Използване на трансформация на Лаплас за решаване на нехомогенно диференциално уравнение

Измина повече от година, откакто съм записвал уроци с различни диференциални уравнения, и си мислех да започна с няколко урока. Мисля, че спрях, когато исках да покажа решение на нехомогенно линейно уравнение с трансформацията на Лаплас. Нека решим едно такова, за да загреем. Аз поне имам едногодишна пауза. Предполагам, че следиш тези уроци редовно. Вероятно не ти е нужно да загряваш колкото на мен. Дадено е уравнението у'' (втора производна) плюс у равно на синус от две t. Дадено е и първоначално условие. Условието е: у от нула е равно на две, а у' от нула е равно на едно. Вероятно си спомняш къде спряхме. Може би наскоро си гледал/а предния урок. За да решим тези уравнения, просто намираме трансформацията на Лаплас от двете страни. Намираме трансформацията на Лаплас на функцията. След това намираме обратната трансформация на Лаплас. Ако не можеш да разбереш това, нека проследим решението и вероятно чрез този пример, ще изясним всяко объркване. В последния или предпоследния урок, ти показах, че трансформацията на Лаплас от втората производна на у, е равна на s квадрат, умножено по трансформацията на Лаплас от у - намаляваме степента на s - минус s по у от нула. Може да се разглежда и като намиране на производна. Това е интеграл. Не е точно примитивна функция на този израз. Трансформацията на Лаплас обаче е интеграл. Трансформацията е интеграл. Така че у(0) е нещо като производна от това. След това имаме минус у' от нула. Сега следва да го преобразуваме. Това е просто използване на различно означение. Мога да запиша ето това на мястото на трансформацията на Лаплас от у, мога да го запиша като s квадрат, умножено по главно Y от s – защото това ще бъде функция на s, а не функция на у – минус s по у от нула, минус у' от нула. Тези два члена са числа, нали така? Това не са функции. Стойност на функцията, изчислена в точката нула и производната на функцията, изчислена в точката нула. Знаем на какво са равни тези стойности. у от нула е равно на две, а у' от нула е равно на едно. Дадено е в условието. Ако намерим трансформацията на Лаплас от двете страни, то първо следва да намерим трансформацията на Лаплас от този член тук, което току-що направихме. Трансформацията на Лаплас от втората производна е s квадрат, умножено по трансформацията на Лаплас от функцията, която записахме като главно Y от s, минус две s - имаме това начално условие, и после минус едно. Нали така? Този член тук е едно, т.е. минус едно. Това е този член тук. А сега търсим трансформацията на Лаплас от самата функция у. Това е равно на плюс Y от s, т.е. трансформацията на Лаплас от у. Просто ще запиша отново трансформацията на Лаплас от у. Записвам го чрез това означение Y от s. Добре е да свикнем с всяко означение. Този израз е равен на трансформацията на Лаплас от синус от две t. В един от уроците преди една година ти показах на какво е равна трансформацията на Лаплас от синус от a по t, но ще го запиша ето тук долу, за да си го припомниш. Трансформацията на Лаплас от синус от a по t, е равна на 'а' върху s квадрат, плюс а квадрат. Записвам, че трансформацията на Лаплас от синус от две по t – тук 'а' е равно на две – получаваме две върху s квадрат плюс четири. Ако намерим трансформацията на Лаплас от двете страни на уравнението, то дясната страна, е равна на две върху s квадрат плюс четири. Сега може да отделим всички членове Y от s. Може да отделим всички коефициенти пред тях, така че да останат членовете Y от s. Тогава може да представим лявата страна като s квадрат – ето този член (показва на екрана) плюс едно, т.е. коефициентът пред този член. Става s квадрат плюс едно, по Y от s. Ще го направя със зелено. Тук е Y от s и ето тук е Y от s. Умножаваме по Y от s. Следват членовете без Y от s, а те са тези два тук. (подчертава на екрана) Следва минус две s, минус едно, е равно на две върху s квадрат плюс четири. Може да прибавим две s плюс едно към двете страни, за да прехвърлим тези два члена отдясно. Получава се s квадрат плюс едно, по Y от s, равно на две върху s квадрат плюс четири, плюс две s, плюс едно. Сега можем да разделим двете страни на уравнението на s квадрат плюс едно, за да получим трансформацията на Лаплас от у. Y от s е равно на две... ще сменя цветовете – на две върху s квадрат плюс четири, умножено по този израз тук. Разделям двете страни на уравнението на този член ето тук. Следва по s квадрат плюс едно. Това е в знаменателя, така че разделям на този израз. Следва плюс две s, плюс едно. Трябва да разделя тези два члена на s квадрат плюс едно. Разделям на s квадрат плюс едно. За да мога да получа обратната трансформация на Лаплас, следва да преобразувам това като сума от елементарни дроби. Тези двете се решават лесно, но тази обаче, е малко по-трудна. Искам да направя разлагане на елементарни дроби, за да разделя тази дроб на елементарни дроби. Ще направя нещо ето тук отстрани. Следва най-трудната част от този вид задачи – алгебричното разлагане на този израз. Ще разложим израза на елементарни дроби. Ще го запиша ето така: две върху s квадрат плюс четири, умножено по s квадрат плюс едно. Ще разложа този израз на две дроби, това е разлагане на елементарни дроби. Едната има знаменател s квадрат плюс четири. Втората има знаменател s квадрат плюс едно. И двата знаменателя са от втора степен, следователно числителите ще бъдат от първа степен. Получава се следното – ще го запиша ето така – първата дроб е А по s, плюс В. Втората е C по s, плюс D. Това тук е чиста алгебра. Просто разлагане на елементарни дроби. Записал съм няколко урока за него. Записът означава, че предполагам, че този израз отляво може да се представи като два израза от този вид. Следва да намеря A, B, C и D. Нека проследим как се прави. Ако събираме тези две дроби, то какво ще получим? Следва да умножа знаменателите, за да получа общ знаменател, който е s квадрат плюс четири, умножено по s квадрат плюс едно. А сега следва да умножа A по s плюс B по ето това s квадрат плюс 1. Както е записано сега, тези два члена биха се съкратили. Просто вземаме първия член и трябва да го прибавим към втория. Получаваме плюс C по s плюс D по s квадрат плюс четири. Да видим какво да направим сега, за да приравним тези два члена с числото две ето тук. Да разкрием скобите и умножим. А по s, по s квадрат дава A по s на трета. А по s по едно е плюс А по s. Следва плюс B по s квадрат, и накрая имаме В по 1, което е плюс В. C по s, по s квадрат, е C по s на трета. Следва C по s, умножено по четири, т.е. четири по C, по s. Тези задачи са трудоемки. В момента имам и настинка, което е особено изморително, но ще продължа напред. Докъде бях стигнал? Умножих C по всеки един от тези два члена, а сега следва да умножа с D. Следва плюс D по s квадрат, плюс D по четири, т.е. плюс четири по D. Това е всичко след умножението. Записах го, за да бъдат членовете с еднаква степен един под друг. Ако искам да събера всичко в числителя, получавам следното. Сменям цветовете произволно. Получава се А плюс C, умножено по s на трета, плюс следното – първо ще запиша члена с s квадрат. Тоест плюс (B + D) по s квадрат. Следва членовете с s – плюс А, плюс четири по С, умножено по s, плюс B, плюс четири по D. Това е само числителят. Това е резултатът от събирането на двете дроби. Всички тези изрази тук горе, се опростяват до ето този. Не знам дали думата опростявам е уместна. Накрая се получава този израз ето тук. Това е само числителят. Знаменателят отново е този, който записахме преди. Знаменателя отново е s квадрат плюс четири, по s квадрат плюс едно. Разбира се, трябва да покажа, че това е дроб. Този израз е равен на този тук горе. Две върху s квадрат плюс четири, по s квадрат плюс едно. Защо трябваше да премина през цялата тази бъркотия? Причината да го направя, е за да намерим стойностите на A, B, C и D. Нека да видим. Имаме A плюс С. Това е коефициентът пред члена с s на трета. Виждаме ли членове с s на трета тук? Не, не виждаме членове с s на трета. Следва A плюс C. Ще го запиша ето тук. А плюс С следва да е равно на нула, защото тук не виждаме нищо, което съдържа s на трета. B плюс D е коефициентът пред члена с s квадрат. Виждаме ли тук някакви членове на квадрат? Не, B плюс D следва да е равно на нула. А плюс 4 по C е коефициентът пред членовете с s. Не виждам членове с s ето тук. А плюс 4 по C следва също да е равно на нула. Накрая ни остават само членовете константи. Имаме такъв член от лявата страна на уравнението. Имаме числото две. Следователно B плюс четири по D, следва да е равно на две. Изглежда, че тези линейни уравнения са много лесни за решаване. Ще извадя това уравнение от това уравнение. Или нека извадя долното уравнение от горното. Имаме А минус А, което е нула по А. Следва С минус четири по С, което е минус три пъти С, равно на нула. Получава се, че С е равно на нула. Ако С е равно на нула и А плюс С е равно на нула, то А също ще е равно на нула. Нека направим същото и ето тук. Нека извадим долното уравнение от горното уравнение. Получава се B минус В равно на нула. Следва минус три пъти D – т.е. D минус четири D – и накрая нула минус две, което е минус две. На колко е равно D? D е равно на две трети. Минус две разделено на минус три е две трети. Казахме, че B плюс D е равно на нула. Следователно B следва да е противоположно число на D, нали така? Може да запишем, че B е равно на минус D или В е равно на минус две трети. Нека запомним всичко това и се върнем към първоначалната задача. Нека да изясня нещо. Може да запишем две върху s квадрат плюс четири по s квадрат плюс едно – можем да го запишем като – А е нула, а B е минус две трети. Записваме следното. Равно на минус две трети върху s квадрат плюс четири. С е равно на нула, вече го намерихме. А D е две трети. Тоест плюс две трети върху s квадрат плюс едно. Всичко това, което току-що направих, е само, за да разложа този израз тук на елементарни дроби. (показва на екрана) Това беше, за да разложа този израз. Разбира се ето тук имаме и тези две дроби, които не бива да забравяме. Какво се получава след всичко дотук? Ще се уверя, че няма да допусна груба грешка. Трансформацията на Лаплас от Y е равна на следното. Видно е, че алгебричните преобразувания са най-трудната част в решаването на задачата. Връщам се към първия член ето тук, който разложих до ето тези. Нека го запиша по следния начин. Минус една трета - след секунда ще разбереш защо го пиша така – минус една трета, умножено по две върху s квадрат плюс четири, а след това имаме плюс две трети, по едно върху s квадрат плюс едно. Може би се питаш защо го записвам по такъв начин? Вече можеш да видиш, че това е трансформацията на Лаплас от синус от две t. Това е трансформацията на Лаплас от синус от t. Записах това две тук, защото това е две, а това е две на квадрат. Това е едно, а това е едно на квадрат. Исках да го запиша по този начин. Това е само първият член. Имаме още два, за които да помислим. Не искам да направя груба грешка. Имам две s върху s квадрат плюс едно. Нека го запиша. Плюс две s върху s квадрат плюс едно, плюс едно върху s квадрат плюс едно. Сега просто намираме обратната трансформация на Лаплас от целия този израз, за да намерим какво е Y. Нека си припомним трансформацията на Лаплас. Сега ще я приложим в обратната посока. Това ще бъде синус от две t. Нека го запиша тук, за да е ясно, че не правя някакви магически трикове. Трансформацията на Лаплас от синус а по t е равно на а върху s квадрат плюс а квадрат. Трансформацията на Лаплас от косинус а по t е равно на s върху s квадрат плюс а квадрат. Нека си припомним тези две неща, когато търсим обратната трансформация на Лаплас. Обратната трансформация на Лаплас от трансформацията на Лаплас от у е просто равна на у. Записвам го като функция на t. Този израз е трансформацията на Лаплас на синус от две t. Тук можеш просто да различиш модела. Ако а е равно на две, то този израз е трансформацията на Лаплас от синус от две t. Равно е на минус една трета, по синус от две t, плюс две трети, умножено по трансформацията на Лаплас от синус t. За а равно на едно, трансформацията на Лаплас от синус t, е равна на едно върху s квадрат плюс едно. Следва две трети, умножено по f по синус t. Нека го запиша със синьо, защото вече е записано със синьо. Следва две по трансформацията на Лаплас от косинус t. За 'а' равно на едно трансформацията на Лаплас от косинус t е равна на s върху s квадрат плюс едно. Следва две по косинус t – а сега следва последният член – той отговаря на този ето тук. Тоест плюс трансформацията на Лаплас от синус t. Почти сме готови. Действително сме готови, но можем да опростим израза още малко. Имам две трети по синус t тук, а след това имам още веднъж синус t, така че мога да прибавя две трети към единицата. Две трети плюс едно, т.е. плюс три трети, колко е? Равно е на пет трети. Тогава мога да запиша у от t равно на минус една трета синус от две t - плюс тези два члена, които ги събирам – плюс пет трети по синус t. Остава този последен член тук, т.е. плюс две по косинус t. Това беше трудна задача, свързана с много работа. Видяхме, че най-трудната част действително беше разлагането на елементарни дроби. Направихме го ето тук горе, без да допускаме груба грешка. Накрая получихме много хубав отговор, който не е сложен, и който удовлетворява даденото нехомогенно диференциално уравнение. Успяхме да включим и ограничителните условия. Надявам се, че урокът ти е бил приятен. Това е добра загрявка след една година без диференциални уравнения.