Функционално зависими скорости: наливане на вода в конус

Разполагаме с интересен пример. Имам тази конична купа, която е с височина 4 сантиметра. Диаметърът на купата, на върха на купата, също е равен на 4 сантиметра. И в момента наливам вода в купата. Наливам водата със скорост от 1 кубичен сантиметър... 1 кубичен сантиметър на секунда. И точно в този момент височината на водата в купата е 2 сантиметра. Височината, точно в този момент, от дъното на купата до ето тази точка, ето тук, е 2 сантиметра. Въпросът ми към теб е: с каква скорост... Знаем с каква скорост водата бива наливана в купата, като израз на обем за единица време. Въпросът ми към теб е свързан точно с този момент, т.е. точно когато наливаме вода в купата със скорост от 1 кубичен сантиметър на секунда. Имаме точно 2 сантиметра вода в купата, т.е. 2 сантиметра дълбочина на водата в купата. Каква е скоростта, с която височината на водата се променя? На какво е равна скоростта, с която ето тази височина точно ето тук всъщност се променя? Знаем, че е 2 сантиметра, но с каква скорост се променя? Нека да помислим малко върху това. Какво ни е дадено в задачата? Дадена ни е скоростта, с която обемът на водата се променя спрямо времето. Нека да го запишем. Разполагаме със скоростта, с която обемът на водата се променя спрямо времето. Знаем, че това е 1 кубичен сантиметър на секунда. А какво се опитваме да намерим? Опитваме се да намерим с каква скорост височината на водата се променя спрямо времето. Знаем, че точно в този момент височината е 2 сантиметра. Обаче това, което искаме да намерим, е скоростта, с която височината се променя спрямо времето. Ако може да намерим това, то тогава ние всъщност сме отговорили на въпроса. Един начин, по който можем да го направим, е да намерим зависимост между обема във всеки един момент от време и височината във всеки един момент от време. След това може би да намерим производната на тази зависимост, като вероятно приложим верижното правило, за да получим зависимост между скоростта, с която обема се променя и скоростта, с която височината се променя. Нека да се опитаме да го направим стъпка по стъпка. Първо, можем ли да намерим зависимост между обема и височината във всеки един момент? Разполагаме също с формулата за обем на конус ето тук. Обемът на конус е 1/3 по лицето на основата на конуса, по височината. Няма да доказваме формулата в настоящия урок, въпреки че може да я докажем по-късно. Особено, когато започнем да работим с ротационни тела в курса по интегрално смятане. За момента просто ще приемем за истина, че това е начинът, по който може да намерим обема на конус. Като разполагаме с тези данни, то може ли да намерим обема... Може ли да намерим израз, който свързва обема с височината на конуса. Е, може да заявим, че обемът... Ще го направя с този син цвят... Обемът на водата е това, което наистина ни интересува. Обемът на водата ще бъде равен на 1/3 по лицето на повърхността на водата... Лицето на повърхността на водата по височината на водата. Тоест по h. А как можем да намерим лицето на водната повърхност, като за предпочитане е да я изразим чрез h? Ето тук виждаме, че диаметърът в основата на конуса е равен на 4 сантиметра. И височината на цялата купа е 4 сантиметра. И така, това отношение ще бъде вярно, независимо какво количество вода има в съда. Винаги ще се запази отношението между диаметъра в основата и височината. Защото тези образувателни тук са линии. Следователно във всяка точка отношението между това и това ще бъде едно и също. Във всяка една точка диаметърът на повърхността на водата – ако дълбочината е равна на h, то диаметърът на повърхността на водата също ще бъде равен на h. И от тук може да намерим на какво ще бъде равен радиусът. Радиусът ще бъде равен на h/2. Следователно лицето на водната повърхност ще бъде равна на π по r на квадрат, т.е. π по радиуса на квадрат. h/2 на квадрат. Това е лицето на водната повърхност. И, разбира се, все още имаме 1/3 ето тук. И все още умножаваме по тази височина h ето тук. Нека да проверя дали мога да опростя този израз. Това ни дава 1/3 по π, по h на квадрат върху 4 и още веднъж по h, което е равно на...Имаме π, по h на трета степен върху 12. На това е равен обемът. Сега искаме да свържем обема, т.е. с каква скорост обемът се променя спрямо времето и с каква скорост височината се променя спрямо времето. Интересува ни спрямо времето, защото ни интересува толкова много какво се случва спрямо времето. Нека да намерим производната и на двете страни на това уравнение спрямо времето. За да го направим... и за да имам достатъчно място да го направя, нека да преместя този израз. Нека да го преместя малко надясно. Просто ще го преместя малко надясно. Сега може да намерим производната спрямо времето на двете страни на това уравнение. И така, производната от обема спрямо времето и производната спрямо времето на този израз. Е, производната спрямо времето на обема може просто да запишем като dV/dt, т.е. ето този израз тук. Това е dV/dt, а това ще бъде равно на... може да изнесем константите извън израза, така че това ще бъде равно на π върху 12 по производната от h спрямо t, т.е. от h на трета степен. И за да може следващите неща, които ще направя, да бъдат малко по-ясни, ще предположим, че височината е функция на времето. Действително, определено е функция на времето. С времето, което минава, височината се променя. Защото наливаме все повече вода в конуса. Така че, вместо просто да запиша h на трета степен, което мога да запиша ето тук, нека да запиша h от t на трета степен. Просто, за да е ясно, че това е функция на t. h от t на трета степен. А на какво е равна производната спрямо t на h от t на трета степен? Може би те засърбяват пръстите, че тук ще приложим верижното правило. Нека да помислим за верижното правило. Верижното правило гласи... Нека да запиша отново всичко останало. dV/dt ще бъде равно на π/12, по производната на този израз спрямо t. Ако искаме да намерим производната на този израз спрямо t, то имаме нещо на трета степен. Искаме да намерим производната на нещо на трета степен спрямо това нещо. Това ще бъде равно на... Нека го запиша с различен цвят. Може би с оранжево...Тоест, това ще бъде равно на 3 по нашето нещо на квадрат, по производната на това нещо спрямо t. Тоест по dh... Вече използвах това розово... По dh/dt. Нека да стане много ясно. Този оранжев член ето тук – просто прилагам верижното правило – е производната на h от t на трета степен спрямо h от t. А след това ще умножим това по производната на h от t спрямо t. Тогава резултатът ще бъде производната на целия този израз, h от t на трета степен, спрямо t. От тук ще се получи производната на h от t на трета степен спрямо t, което е точно това, което искаме да направим, когато намерим производната. Колко бързо се променя ето този израз? Как се променя той спрямо времето? Може да запишем отново всичко това, просто за да стане малко по-ясно. Нека да запиша отново всичко, което направих. И така, имаме dV, скоростта, с която обемът се променя спрямо t. Скоростта, с която обемът се променя спрямо времето, е равна на π/12 по 3, по h от t на квадрат, или мога просто да го запиша като 3 по h на квадрат, по скоростта, с която височината се променя спрямо времето, т.е. по dh/dt. По dh/dt. Може би малко се объркваш. Може би се изкушаваше да намериш производната ето тук спрямо h. Спомни си, обаче, че мислим за това как нещата се променят спрямо времето. Предполагаме, че изразихме обема като функция на височината, но знаем, че самата височина е функция на времето. И така, намираме производната на всичко спрямо времето. Ето защо приложихме верижното правило, когато търсехме производната на h, или производната на h от t, защото предполагаме, че h е функция на времето. А сега, какво може да намерим от този израз ето тук? Напомняме си, че в същия момент, когато поставихме задачата, знаехме на какво е равно dV/dt, т.е. знаем, че е равно на 1 кубичен сантиметър на секунда. Знаем, че ето този член тук, е равен на 1 кубичен сантиметър на секунда. Знаем точно на какво е равна височината в този момент. Казали са ни, че височината е равна на 2 сантиметра. Тоест единствената неизвестна, която имаме тук, е скоростта, с която височината се променя спрямо времето. Което е точно това, което трябва да намерим на първо място. Тоест просто трябва да решим уравнението за този член. Получаваме 1 кубичен сантиметър... Нека да го изясня... Получаваме, че 1 кубичен сантиметър на секунда – няма да записвам единиците, за да спестя малко място – е равно на π/2. Ще го запиша в неутрален цвят. Всъщност, нека да го запиша със същия цвят. Равно е на π/2 по 3, по h на квадрат. h е равно на 2, така че ще се получи 4 квадратни сантиметра, ако запазим мерните единици. И така, 3 по 4. Добре, нека да бъда внимателен, това не беше равно на π/2, а на π/12. Това ето тук е π/12. Тоест получава се π/12 по 3, по 2 на квадрат, по dh/dt. Всичко това е равно на 1. Сега ще превключа на неутрален цвят. Получава се, че 1 е равно на... 3 по 4 е равно на 12 и се съкращава с това число 12. Получава се, че 1 е равно на π по dh/dt. За да решим уравнението относно dh/dt, разделяме двете страни на π. И тук заслужаваме поздравление! Скоростта, с която височината се променя спрямо времето, когато наливаме 1 кубичен сантиметър вода на секунда в купата. Точно когато височината е равна на 2 сантиметра, скоростта, с която тази височина се променя спрямо времето, е равна на 1/π. Не направих анализ на мерните единици, но това ще бъде равно на сантиметри на секунда. Може да извършиш анализа на мерните единици, ако искаш да поставиш мерните единици е този израз. И ето, че е известно! Това показва колко бързо височината ще се променя точно в този момент.