Графично представяне на квадратни функции в разложен вид

От нас се иска да построим графиката на у = 1/2(х – 6)(x + 2). Както винаги, спри видеото на пауза и вземи някаква разграфена хартия или дори опитай на обикновен лист хартия, и виж дали можеш да построиш тази графика. Добре, а сега нека го направим заедно. Има много различни начини, по които можеш да се опиташ да я начертаеш. Най-простият е да опиташ с множество стойности на х и множество стойности на у и да свържеш кривата, която свързва всички тези точки. Но нека да видим дали можем да получим тази графика без толкова много работа. Ключовият момент тук, без дори да правим някакви изчисления, е да умножа това... Ако умножа (х – 6) по (х + 2), ще получа квадратно уравнение. Ще получа х на квадрат, плюс нещо, плюс нещо друго. Така че цялото това нещо ще бъде парабола. Ще построим графиката на квадратно уравнение. Може би си спомняш, че една парабола може да пресича оста х много пъти. Така че нека видим дали можем да намерим къде тази графика пресича оста х. В този разложен вид е доста лесно да разпознаем кога у е равно на 0. Това ще ни покаже колко пъти пресичаме оста х. И после от това ще можем да намерим координатите на върха и основната форма на тази крива, която ще бъде парабола. Нека помислим върху това. Кога у е равно на 0? За да го намерим, просто трябва да намерим кога... за да намерим кога у е равно на 0, трябва да намерим кога този израз е равен на 0? Нека просто решим уравнението. 1/2(х – 6)(x + 2) = 0 В предишни клипове говорихме за това. Ако имаш произведение от множество неща и то трябва да е равно на 0, единственият начин, по който това може да се случи, е един или повече от множителите да е равен на 0. Ами 1/2 си е 1/2, тя няма да е равна на 0. Но х минус 6 може да е равно на 0. Така че ако х – 6 = 0, тогава това ще направи уравнението вярно. Или ако х + 2 = 0, това също ще направи уравнението вярно. Така че стойностите на х, които удовлетворяват едно от тези, ще направят у равно на 0 и това ще са местата, на които кривата ще пресича оста х. За кои стойности на х изразът (х – 6) е равен на 0? Можеш да прибавиш 6 към двете страни, вероятно ще можеш да го направиш наум, като получаваш х = 6. Или можеш да извадиш 2 от двете страни тук и ще получиш х е равно на... тези се съкращават, получаваш х = –2. Това са двете стойности на х, при които у ще бъде равно на 0. Можеш да заместиш обратно в първоначалното уравнение. Ако х = 6, тогава това тук ще бъде равно на 0 и тогава у ще бъде равно на 0. Ако х = –2, тогава това тук ще бъде равно на 0 и у ще бъде равно на 0. Знаем, че параболата ще пресича оста х при х = –2 ето тук и при х = 6. Това са пресечните точки с оста х. Имайки това, как да намерим върха? Ключовата идея е да се сетим, че оста на симетрия за параболата се намира точно между двете пресечни точки с х. Каква е точката по средата между... или какво е средното на 6 и минус 2? Добре, можеш да го направиш наум. 6 плюс минус 2 е 4, делено на 2 е 2. Нека го направя. Просто се опитвам да намеря средната точка между точката... Нека използвам нов цвят. Опитвам се да намеря средната точка между точката (-2; 0) и точка (6; 0). Средната точка – това са просто средните стойности на координатите. Средната стойност на 0 и 0 е просто 0, тя се намира на оста х. Но след това средната точка на минус 2 и 6, или средната стойност е минус 2 плюс 6 върху 2. Нека видим, това е 4 върху 2, ще бъде равно просто на 2, така че получаваме (2; 0). Като ти го виждаш там. Можехме да го направим без дори да правим изчисления. Казваш си, ако искам да отида точно между двете, ще искам да се намирам на разстояние 2 от всяка от тях. И по този начин мога да начертая ос на симетрия за параболата. Върхът ще се намира на тази ос на симетрия. А откъде ще знам каква е стойността на у? Ами мога да я намеря. Мога да заместя обратно в първоначалното уравнение и да намеря на колко е равно у, когато х е равно на 2? Не забравяй, че върхът има координата х = 2. Той ще бъде при (2; нещо). Нека се върнем обратно, нека видим на колко е равно у. у ще бъде равно на 1/2 по... Да видим, когато х е равно на 2, имаме (2 – 6)(2 + 2). Това е минус 4, а това е плюс 4. Минус 4 по 4 е минус 16. Така че това е равно на 1/2 по минус 16, което е равно на минус 8. Следователно върхът е при х = 2; у = –8. Следователно върхът ще бъде точно ето тук, при (2; -8). И сега можем да начертаем основната форма за действителната парабола. Тя ще изглежда ето така... Още веднъж, това е чертеж на ръка, затова не го възприемай буквално, но ще изглежда по подобен начин. Ще бъде симетрична около оста на симетрия. Ето защо това се нарича ос на симетрия. В художествената програма която имам, има инструмент за симетрия, но просто ще използвам това и ето. Това е много добър чертеж на това как изглежда тази парабола, или как ще изглежда тази графика, като това е парабола, отворена нагоре.