Разлагане на двойно векторно произведение (избираемо)

В това видео искам да разгледаме т.нар. разлагане на двойно векторно произведение, наричано още формула на Лагранж. Това е само опростяване на векторното произведение на три вектора, Ако имаме векторното произведение на векторите a и b и вземем векторното произведение на получения резултантен вектор и вектор с ((а х b) х с) това, което ще направим, е да изразим това като сума и като разлика на скаларни произведения. Не просто скаларни произведения, а скаларни произведения, които мащабират различните вектори. Ще видиш какво имам предвид. Но това опростява до известна степен този израз, защото векторните произведения са трудни за намиране. В тях има много сметки, и, поне за мен, те са объркващи. Това е нещо, което не е задължително да знаеш, ако ще се занимаваш с вектори, но е полезно да се знае. Да направя това видео ме мотивира това, че съм виждал някои задачи за приемен изпит в Индийския технологичен институт за които изглежда се очаква от кандидатите да познават формулата на Лагранж или разлагането на двойно векторно произведение. Да видим как можем да опростим това. За да го направим, да започнем с векторното произведение на вектор b и вектор с. Във всички подобни случаи аз просто ще приема... да кажем, че имаме вектор а. Това ще е вектор а, х компонента на вектор а по единичния вектор i, плюс у компонента на вектор а по единичния вектор j плюс z компонента на вектор а по единичния вектор k. Мога да направя същото нещо за векторите b и с. Ако кажа b с индекс у, имам предвид, че това е компонента на вектор b пред единичния вектор j. Сега да намерим векторното произведение ето тук. Ако си гледал/а да намирам векторни произведения, знаеш, че обичам да правя тези детерминанти. Ще го направя тук. Значи вектор b по (х) вектор с е равно на детерминантата – тук горе поставям i, j, k. Това всъщност е дефиницията за векторно произведение, няма нужда от доказателство, за да ти показвам, че е вярно. Това е просто начинът да се запомни векторното произведение, ако си спомняш как се намира детерминантата на матрица 3х3. Ще поставим bх члена, b с коефициент у, и b с индекс z компонента. После правим същото за с, сх, су и сz. Това ще е равно на... първо имаме i-компонента. Значи ще стане i-компонента по b. Така че игнорираш тази колона и този ред. Значи става bycz минус bzсy. Просто игнорирам всичко това. Гледам това две на две ето тук, минус bzcy. После искаме да извадим j-компонента. Запомни, че трябва да редуваме знаците, когато намираме детерминантата. Изваждаме това. После изваждаме тази колона и тази редица, значи ще бъде bxcz – това е малко еднообразно, но се надявам, ще че ни доведе до интересен резултат – bxcz минус bzcx. И накрая, плюс k-компонента. Ще получим bx по cy минус bycx. Това е скаларното произведение и сега искаме да намерим... о, извинявам се, това е векторното произведение. Не искам да те обърквам. Намерихме векторното произведение на векторите b и с. Сега да намерим векторното произведение с вектор а или векторното произведение на вектор а и това нещо ето тук. Да го направим. Вместо да преработвам вектора, просто ще направя още една матрица. Ще запиша тук горе моите i, j, k. После ще запиша компонентите на вектор а. Това ще бъдат а с индекс х, а с индекс у и а с индекс z. Малко да разчистя. Да игнорираме това. Гледаме само... не, искам да направя това с черно. Ще направя това с черно, така че все едно го изтривам. Сега това е минус j по това. Сега ще се отърва от минуса и от j, но ще преработя това с сменени знаци. Ако сменя знаците, ще стане bzcx минус bxcz. Ще изтрия всичко друго. Просто умножих всичко по –1 и го умножих по това. Надявам се, че не допускам грешки от невнимание, затова ще направя проверка и ще увелича размера на четката ми, за да мога да трия по-ефективно. Ето така. После искаме да се отървем и от това ето тук. Пак ще намаля четката до нормален размер. Добре. Сега да намерим това векторно произведение. Отново, правя го като детерминанта. И ще се фокусирам само върху... защото ще ми отнеме цялото видео или ще продължи до безкрайност, ако трябва да разписвам i, j и k-компонентите... Ще се фокусирам само върху i-компонента, само върху х-компонента на това векторно произведение. После ще видим, че ще получим същия резултат за j и k. И ще видим, надявам се, до какво ще се опрости това. Така че, ако се концентрираме само върху i-компонента, това ще бъде i по... и гледаме само тази матрица 2 по 2 ето тук. Игнорираме колоната i и реда i. Имаме ау по всичко това. Така че ще ги умножа. Това е ay по bxcy, минус ay по bycx. И после ще извадим, ще имаме минус аz по това. Да го направим. Значи това е минус, или –azbzcx. И после имаме –аz по това, значи плюс azbxcz. И сега, това, което ще направя... това е един малък трик за това доказателство тук, така че да получа резултата, който желая. Просто ще добавя и ще извадя едно и също нещо. Ще прибавя axbxcx. После ще извадя axbxcx. Очевидно е, че това не променя израза. Просто добавих и извадих едно и също нещо. Да видим какво можем да опростим. Запомни, това е само х-компонента на нашето тройно произведение. Само х-компонента. За да го опростим, ще изнеса пред скоби bx. Ще изнеса пред скоби bx. Ако искам да го изнеса пред скоби... ще го изнеса от този член, който съдържа bx. Ще го изнеса от този член. После ще го изнеса от този член. Ако изнеса пред скоби bx, ще получа аусу. Всъщност ще го запиша малко по-различно. Ще го изнеса първо от ето тук. Тогава ще имам ахсх. а с индекс х, с с индекс х. Използвах това. Сега ще направя това тук. Ако изнеса bx пред скоби, ще получа аусу. Вече използвах това. Сега имаме това. Ще изнеса bx. Остава az cz. Това е всичко от тези. Изнесох това пред скоби. Сега от тези тук ще изнеса пред скоби –сх. Ако направя това... ще взема този член ето тук... Ще получа ахbх, когато изнеса това пред скоби. Значи ахbх, задраскваме това. После ето тук ще имаме ауbу. Спомни си, изнасям пред скоби –сх, така че ще получа +ауbу. И накрая получавам +аz bz. И какво е това? Това ето тук, в зелено, е точно същото като скаларното произведение на векторите а и с. Това е скаларното произведение на векторите а и с. Това е скаларното произведение на този вектор и на този вектор. Значи това е скаларното произведение на вектор а по вектор с, по х компонента на b минус... ще използвам същия цвят – минус, пак повтарям, това е скаларното произведение на вектор а и вектор b, минус а.b, по х-компонента на вектор с. Да не забравяме, че всичко това беше умножено по единичния вектор i. Разглеждаме х-компонента, или i-компонента на на това цялото тройно произведение. Значи то ще бъде всичко това. Всичко това е по единичния вектор i. Ако направя същото нещо... няма да го правя, защото то включва много смятане. Но мисля, че няма да ти е трудно да ми повярваш. Това е за х-компонента. Ако направя същото нещо за у-компонента, за j-компонента, ще стане плюс... ако направя същото за j-компонента, можем да видим същата закономерност. Имаме bх, сх, това е за х-компонента. Ще имаме by cy за j-компонента. И после това не зависи от компонента, така че тук ще бъде а . с, и минус а . b ето тук. Можеш да провериш всяко от тези самостоятелно, ако не ми вярваш. Но процесът е същият като този, който направих. Накрая, за z-компонента, или k-компонента... тук ще сложа скоби... същият начин. Ще получиш bz, cz. После ще имаш а . b ето тук. И после ще получиш а . с ето тук. Какво получаваме? Как можем да опростим това? Това ето тук, можем да развием това. Можем да изнесем пред скоби а.с от всички тези членове ето тук. Спомни си, това трябва да се умножи по i. Всъщност нека да не прескачам толкова много стъпки, само защото искам да ми вярваш какво правя. Ако умножим по i ето тук... вместо да го преписвам, просто ще го направя по този начин. Това е малко по-разхвърляно, но нека само... мога да напиша това i тук и това i ето тук. Все едно умножавам по този х-единичен вектор, или I-единичен вектор. Сега ще направя същото за j. Ще сложа j тук. Ще сложа j и ето тук. После ще направя същото за k. Поставям k тук и после ето тук. Какво представляват тези? Тази част ето тук е точно същото като скаларното произведение на векторите а и с по... ще го запиша ето тук – bх по i плюс by по j, плюс bz по k. И сега от това ще извадим всичко това, а . b. Ще извадим а . b по точно същото нещо. Ще забележиш, че това точно тук е същото като вектор b. Това е вектор b. Когато го направиш ето тук, ще получиш вектор с. Ще го напиша ето тук. Ще получиш вектор с. И ето така опростихме нашето двойно векторно произведение. Знам, че ни отне много време, за да стигнем до тук, но това е опростяване. Може да не личи, но от гледна точка на изчисленията, то е опростяване. По-лесно се пресмята. Ако имам – ще опитам да използвам цветни кодове – векторно произведение на вектор а по вектор b по... ще използвам различни цветове – по вектор с – току-що видяхме, че това ще е еквивалентно на... единият начин да го представим, е, че взимаме първия вектор по скаларното произведение на... първият вектор в това второто скаларно произведение, което сме оградили в скоби, това трябва да направим първо... взимаме тук първия вектор. Това е вектор b. И го умножаваме по скаларното произведение на другите два вектора, умножаваме по скаларното произведение на вектор а по вектор с. От това изваждаме втория вектор, умножен по скаларното произведение на другите два вектора, а . b И сме готови. Това е развиването на двойното векторно произведение. Пак повтарям, това не е нещо, което е задължително да знаеш. Очевидно, винаги можеш да извършиш умножението. Можеш да го направиш на ръка. Не е нужно да запаметяваш това. Но ако имаш много сложни вектори, ако си на някакво математическо състезание, понякога това се опростява много лесно, ако го сведеш до скаларни произведения, и е полезно да се знае – формулата на Лагранж или развиването на двойното векторно произведение (векторното произведение на три вектора.)