Обяснение защо независимостта има значение за дисперсията на сбора

В предишното видео говорихме за твърдението, че ако имаме две случайни променливи, X и Y, които са независими, тогава дисперсията от сумата на тези две случайни променливи или разликата на тези две случайни променливи ще бъде равна на сумата от дисперсиите на променливите. Така че, ако имаме независими случайни променливи, дисперсията на сумата или разликата ще се увеличи. Вече си изградихме някакво разбиране за това. Това, за което искам да говоря в това видео, е свързано с доизграждане на това разбиране, за да придобиеш усещане, защо тази независимост е важна за това твърдение. И за да придобием такова разбиране, нека погледнем две случайни променливи, които определено са случайни, но също така определено не са независими. Така че нека Х е равно на броя часове, които следващият човек, когото срещнеш, нека го наречем случаен човек, е спал вчера. И да кажем, че Y е равно на броя часове, през които човекът е бил буден вчера. И помисли, защо тези величини не са независими случайни променливи. Едната напълно ще определя другата и обратно. Ако съм спал осем часа вчера тогава съм бил буден за 16 часа. Или ако съм спал 16 часа, тогава съм бил буден в продължение на осем часа. Знаем, че Х плюс У, въпреки че са случайни променливи, и че съществува дисперсия на X и съществува дисперсия на Y, но за всеки отделен човек, не забравяй, тяхната сума ще бъде фиксирана. X плюс Y винаги ще бъде равно на 24 часа. Следователно, те не са независими. Ако ти е дадена една от променливите, тя напълно ще определи каква е другата променлива. Вероятността да се получи определена стойност за едната променлива ще бъде много различна, като се има предвид каква стойност имаш за другата променлива. Така че те изобщо не са независими. Така че при тази ситуация, нека просто за примера приемем, че дисперсията на Х, е равна на... и аз не знам. Да кажем, че е равна на четири. Мерните единици в случая ще са (часa)². Така че - 4 (часа)². Можем да кажем, че стандартното отклонение за X в този случай ще бъде 2 часа. И нека кажем, че стандартното отклонение на Y също е равно на 2 часа. Тогава вариацията на Y ще бъде равна на квадрата на стандартното отклонение. Това ще са 4 часа, всъщност 4 (часа)² ще бъдат нашите единици. В случая, ако бяхме опитали просто по инерция да приложим това, без да помислим за независимостта бихме си казали: "Добре тогава, ще приложа това, което знам. Дисперсията на X плюс Y трябва да бъде равна на сумата от отделните дисперсии." Така че ще се получи 4 плюс 4. Това дали е равно на 8 (часа)²? Е, това няма смисъл. Защото знаем, че случайната променлива, която е равна на Х плюс У, винаги ще бъде равна на 24 часа. Всъщност, в случая, сборът няма да има никаква дисперсия. X plus Y винаги ще бъде 24 часа. Това е така е при тези две случайни променливи, защото те са свързани. Те изобщо не са независими, дисперсията всъщност ще бъде 0. Тук има нулева дисперсия. X плюс Y винаги ще бъде 24. Поне на Земята, където денонощието е 24 часа. Предполагам, че ако някой живее на друга планета или друго небесно тяло може и да е малко по-различно. Приемаме, че в денонощието има точно 24 часа. Това упражнение служи, за да ти създаде усещане защо независимостта има ключово значение за това твърдение. И ако имаш неща, които не са независими, ще разбереш защо това твърдение не е вярно.