Собствени стойности и собствени вектори

Разглеждахме всяка трансформация, която изобразява от Rn в Rm, като правехме това неявно, но ще бъде интересно да намерим векторите, които се мащабират от трансформациите. Значи векторите, които имат вида – трансформацията на нашия вектор е равна на някаква мащабирана версия на вектора Т(v) = λ.v. Ако това ти се струва непознато, мога да опресня паметта ти. Когато търсим базисните вектори на трансформацията – ще го начертая. Това е изобразяване от R2 в R2. Ще начертая тук R2. Да кажем, че имаме вектор v1 равен на [1;2]. Нека имаме някаква права, която е линейната обвивка на този вектор. Решавахме тази задача преди няколко урока. Имаме трансформация, която е осева симетрия спрямо тази права. Ако означа тази права като L, Т е трансформация от R2 в R2, която изобразява векторите симетрично спрямо тази права. Значи осева симетрия, която "прехвърля" векторите спрямо правата L. Ако си спомняш тази трансформация – ако имаме някакъв произволен вектор, който изглежда ето така, нека да е вектор х, това е вектор х, а трансформацията на вектор х изглежда приблизително така. Той просто отива от другата страна на правата. Това е трансформацията на вектор х. Ако си спомняш от онова видео, тогава ние определяхме промяна на базиса, която да ни позволи да намерим матрицата на тази трансформация поне в някакъв алтернативен базис. След което можехме да намерим матрицата на трансформацията в стандартния базис. Базисът, който избирахме, съдържаше базисни вектори, които не се променяха много при трансформацията, или такива вектори, или които само се мащабираха при трансформацията. Например при трансформацията на вектор v1 – той просто беше равен на вектор v1. Или можем да кажем, че трансформацията на вектор v1 просто е равна на 1 по v1. Значи ако приложим тази формула, която написах тук, тук в този случай ламбда е равна на 1. И, естествено, този вектор в този случай е вектор v1. Тази трансформация просто мащабира вектор v1 с 1. В същата задача имахме и друг вектор, който също разгледахме. Той беше вектор минус... нека да е вектор v2, който е [2; –1]. Ако разгледаме неговата трансформация, понеже той е ортогонален към правата, той просто ще се изобрази от другата ѝ страна, ето така. Този вектор беше много интересен също, защото трансформацията на вектор v2 в този случай – на какво беше равна? Просто на вектор –v2. Тя е равна на вектор –v2. Или можем да кажем, че трансформацията на вектор v2 е равна на –1 по вектор v2. Тези вектори бяха интересни за нас, защото когато дефинирахме новия базис с тези базисни вектори, много лесно успяхме да намерим матрицата на трансформацията. Всъщност този базис правеше изчисленията много лесни. Ще разгледаме това малко по-подробно в бъдеще. Но се надявам, че разбираш, че това са интересни вектори. Например когато имахме равнини, които бяха линейна обвивка на някакви вектори. След това имахме друг вектор, който "изскачаше" от равнината ето така. Прилагахме трансформация, която беше осева симетрия спрямо тази равнина и при тази трансформация тези червени вектори не се променяха, а този вектор преминаваше от другата страна. И казахме, че вероятно тези вектори са подходящи за добър базис. Или тези вектори са подходящи за базисни вектори. И те са подходящи. Значи по принцип, ние винаги се интересуваме от векторите, които са мащабирани от трансформацията. Това не са всички вектори, нали? Този вектор, който начертах ето тук, този вектор х, той не просто е мащабиран, всъщност той се променя, променя се неговата посока. Векторите, които се мащабират, могат да си сменят посоката – могат да се обърнат от тази посока в тази посока, или от тази посока в тази. Може би това е вектор х, а трансформацията на вектор х ще е мащабирана версия на х. Може би е ето това. Правата, която практически е тяхната линейна обвивка, няма да се промени. Ето това ще разгледаме сега. За това нещо си има специален термин. Тези вектори си имат специално наименование, което искам да ти дам, защото е полезно. Това не е просто някаква математическа игра, която ние играем, въпреки, че понякога се заблуждаваме, че е така. Но те всъщност са полезни. Те са полезни за дефиниране на базиси, защото в тези базиси е по-лесно да се намират трансформационни матрици. Това са едни по-естествени координатни системи. Много често трансформационните матрици в тези базиси се изчисляват по-лесно. Затова те си имат специално наименование. Всеки вектор, който удовлетворява ето това тук, се нарича собствен вектор на трансформацията Т. А ламбда, мащабиращият коефициент – това е собствената стойност, която е свързана с този собствен вектор. В този пример, в който трансформацията е просто осева симетрия спрямо тази права, вектор v1 = [1;2] представлява собствен вектор на трансформацията. Значи вектор [1;2] е собствен вектор. Съответстващата му собствена стойност е 1. Този вектор също е собствен вектор – вектор [2;–1]. Той също е собствен вектор. Много специално наименование, но то означава просто, че един вектор е мащабиран от някаква трансформация. Той не се променя по никакъв друг съществен начин, освен чрез мащабиращия коефициент. Съответстващата му собствена стойност е –1. Ако тази трансформация... ние не знаем каква е матрицата на трансформацията. Забравих каква беше. Ние я намерихме преди известно време. Но ако трансформационната матрица може да се представи като произведение на матрица с вектор – и тя трябва да може, защото това е линейна трансформация – тогава всеки вектор v, който удовлетворява трансформацията – или да кажем, че трансформацията на v е равна на ламбда по v, което също така е – разбираш, трансформацията на ... трябва да е просто А по v. Тези вектори се наричат собствени вектори на матрицата А, защото А е просто матричното представяне на трансформацията. В този случай това е собствен вектор на А, и това е собствената стойност, свързана със собствения вектор. Следователно, ако ми дадеш една матрица, която представя някаква линейна трансформация, можеш да определиш и тези неща. В следващото видео ние ще намерим начин да определяме тези неща. Но в това видео искам да разбереш, че е лесно да кажем – о, това са векторите, които не се променят твърде много. Но искам да разбереш какво означава това. Те буквално само са мащабирани или обърнати. Тяхната посока или правите, които са тяхна линейна обвивка, принципно не се променят. Причината, поради която те са интересни за нас, е – една от причините защо те са интересни за нас е, че те представляват интересни базисни вектори, чиито трансформационни матрици се изчисляват по-лесно, или такива, които дават по-добри координатни системи.