i} + m_{B} v_{B i} \end{aligned}

Изваждаме скоростите пред скоби и получаваме:

(m_{A} + m_{B}) v_{A f} = (m_{A} - m_{B}) v_{A i} + 2 m_{B} v_{B i}

Което може да се преобразува, за да получим крайния резултат за

v_{A f}

v_{A f} = (\frac{m_{A} - m_{B}}{m_{A} + m_{B}}) v_{A i} + (\frac{2 m_{B}}{m_{A} + m_{B}}) v_{B i}

Сега можем да заместим това обратно в резултата от предишното ни деление:

\begin{aligned} v_{B f} & = v_{A i} + v_{A f} - v_{B i} \\ = v_{A i} + (\frac{m_{A} - m_{B}}{m_{A} + m_{B}}) v_{A i} + (\frac{2 m_{B}}{m_{A} + m_{B}}) v_{B i} - v_{B i} \end{aligned}

Сега можем да групираме членовете със скорост и да приведем под общ знаменател сбора от масите:

v_{B f} = \frac{(m_{A} + m_{B}) + (m_{A} - m_{B})}{m_{A} + m_{B}} v_{A i} + \frac{2 m_{B} - (m_{A} + m_{B})}{m_{A} + m_{B}} v_{B i}

Което може да се опрости до финалната форма:

v_{B f} = (\frac{2 m_{A}}{m_{A} + m_{B}}) v_{A i} + (\frac{m_{B} - m_{A}}{m_{A} + m_{B}}) v_{B i}

Интересното нещо в тези решения са граничните случаи, които се прилагат за различните конфигурации на челни сблъсъци. Те могат да ни помогнат да разберем интуитивно какво се случва в ситуации като еластичните сблъсъци при демонстрация на люлката на Нютон.

Обект А се сблъсква с еднаква по маса цел B, която е в покой:

v_{A f} = 0

v_{B f} = v_{A i}

Удрящият обект спира на място, а целта придобива абсолютно същата скорост като обекта.

Точно такива взаимодействия виждаме в люлката на Нютон. Когато една топка се залюлее на едната страна на люлката, друга топка винаги идва от другата страна. По принцип импулсът също може да бъде запазен, ако се появят две топки, всяка с половината от първоначалната скорост. Обаче сблъсъците са (предимно) еластични. Единственият начин да осигурим съхранение на двата импулса и кинетичната енергия е, ако се появи само една топка.

Обект А се сблъсква с еднакъв по маса обект B. Обектите имат еднаква по големина, но противоположна по посока скорост.
$v_{A f} = v_{B i}$ ‍, $v_{B f} = v_{A i}$ ‍

Двата обекта отскачат един от друг, разменяйки си скорост. Интересно е, че този резултат също важи и при два сблъскващи се обекта с еднакви по големина, но противоположни по посока импулси: обектите ще си разменят импулсите. Това е много полезен резултат, който ни позволява да опростим иначе сложните задачи с еластични сблъсъци. Нашата статия върху център на масата съдържа пример, който използва този факт, за да опрости изчисленията при еластичен удар с два движещи се обекта.

Тежък обект се сблъсква с много по-лека цел, която е в покой.
Крайната скорост на тежкия обект клони към неговата начална скорост. Това е доста предположимо; лекият обект има малък ефект върху тежкия.
Тук "клони към" е използвано в същия контекст както често се среща в математическия анализ. По-конкретно, когато отношението на масите на тежкия и лекия обект клони към безкрайност, крайната скорост все повече се приближава към това, "към което клони".
Лек обект се сблъсква с много по-тежка цел, която е в покой.
Лекият обект отскача от целта, поддържайки същата скорост, но в противоположна посока. Тежката цел остава в покой.

Упражнение 1a: Играч на бадмингтон сервира. Скоростта на нейната ракета е измерена от високоскоростна камера точно преди удрянето на перото и е

v_{r} = 20 m / s

. Приблизително с каква скорост очакваме перото да се движи след удара?

Върхът на перото е достатъчно твърд, за да може сблъсъкът да се приеме като еластичен. Масата на ракетата е много по-голяма от тази на перото. Следователно трябва да очакваме, че скоростта ще бъде приблизително два пъти тази на ракетата, т.е. 40 m/s.

Упражнение 1b: Ако ракетата има маса

m_{r} = 100 г р а м а

, а масата на перото е

m_{s} = 5 г р а м а

, пресметни точната скорост

v_{s}

, като приемеш, че сблъсъкът е еластичен.

Какво е нееластичен удар?

Нееластичен удар е сблъсък, в който има загуба на кинетична енергия. Импулсът на системата се запазва при един нееластичен удар, но кинетичната енергия не се запазва. Това е защото част от кинетичната енергия се е преобразувала в нещо друго. Топлинна енергия, звукова енергия и деформация на материали са вероятните заподозрени.

Да предположим, че две подобни колички се движат една към друга. Те се сблъскват, но тъй като количките са оборудвани с магнитни съединители, те се свързват при сблъсъка и образуват едно свързано тяло. Този вид сблъсък се нарича перфектно нееластичен, защото възможната максимална кинетична енергия е била изгубена. Това не означава задължително, че крайната кинетична енергия е нула; импулсът все още трябва да бъде съхранен.

В истинския свят повечето сблъсъци са някъде между перфектно еластични и перфектно нееластични. Топка, пусната от височина

h

над повърхността, обикновено отскача на някаква височина, по-малка от

h

, в зависимост от това колко твърда е топката. Такива сблъсъци се наричат просто нееластични удари.

Има ли примери за напълно нееластични удари?

Балистичното махало е практическо устройства, в което се случва нееластичен удар. До появата на съвременната апаратура балистичното махало е широко използвано за измерване на скоростта на снаряди.

В това устройство един снаряд се изстрелва в окачен тежък дървен блок. Първоначално дървеният блок е неподвижен. След сблъсъка снарядът се вгражда в блока. Част от кинетичната енергия се трансформира в топлина и звук и се използва за деформиране на блока. Обаче импулсът трябва да се запази. Впоследствие блокът се залюлява с някаква скорост. След удара блокът се държи като махало, в което общата механична енергия е съхранена. Поради това можем да използваме максималната височина на залюляването, за да определим кинетичната енергия на блока след удара, и тогава, като използваме съхранението на импулса, да намерим началната скорост на снаряда.

Знаем, че само импулсът се съхранява в този сблъсък, следователно импулсът на снаряда преди удара трябва да е равен на импулса на системата снаряд-блок веднага след удара. Тук използваме индекса

Б

за блок,

С

за снаряд.

v_{Б}

е скоростта на блока точно след удара.

m_{С} v_{С} = (m_{Б} + m_{С}) v_{Б}

След преобразуване:

v_{Б} = \frac{m_{С} v_{С}}{m_{С} + m_{Б}}

Знаем, че след сблъсъка механичната енергия на системата блок-куршум е съхранена, следователно ако блокът се надигне до максимална височина

h

при гравитационно ускорение

g

, тогава:

\frac{1}{2} (m_{С} + m_{Б}) v_{Б}^{2} = (m_{С} + m_{Б}) g h

След преобразуване:

v_{Б}^{2} = 2 g h

Като заместим началната скорост на блока в предишния израз за съхранение на импулса, получаваме:

\frac{m_{С} v_{С}}{m_{С} + m_{Б}} = \sqrt{2 g h}

Следователно след финалното преобразуване имаме:

v_{С} = \frac{m_{С} + m_{Б}}{m_{С}} \sqrt{2 g h}

Упражнение 2a: Да предположим, че 10 грамово топче от мускет е изстреляно в блок с маса 1 kg, който е част от балистично махало. То се залюлява на височина 0,3 m. Каква е началната скорост на топчето?

Упражнение 2b: Да предположим, че мускетното топче от предишната задача е заменено с куршум с двойно по-малка маса и двойно по-голяма начална скорост. Безопасно ли ще бъде да извършим експеримента със същото махало? Ще очакваме ли същите резултати?

Поради това, че импулсът на куршума е същият като на мускетното топче, ще очакваме същото отклонение. Като преобразуваме предишния израз, за да намерим

h

h = \frac{1}{2 g} {(\frac{m_{C} v_{C}}{m_{C} + m_{Б}})}^{2}

показва, че това е вярно, стига масата на блока да е много по-голяма от тази на куршума. Трябва да отбележим, че кинетичната енергия, която трябва да се е разсеяла в блока, сега е два пъти по-голяма. Това означава, че не е непременно безопасно да използваме същия блок; той може непредсказуемо да експлодира.

Какво е коефициент на реституция?

Коефициентът на реституция е число между 0 и 1, което описва къде едно взаимодействие се намира върху ска́лата между напълно нееластично (0) и напълно еластично (1).

За тяло, което отскача от неподвижна цел, коефициентът на реституция е отношението между крайната

v_{к} р

и началната

v_{н}

скорост, т.е.:

C_{R} = \frac{v_{f}}{v_{i}}

Коефициентът на реституция на често срещани спортни топки варира между 0,35 за топки за крикет върху дървена повърхност и 0,9 за голф топки, удрящи стоманена цел [1]. Коефициентът на реституция на билярдна топка може да бъде до 0,98 [2].

Кое нанася повече щети – предимно еластичен или предимно нееластичен удар на превозни средства?

Зависи за чия повреда се притесняваме – на превозното средство или на пътника!

Да предположим, че превозното средство прави еластичен удар с друго тяло. Превозното средство непременно ще отскочи. Промяната в импулса при отблъскването на превозното средство е по-голяма отколкото при еквивалентен нееластичен удар. Силата върху пътника следователно е по-висока и това очевидно е по-зле за него. От друга страна, тъй като е еластичен удар, няма да се разсее енергия за деформиране на превозното средство. Щетите върху структурата на превозното средство ще бъдат сведени до минимум.

Съвременните автомобили са създадени да използват еластичните и нееластичните удари в случай на инцидент. Шасито на автомобила е устроено да поглъща енергия при сблъсък чрез деформация на зоните на смачкване, вградени в структурата на автомобила. Купето обаче е проектирано да бъде здраво, така че да се намалят щетите върху пътниците.

Източници

[1] A. Haron and K. A. Ismail 2012 Coefficient of restitution of sports balls: A normal drop test in 'IOP Conference Series: Materials Science and Engineering' vol. 36 #1.

[2] Mathavan, S., Jackson, M.R. and Parkin, R.M, 2010. A theoretical analysis of billiard ball dynamics under cushion impacts. In 'Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science', 224 (9), pp. 1863 - 1873

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.