Драскулки в математиката: Откачени игри с числа

Представи си, че си мен и си в час по математика. Всъщност, няма значение, болна съм и съм си вкъщи днес, така че, моля, представи си, че си Станислав Улам вместо това. Ще ти разкажа една истинска история. Ти си Станислав Улам и имаш събрание, но пускат тази наистина скучна презентация, така че, разбира се, си драскаш. И понеже си Улам, а не мен, много обичаш числа. Ама много ги обичаш. Толкова много, че си драскаш числа. Просто броене, започващо с 1 и продължаващо спираловидно наоколо. Не съм много добра с математическото обозначение, така че смятам някои неща, като числата, за разсейващи, но ти си теоретик по числата и ако обичаш числата, коя съм аз, че да те съдя. Понеже познаваш числата толкова интимно, можеш да видиш отвъд объркващата завъртяна линия, която чертаеш право в сърцето на числата. И понеже си теоретик по числата и всеки знае, че те са влюбени в простите числа, което вероятно е и причината да са ги нарекли прости числа, простите числа, които си драскаш, изведнъж ти се показват като екзотичните и делими зверове, които са. Така че започваш да рисуваш сърце около всяко просто число. Всъщност е било квадратче, но в моята версия на историята е сърце, понеже не се страхуваш да изразиш истинските си чувства към простите числа. Вероятно можеш да направиш това веднага, но на мен ще ми отнеме по-дълго, аз се чудя: "Дали 27 има делители освен 1 и себе си? Да, това е 3*9, не е просто число." "А 29? Доста съм сигурна, че е просто число." Но като теоретик по числата вероятно ще се шокираш да разбереш, че ми е нужно малко време да разбера тези неща . Но въпреки че помниш простите числа поне до 1000, това не променя факта, че простите числа, като цяло, е трудно да се открият. Имам предвид, ако поискам да ми намериш най-голямото четно число, тогава ще сметнеш това за глупаво и ще си кажеш: "Дай ми четното число, което смяташ за най-голямо, и просто ще добавя 2 към него." Бам! Но познай какво, най-голямото просто число, което познаваме, е 23^(43 112 609) - 1. За да ти дам представа колко важни са простите числа – човекът, който е намерил това число, спечелил награда от 100 000 долара заради това. Излъчваме най-голямото познато просто число в космоса, понеже учените смятат, че ще извънземните ще го разпознаят като нещо важно, а не просто някакво произволно число. Така че ще могат да разберат нашето извънземно космическо съобщение. Така че когато си помислиш, че не ти пука за простите числа, понеже те не са полезни, помни, че използваме прости числа, за да говорим с извънземни и дори не си измислям това. Логично е. Понеже математиката вероятно едно от единствените неща, което е общо за всички живи същества. Както и да е, идеята е че започна да си драскаш това, понеже ти беше скучно, но в крайна сметка намери някои нови модели. Виж как простите числа донякъде се подреждат по диагоналите. Защо правят това? Също така, този вид скелетна структура ми напомня на кости, така че нека наречем тези диагонални редове прости числа "прости ребра". Но как да предвидиш кога ще свърши едно просто ребро? Може би следващото число е просто, но главата ми е твърде замаяна за това. Така че ти ми кажи. Поздравления, откри спиралата на Улам. Ето малко история на математическото драскане. Сега можеш да спреш да бъдеш Улам сега или можеш да продължиш – може би ти харесва да си Улам, това е добре. Но можеш също да си Блейз Паскал. Ето една друга игра с числа, която можеш да направиш, като използваш триъгълника на Паскал. Не знам защо числата са ми толкова интересни днес, но имам настинка, така че ако просто позволиш болните ми предпочитания, може би ще успея да те инфектирам с ентусиазма си. Триъгълникът на Паскал е този, при който получаваш следващия ред от триъгълника като събираш две съседни числа. Построяването на триъгълника на Паскал само по себе си е игра с числа, понеже се отнася не само за упражняване на събирането, но и за опита да намериш модели и зависимости в числата, така че да не трябва да правиш всичкото това събиране. Не знам дали това е било открито чрез драскане, но е било открито независимо във Франция, Италия, Персия, Китай и вероятно и други места. Така че е възможно някой да го е открил чрез драскане. Но всъщност сега не те интересуват отделните числа. Все още си Улам, нали така. Избери едно свойство и го подчертай. Например дали е четно, или нечетно. Ако оградиш всички нечетни числа, ще получиш фигура, която може да започне да изглежда позната. И е логично да получиш триъгълника на Серпински, понеже едно нечетно число плюс едно четно число е равно на нечетно число. Нечетно плюс нечетно е четно, а четно плюс четно е четно. Така че е точно като играта със сблъскването на двоичното дърво. Най-хубавата част е че ако знаеш тези свойства, можеш да забравиш за детайлите на числата. Не трябва да знаеш, че това число ще е 9, за да знаеш, че ще е нечетно. Но вместо два цвята, нека опитаме с 3. Ще ги оцветим в зависимост от това какъв е остатъкът, когато разделиш числото на 3, вместо на 2. Ето една таблица и ще оцветя всички кратни на 3 в червено. Остатък 1 ще е черен и 2 ще е зелен. Структурата е малко по-различна от триъгълника на Серпински, но се уморих от търсенето на остатъците въз основа на отделните числа, така че нека открием правилата. Ако събереш две кратни на 3, винаги получаваш друго кратно на 3, което е факт, който използваш всеки ден в часа по математика. Но тук означава, че червено + червено е червено. И когато събереш кратно на 3 с нещо друго, това не променя остатъка на това нещо друго, така че червено + зелено е зелено и червено + черно е черно. Остатък 1 + остатък 1 е равно остатък 2. 2 + 2 е 4 и остатъкът от 4 разделен на 3 е 1. И 1 + 2 е 3, остатък 0. Основната идея е че си измисляш някакви правила по отношение на кои цветове точки се събират, за да дадат кои други цветове точки. И после следваш тези правила до тяхното математическо и артистично заключение. Самите числа никога не са били нужни, за да получим тази картина. Както и да е, това са просто два примера за игри с числа, които съществуват, но трябва да опиташ и да си измислиш своя игра. Например нямам никаква представа какво ще получиш, ако оцветиш простите числа в триъгълника на Паскал. Може би нищо интересно, кой знае! Или какво се случва, ако вместо да събираш, за да получиш следващия ред, започваш с 2 и море от невидими единици и умножаваш, за да получиш следващия ред. Нямам представа какво се случва и дали вече е нещо, което хората правят. Чакай, степени на 2. Знам друг начин да запиша това. Добре, това е логично. И има също нещо, наречено триъгълник на Флойд, при който поставяш числата ето така. Може би можеш да направиш нещо и с това. Човече, изглежда всеки има триъгълник тези дни. Ще си подремна.