Ротационна кинетична енергия

Когато играч от бейзболната лига хвърли бърза топка, тази топка определено има кинетична енергия. Знаем това, понеже ако застанеш на пътя ѝ, това ще боли. Трябва да внимаваш. Но ето го въпросът ми: Дали фактът, че повечето хвърляния, освен ако не хвърляш бавна топка, дали фактът, че при повечето хвърляния към хоума бейзболната топка се върти, означава, че топката има допълнителна кинетична енергия? Да, и целта за това видео е – как намираме това. Как определяме ротационната кинетична енергия на един обект? Ако за пръв път се сблъсквах с това, първото ми предположение би било да кажа: "Добре, да кажем, че знам как изглежда нормалната кинетична енергия. Формулата за нормалната кинетична енергия е просто 1/2mv^2. Тоест да кажем, че искам ротационната кинетична енергия. Нека просто нарека това k ротационна и какво ще е това? Знам, че за обекти, които се въртят, ротационният еквивалент на масата е инерционният момент. Тоест мога да предположа, че вместо маса имам инерционен момент, понеже от втория закон на Нютон за въртене знам, че вместо маса има инерционен момент, така че може би ще заместя това. И вместо големина на скоростта на квадрат, след като имам нещо, което се върти, ще имам ъглова големина на скоростта на квадрат." И се оказва, че това върши работа. Често можеш да намериш, всъщност да направиш информирано предположение, но можеш да получиш формула за ротационния аналог на някоя линейна формула, като просто замениш с ротационния аналог за всяка от променливите. Тоест ако заменя масата с "ротационна маса", получавам инерционен момент. Ако заменя големина на скоростта с ротационна големина на скоростта, получавам ъгловата големина на скоростта и това е правилната формула. В това видео трябва да намерим това, понеже това не е точно намиране, не го доказваме, просто показахме, че е правдоподобно. Как да докажем, че това е ротационната кинетична енергия за един обект, който се върти, като бейзболна топка. Първото нещо за осъзнаване е, че ротационната кинетична енергия не е някакъв нов вид кинетична енергия, а е същата стара обикновена кинетична енергия за нещо, което се върти. И ето какво имам предвид. Представи си, че тази бейзболна топка се върти в кръг. Всяка точка на бейзболната топка се движи с някаква големина на скоростта, така че тази точка на върха – представи си малкото парче кожа ето тук – ще има някаква големина на скоростта напред. Ще нарека това маса m1, тази малка част от масата, и ще нарека големината на скоростта му v1. Подобно, тази точка на кожата ето тук ще нарека m2, тя ще се движи надолу, понеже се върти в кръг, така че ще нарека това v2, а точките по-близки до оста ще се движат с по-малка големина на скоростта, тоест тази точка ето тук, ще я наречем m3, която се движи надолу със скорост v3, тя не е толкова голяма, колкото v2 или v1. Не можеш да видиш това много добре. Ще използвам по-тъмно зелено. Това m3 тук е по-близко до оста, като оста е в тази точка в центъра, по-близо е до оста, така че големината на скоростта е по-малка, отколкото за точки, които са по-отдалечени от тази ос, така че можеш да видиш, че това е доста сложно. Всички точки на тази бейзболна топка ще се движат с различни големини на скоростта, като точките ето тук, които са много близо до оста, едва се движат. Ще нарека това m4 и то ще се движи с големина на скоростта v4. Под ротационна кинетична енергия имаме предвид просто нормалната кинетична енергия, която тези маси имат около центъра на масата на бейзболната топка. С други думи, под k ротационна имаме предвид, че просто събираш всички тези енергии. Имаш 1/2, това парченце кожа тук горе ще има някаква кинетична енергия, така че пишеш 1/2m1(v1)^2 плюс, и това m2 има някаква кинетична енергия – не се тревожи, че сочи надолу, това няма значение за неща, които не са вектори – това v става на квадрат – тоест кинетичната енергия не е вектор, така че няма значение, че една скорост сочи надолу, понеже това е просто големина на скоростта и, подобно, добавяш 1/2m3(v3)^2, но може да си кажеш: "Но това е невъзможно. Има безброй точки на тази бейзболна топка. Как ще направя това?" Е, ще се случи нещо магическо. Това е едно от любимите ми извличания на формула. Накратко, гледай какво се случва. k ротационна е просто сборът, ако събера всички тези, мога да запиша това като сбор от всички "1/2mv^2" за всяка точка на тази бейзболна топка. Представи, че разделяш тази бейзболна топка на много, много малки части. Не го прави физично, а просто помисли за това, визуализирай много малки части в ума си, части от тази бейзболна топка и колко бързо се движат. Казвам, че ако събереш всички тези, получаваш общата ротационна кинетична енергия. Изглежда невъзможно да направим това. Но ще се случи нещо магическо. Ето какво правим. Можем да преобразуваме – виж, проблемът тук е v. Всички тези точки имат различна големина на скоростта v, но можем да използваме един трик, който обичаме да използваме във физиката – вместо да пишем това като v ще запишем v като – помни, че за неща, които се въртят, v е просто r по омега. Радиусът – отдалечеността ти от оста, по ъгловата скорост, или ъгловата големина на скоростта, ти дава нормалната големина на скоростта. Тази формула е много полезна, така че ще заменим v с r по омега и това ще ни даде r омега и все още трябва да го повдигнеш на квадрат. И в този момент вероятно си мислиш: "Това е още по-лошо, защо направихме това?" Гледай, ако събера това, имам 1/2m. Ще получа r^2 и омега на квадрат и причината това да е по-добре е, че въпреки че всяка точка на бейзболната топка има различна големина на скоростта v, всички имат една и съща ъглова големина на скоростта омега, а това беше хубавото на тези ъглови величини – те са едни и същи за всяка точка на бейзболната топка, без значение на какво разстояние си от оста. И след като са едни и същи за всяка точка, мога да изнеса това от събирането и да преобразувам това събиране, и да изнеса всичко, което е константа за всички маси, извън събирането. Тоест мога да запиша това като 1/2 по сбора на mr^2 и приключвам това събиране, и просто изнасям омега на квадрат, понеже това е едно и също за всеки член. Тоест изнасям това от всички тези членове в сбора, това е както тук горе – всички тези имат 1/2. Можеш да си представиш, че изнасяш 1/2 и просто записваш цялото това като 1/2 по m1(v1)^2 плюс m2(v2)^2 и така нататък. Това правя тук долу с това 1/2 и с това омега на квадрат – ето затова беше добре да заместим v с r по омега. Омега е една и съща за всички тях, можеш да я изнесеш. Все още може би се тревожиш, може би си казваш: "Все още ни остава това m тук, понеже имаме различни m при различни точки. Остават ни всички тези r^2 тук, всички тези точки на бейзболната топка имат различни радиуси, те са на различни точки от оста, на различни разстояния от оста, не можем да ги изнесем, какво правим сега?" Може би разпознаваш този член. Този член на сборуването е просто общият инерционен момент на обекта. Припомни си, че инерционният момент на един обект, както научихме преди, е просто mr^2. Тоест инерционният момент на една точкова маса е mr^2, а инерционният момент на няколко точкови маси е сборът от всички mr^2 и това имаме ето тук. Това е просто инерционният момент на тази бейзболна топка – или какъвто е обектът – дори не е нужно да е с определена форма, ще съберем всички mr^2, това винаги ще е общият инерционен момент. Намерихме, че k ротационна е равна на 1/2 по тази величина, която е I, инерционния момент, по омега на квадрат. И това е формулата, която намерихме само по предположения тук горе. Но върши работа и ето защо върши работа – понеже винаги получаваш тази величина тук долу, която е 1/2I по омега на квадрат, без значение каква е формата на обекта. Това ти казва – тази величина ни дава общата ротационна кинетична енергия на всички точки върху тази маса около центъра на масата, но ето какво не ни дава. Този член тук не включва транслационната кинетична енергия, тоест фактът, че бейзболната топка лети през въздуха, не влиза в тази формула. Не взимаме предвид факта, че бейзболната топка се движи през въздуха. С други думи, не взимаме предвид, че реалният център на масата на тази бейзболна топка се е премествал във въздуха. Но лесно можем да направим това с тази формула тук. Това е транслационната кинетична енергия. Понякога вместо да пишем нормална кинетична енергия, сега, когато имаме две енергии, трябва да уточним, че това всъщност е транслационната кинетична енергия. Имаме формула за транслационната кинетична енергия – енергията, която нещо има от факта, че центърът на масата на този обект се движи, и имаме формула, която взима предвид факта, че нещо може да има кинетична енергия, поради въртенето си. Това е k ротационна, тоест ако един обект се върти, той има ротационна кинетична енергия. Ако един обект се премества през пространството, той има транслационна кинетична енергия, тоест ако центърът на масата се движи и ако обектът се мести и се върти, тогава той ще има и двете от тези кинетични енергии, и двете едновременно и това му е хубавото. Ако един обект се движи и върти, и искаш да намериш общата кинетична енергия на цялото нещо, можеш просто да събереш тези два члена. Ако просто взема транслационния член 1/2mv^2 и това ще е скоростта на центъра на масата... Трябва да внимаваш. Нека направя малко място тук, нека се отърва от всичко това. Взимаш 1/2m по големината на скоростта на центъра на масата на квадрат, получаваш общата транслационна кинетична енергия на бейзболната топка. И ако добавим това към 1/2I омега на квадрат, омега около центъра на масата, ще получиш общата кинетична енергия, и транслационната, и ротационната. Това е чудесно, можем да определим общата кинетична енергия, ротационното и транслационното движение, просто като съберем тези два члена. И какъв пример можем да дадем за това – нека се отърва от всичко това. Да кажем, че някой е хвърлил тази бейзболна топка и радарът показва, че бейзболната топка се е носила през въздуха с 40 метра в секунда. Лети към хоума с 40 метра в секунда. Центърът на масата на тази бейзболна топка се движи с 40 метра в секунда към хоума. И да кажем, че някой е хвърлил бърза топка. Това нещо се върти с ъглова скорост от 50 радиана в секунда. Знаем масата на една бейзболна топка – проверих каква е. Масата на една бейзболна топка е около 0,145 килограма, а радиусът на една бейзболна топка е около 7 сантиметра, тоест в метри това ще е 0,07 метра, тоест можем да намерим каква е общата кинетична енергия. Ще има ротационна кинетична енергия и ще има транслационна кинетична енергия. Транслационната кинетична енергия ще е 1/2 по масата на бейзболната топка по скоростта на центъра на масата на топката на квадрат, което ще ни даде 1/2. Масата на бейзболната топка беше 0,145 и големината на скоростта на центъра на масата на топката е 40 – толкова бързо се движи центърът на масата на тази топка. И ако съберем всичко това, получаваме 116 джаула нормална транслационна кинетична енергия. Колко ротационна кинетична енергия има? Ще имаме ротационна кинетична енергия, поради факта, че тази бейзболна топка също така и се върти. Ще използваме 1/2I омега на квадрат. Ще имам 1/2 – колко е I? Бейзболната топка е сфера. Ако потърсиш инерционния момент на една сфера, понеже не искам сега да събирам всички mr^2, ако направиш това с висша математика, получаваш тази формула. Това означава, че в класа по физика, който се основава предимно на алгебра, трябва да потърсиш това – то е или в диаграма или таблица в учебника ти, или можеш да го потърсиш онлайн. Инерционният момент за сфера е 2/5mr^2. С други думи, 2/5 по масата на бейзболната топка по радиуса на бейзболната топка на квадрат. Това е просто I, инерционния момент на една сфера. Приемаме, че тази бейзболна топка е перфектна сфера и има еднородна плътност – това не е напълно вярно, но е доста близо до истината. Умножаваме по това омега на квадрат, ъгловата големина на скоростта на квадрат. Ще получим 1/2 по 2/5, масата на една бейзболна топка беше 0,145. Радиусът на бейзболната топка беше около – какво казахме – 0,07 метра, тоест това е 0,07 метра на квадрат и накрая умножаваме по омега на квадрат и ще получим 50 радиана в секунда и повдигаме на квадрат, което ни дава 0,355 джаула. Тоест много малка част от енергията на тази бейзболна топка е във въртенето ѝ. Почти цялата енергия е във вида на транслационна енергия. Това е логично. Фактът, че тази бейзболна топка лети към хоума, е причината да те заболи, ако тя те удари, а не фактът, че се върти, когато те удари – това не причинява толкова проблеми, колкото фактът, че кинетичната енергия на тази бейзболна топка е предимно под формата на транслационна кинетична енергия. Но ако искаш общата кинетична енергия на бейзболната топка ще събереш тези два члена. K обща ще е транслационната кинетична енергия плюс ротационната кинетична енергия. Това означава, че общата кинетична енергия ще е 116 джаула плюс 0,355 джаула, което ни дава 116,355 джаула. Да обобщим, ако един обект едновременно се върти и движи в пространството, можеш да намериш транслационната кинетична енергия, като използваш 1/2m по скоростта на центъра на масата на този обект на квадрат и можеш да намериш ротационната кинетична енергия, като използваш 1/2I по инерционния момент, използвайки точно каква форма е това. Ако е точкова маса, движеща се в голям кръг, можеш да използваш mr^2, ако е сфера, която се върти около центъра си, можеш да използваш 2/5mr^2. Цилиндрите са 1/2mr^2. Можеш да провериш тези стойности в таблица, за да намериш колко е I, което ти трябва, по ъгловата големина на скоростта на квадрат на обекта около този център на масата. И ако събереш тези два члена, получаваш общата кинетична енергия на този обект.