Степенен ред на ln(1+x³)

Даден ни е един безкраен ред и първо искам да ти препоръчам да спреш видеото на пауза и да опиташ да го представиш като безкраен геометричен ред, и ако успееш да го представиш като безкраен геометричен ред, да видиш каква е сумата в някакъв интервал на сходимост. Намери в какъв интервал за х този безкраен геометричен ред е сходящ, и колко е тази сума. Предполагам, че опита, а сега да го направим заедно. Най-напред искам да изнесем пред скоби общ множител. Това може да опрости членовете, да се опитаме да го направим. Да изнесем пред скоби 3х^2, на което изглежда всички членове се делят. Мога да преработя това като 3х^2 по 1 – х^3 + х^6 – х^9, и започва да се проявява закономерност. Ще затворя скобите със същия цвят, с това розово. Да видим. Изглежда, че имаме х^3, повдигнато на някакви степени... ще го запиша така. Това е равно на 3х^2 по, можем да вземем този първия член, или мога да кажа нулевия член. Това е х^3 на нулева степен, после минус, това е х^3 на първа степен, и после по х^3 на втора степен, и виждаш какво се случва. Това е х^3 на трета степен, и можем да продължим така. Но сега трябва да видим какво се случва със знаците. Този ще бъде отрицателен. Това е положително, което е равно на –1 на нулева степен. Това е отрицателно, което е –1 на първа степен, всъщност ще го запиша по този начин. Можем да го представим като 3х^2 по, а първия член можем да представим като –1, или можем да го запишем като (–х^3) на нулева степен. После имаме плюс, можем да кажем (–х^3) на първа степен. –1 на първа степен е равно на –1. х^3 на първа степен е равно на х^3, плюс –х^3 на втора степен, плюс –х^3 на трета степен. Това е този член ето тук. –1 на трета степен е равно на –1, и, разбира се, х^3 на трета е равно на х^9, и продължаваме. Така е много по-ясно колко е частното. Частното е –х^3. Какъв ще бъде интервалът на сходимост? Ще имаме сходимост, ако частното, ако абсолютната стойност на частното е по-малка от 1. Ще имаме сходимост, ако абсолютната стойност на частното, което е –х^3 е по-малко от 1. Друг начин да кажем същото нещо е, че абсолютната стойност на нещо отрицателно ще бъде равна на абсолютната стойност на същото нещо със знак плюс, едно и също е да кажем, че абсолютната стойност на х^3 е по-малко от 1, или да кажем, че х^3 е по-малко от 1, и по-голямо от –1. Тук става така, че ако вземем корен трети от двете страни на това, или от всички страни на неравенството, и получаваме, че х е между –1 и 1. Това е нашият интервал на сходимост. Ако ограничим х в този интервал, колко ще бъде сумата? За този безкраен геометричен ред частното, абсолютната стойност на частното е по-малко от 1, и сумата ще бъде равна на първия член, ако мога да кажа така, или това, по което умножаваме цялото нещо, но ако го изнесем пред скоби, тогава това е първият член. Това ще бъде 3х^2, цялото това върху 1 минус частното, значи 1 минус –х^3, това е равно на 1 + х^3. Всичко, което направихме досега, е че показахме, че това... всъщност ще го запиша така: това е равно на това в нашия интервал на сходимост. Ще копирам и поставя, ще го напиша ето така – в интервала на сходимост. Ако х е между –1 и 1, тези двете са еднакви. Сега ще използваме математическия анализ, защото това изглежда интересно. Може би си спомняш, това прилича на производната на нещо познато. 1 + х^3, производна на какво е това? Това е 3х^2. Изглежда, че това е производната от натурален логаритъм от 1 + х^3, или от абсолютната стойност на (1 + х^3). Ако не ми вярваш, хайде да намерим примитивната функция на това ето тук. Всъщност, просто за забавление, да намерим примитивните функции и на двете страни на това, и като го направим, ще покажем принципно представяне на геометричен ред, или каква е примитивната функция на това нещо. Насърчаваме те да спреш видеото отново и да опиташ да намериш примитивната функция на двете страни на това уравнение. Да намерим примитивната функция на лявата страна, да намерим и примитивната функция на дясната страна. Отляво, вече споменах, че това прилича на някакъв израз и неговата производна. Това ни подсеща да използваме полагане. Ако кажем, че u е равно на 1 + х^3, ще го запиша, u = 1 + х^3, тогава колко ще бъде du? du ще бъде равно на 3х^2, dx. Забележи, имаме u и после du. du е това ето тук. Този израз може да се преработи като... ще го направя ето тук, това може да се преработи като интеграл от du/u, всъщност ще го напиша така, 1 върху u du, което е равно, разбира се, на натурален логаритъм от абсолютната стойност на u, плюс някаква константа. Знаем, че u е равно на 1 + х^3, така че това е равно на натурален логаритъм от абсолютната стойност на 1 + x^3, плюс константата с. Сега ще ограничим дефиниционното множество за х между –1 и 1. За това дефиниционно множество това тук винаги ще бъде положително, така че можем, не е необходимо да слагам знак за абсолютна стойност, това ще е равно на натурален логаритъм... ще го запиша, натурален логаритъм от 1 + х^3 + с. Това е лявата страна, а отдясно всъщност е много по-очевидно. Това е един лесен полином. Вероятно се досещаш, че ще има някаква константа тук, така че нека да я направим по-различна. Ще я наречем с1, и после отдясно какво получаваме? Примитивната функция на това ще бъде, да видим, примитивната функция на х^2 е х^3/3. За първия член примитивната функция ще бъде просто x^3. Производната на x^3 е 3х^2. Сега този член ето тук, –3x^5, примитивната функция на х^5 е х^6 върху 6, но после тук имаме 3. 3 върху 6 е равно на 2 (в знаменателя), така че става –х^6 върху 2. Всъщност ще използвам различен цвят, за да можем да ги следим. Това тук е отрицателно, а примитивната функция е (–x^6)/2. После, да видим... свършват ми цветовете. Примитивната функция на х^8 е х^9 върху 9, значи става плюс х^9, и тук имаме тази тройка. 3 върху 9 е равно на 3 (в знаменателя). И мисля, че виждаш закономерността. Да направим още едно, просто за забавление. х^12 върху 12, имаме това 3 тук, значи –х^12 върху 4, и можем да продължим, и накрая ще имаме някаква константа. Всъщност ще поставя константата отпред. Ще копирам и поставя, за да имам някакво място. Ще пиша ето тук. Ще сложа някаква друга константа, с2, която не е същата, плюс всичко това. Сега ще опростим това, можем да извадим с1 от двете страни, или по-точно от с2, и после ще получа натурален логаритъм от 1 + х^3. Доста елегантно е това, което направихме току-що, с малко интегриране, е равно на с2 – с1. Това е константа минус друга константа, така че ще получим отново някаква произволна константа, плюс всичко това тук. Даже можем да намерим колко е константата, като заместим различни стойности на х, които принадлежат на ограниченото дефиниционно множество. х = 0 е между –1 и 1, затова хайде да видим какво става, когато х е равно на 0, за да намерим стойността на константата с. Когато х = 0, получаваме натурален логаритъм от 1 е равно на с плюс, всички тези членове ще станат нули, нула на трета степен минус нула на шеста и така нататък, плюс нула и плюс нула, или по друг начин, натурален логаритъм от едно, разбира се степента е 1, това е нула, значи с трябва да е нула. С е равно на 0. Това ето тук е равно на нула. Това, което направихме току-що с малко интегриране, започва със... Нека да видим какво се случва. Започнахме с произволен безкраен ред и показахме, че той може да се представи като геометричен ред. Дефинирахме интервал на сходимост, в който може да е сходящ, когато абсолютната стойност на частното е по-малко от 1, и после използвахме това, изразихме неговата сума, след което намерихме примитивните функции на двете му страни, за да го развием като натурален логаритъм от 1 + х^3, което поне за мен, това е много елегантно. Натурален логаритъм от 1 + х^3 е х^3 минус (х^6)/2, плюс (х^9)/3 и така нататък. Всъщност, за да му дадем завършен вид, да го запишем със знака за сума сигма. Можем да напишем, че натурален логаритъм от (1 + x^3) в това ограничено дефиниционно множество, в което абсолютната стойност на х е по-малко от 1, е равно на сумата от, да кажем, че това е за n е от 1 до безкрайност, сумата от (х^3)^n, така че на първа степен, на втора степен, на трета степен, върху n. Това е х^3 върху 1, х^3 на квадрат върху 2, и трябва да добавим, да видим, това първото е... трябва да се погрижим за знака, затова ще сложа тук –1. Да видим. –1 на първа степен е отрицателно, но тук е положително, значи –1 на степен (n + 1). Така ли е? Мисля, че да. Когато n е равно на 1, това става просто 1. Това е х^3 върху 1. Когато n е равно на 2, това става отрицателно, както трябва да бъде, после това става х^6 върху 2 и така нататък. Готови сме. Намирам това за много удовлетворяващо.