Пример с трансформационна матрица спрямо алтернативен базис

Да преговорим набързо това, което учихме в предишния урок. Ако имаме някаква линейна трансформация, която изобразява от Rn в Rn, и ако имаме стандартни координати, ако приложим тази трансформация към някакъв вектор х със стандартни координати, това е равно на някаква матрица А по вектор х. Ще го запиша. Ако имаме стандартни координати – т.е. вектор х е даден със стандартни координати, ако приложим трансформацията, това е еквивалентно на умножаването на вектор х с някаква матрица А. Ако умножим вектор х по А, тогава ще получим образа на вектор х, дефиниран със стандартни координати, при тази трансформация. Това е една реалност, която ние много добре познаваме. Нека имаме някакъв алтернативен базис на Rn. Нека този базис В да е равен на v1, v2... vn. Това са n линейно независими вектори. Нека множеството В от тези вектори е базис на Rn. Но този базис на Rn не е стандартен базис. Това не са само нашите стандартни базисни вектори. Значи В е базис на Rn. И нека кажем, че имаме една матрица С, вектор-стълбовете на която са тези вектори v1, v2... vn, и това е матрицата на прехода към този базис В. Ние учихме, че – виждали сме това няколко пъти вече – че ако имаме някакъв вектор х в Rn, който е представен с В-координати, или координати спрямо базиса В, ако умножим този вектор с матрицата на прехода, то ще получим просто вектор х със стандартни координати. Или, ако умножим двете страни на това уравнение по С обратна, ще получим – ако вектор х е даден със стандартни координати, като го умножим по матрицата С обратна, ще получим вектор х с координати спрямо базиса В, или с тези нестандартни координати. Виждали сме и двете преобразувания на координатите. Сега да приложим това към нашата схема ето тук. Ако искам да получа вектор х, и ако искам да го запиша в нестандартни координати, какво трябва да направя? Ако искам да преобразувам координатите на този вектор х, ако е даден вектор х със стандартни координати, по какво трябва да го умножим, за да го получим с нестандратни координати? Трябва да го умножим по матрицата С обратна. Ако умножим вектора по матрицата С обратна – това, което пиша тук до този стрелка... можеш да се запиташ по коя матрица трябва да умножим, за да достигнем до другата крайна точка на нашата стрелка. Умножаваме вектор х по матрицата С обратна, и получавам вектор х с координати спрямо базиса В. Тук е с координати спрямо базиса В. Мога да направя същото нещо с образа на вектор х при трансформацията. Това е образът на вектор х при трансформацията, дефиниран със стандартни координати. Мога да го умножа по матрицата С обратна, ако искаме да преобразуваме по този начин, и ще получим образа на вектор х при трансформацията, дефиниран с координати спрямо базиса В. В последното видео ние се запитахме защо трябва да правим това отделно. Може би има някаква матрица – и ние намерихме коя е тази матрица – съществува матрица D, такава, че когато умножим този вектор по нея, можем да тръгнем от вектор х, дефиниран с координати спрямо В, и да получим образа на вектор х при трансформацията с координати спрямо В. Казахме, че това е матрицата D. В предходното видео показахме, че матрицата D може да се представи като – всъщност може да минеш целия цикъл и да я получиш отново, ако искаш. Ние установихме, че – ще използвам различен цвят – установихме, че матрицата D е равна на матрицата С обратна по матрицата А, по С. Всичко това е преговор на това, което учихме в предишния урок. Надявам се, че с това нещата се проясняват за теб. Хубаво е човек да разбира, че това са алтернативни начини да се направи едно и също нещо. Тези две операции са трансформации. Когато умножаваш по матрицата А, ти прилагаш същата трансформация, както когато умножаваш по матрицата D. Само че го правиш в различна координатна система. Различните координатни системи са просто различни начини на представяне на един и същ вектор. Това и това са просто различни "етикети" на един и същ вектор. Това и това са различни "етикети" на един и същ вектор. Значи тези две матрици изпълняват трансформацията Т. Това е връзката, която установихме в предходното видео. Че ако имаме матрицата на прехода, ако имаме обратната матрица на прехода и нашата стандартна матрица за линейната трансформация, можем да получим това. Да видим можем ли да направим обратното. Ако имаме матрицата D, дали можем да намерим матрицата А? Ако умножим двете страни на това уравнение ето тук по С обратна, ще получим D по С обратна е равно на С обр по А по С по С обр. Просто умножих по матрицата С обратна двете страни на това уравнение. Това е равно на единичната матрица, така че можем да го игнорираме. Сега да умножим двете страни отляво по матрицата С. Получаваме С по D по С обратна равно на С по С обратна по А. Това също е равно на единичната матрица. След това ни остава А равно на С по D по С обратна. Което е още един интересен резултат. Това е нещо, което ще ни бъде полезно. Всичко, което направих дотук, е доста абстрактно. Хайде да приложим някои от тези резултати в реален пример. Нека имаме трансформацията Т – ще оставя това тук, защото може да ни потрябва – това е изобразяване от R2 в R2. Нека трансформационната матрица за трансформацията Т – нека вектор Т(х) е със стандартни координати и е равен на матрицата [3;2;–2;–2] по вектор х. В този пример това е нашата трансформационна матрица спрямо стандартния базис. Можем да наречем това тук матрицата А. Нека имаме и някакъв алтернативен базис. Алтернативен базис на R2. Ще го нарека В, защото досега го наричахме В. Този алтернативен базис на R2 съдържа векторите [1;2] и [2;1]. Като имаме този алтернативен базис, дали можем да намерим трансформационната матрица в тази координатна система. Търсим някаква матрица D, такава, че ако приложим трансформацията Т към вектор х с координати спрямо В, т.е. с координати спрямо този алтернативен базис, това трябва да е равно на тази матрица – трябва да е равно на матрицата D по вектор х с координати спрямо В. Това търсим. Ако се върнем към чертежа, търсим ето това. Даваш ми вектор х с координати спрямо В, и като го умножим по матрицата D, ще получим образа на вектор х при трансформацията, дефиниран с координати спрямо В. Сега да приложим тази формула към този конкретен пример. Имаме тази формула ето тук. Това е формулата за матрицата D, която доказахме в предишното видео. Трябва да намерим матрицата С обратна. Коя е матрицата на прехода към базис В? Искам да оставя това тук. Матрицата на прехода към базис В е равна на – хайде просто да я наречем С. Тя ще съдържа базисните вектори за В като стълбове, значи [1;2] и [2;1]. Сега искаме да намерим нейната обратна матрица. Да намерим първо детерминантата. Детерминантата на матрицата С е равна на 1 по 1 минус 2 по 2. Значи 1 минус 4, което е –3. Матрицата С обратна е равна на 1 върху детерминантата... 1 върху –3, което е –(1/3), по... Сега да разменим тези два елемента. Разменяме местата на 1 и 1, а после поставяме знак минус на тези два елемента, минус 2, минус 2. Това е матрицата С обратна. Значи матрицата D ето тук е равна на С обратна по А, по трансформационната матрица спрямо стандартния базис, по С. Ще го запиша ето тук. Значи матрицата D, която търсим, ще е равна на С обратна по А, по С. Което е равно на – С обратна е –1/3 по [1; –2;–2;1], по А – ще направя това с различен цвят, обичам да сменям цветовете. Значи С обратна по... матрицата А е ето тук – по [3; –2; 2; –2], по С. Матрицата С е ето тук. Ще я направя с жълто. По С, което е [1;2;2;1]. Да го направим част по част. Да го решим. На какво ще е равна тази част? Имаме умножение на матрица 2 х 2 по 2 х 2. Това ще ни даде отново матрица 2 х 2. Значи първият член тук ще бъде 3 по 1, плюс –2 по 2. Значи 3 минус 4. Това ще бъде –1, нали? 3 по 1, плюс –2 по 2. Да, това е –1. После имаме 3 по 2, което е 6, минус 2 по 1. Това е 4. 3 по 2, минус 2 е 4. После идваме тук долу, 2 по 1, минус 2 по 2. Това е 2 минус 4. Това е –2. После 2 по 2 е 4, минус 2 по 1. 4 минус 2 дава 2. Значи матрицата D ще е равна на –1/3 по това тук, [1;–2;–2;1], по това тук, което е просто произведението на тези две матрици. Сега да видим какво е това. Ако умножа тези две матрици, ще получа отново матрица 2 х 2. Значи 1 по –1. Това е –1, плюс –2 по –2, Само да се уверя, че е така. Значи –2 по –2 е 4, после имаме 1 по –1, което е –1. Това тук е 3. После следващият член. Имаме 1 по 4, плюс –2 по 2. Това е 4 минус 4, което е 0. После –2 по –1, което е 2, плюс 1 по –2. Това е нула. И накрая имаме –2 по 4, което е –8, нали? Плюс 1 по 2. Значи –8... –2 по 4 е –8. –8 плюс 2 е –6. И всичко това по –1/3. Това ще е равно на... 3 по –1/3 е –1... 0 и после 0. –6 по –1/3 е 2. И матрицата D сега е нашата трансформационна матрица спрямо базиса В. Успяхме да я намерим, като просто приложихме тази формула ето тук. А какво се случва... Всъщност ще оставя това за следващото видео. Тогава ще покажем, че това работи. Можем да вземем някакъв вектор х, да приложим към него трансформацията или преобразуването на координатите, да получим това и после да приложим матрицата D. А можем да тръгнем и по този път, да умножим по матрицата С, за да получим образа при трансформацията. Това ще е еквивалентно на матрицата А. Ще го направим в следващото видео.