Драскулки по математика: Тъмниците на дракона

Обратно в час по математика си и напълно пропускаш всичко онова, което учителят ти казва за логаритмите, понеже се занимаваш с опитите да се спасиш от това мозъкът ти да бъде промит да мисли, че има някаква фундаментална истина за думите и обозначенията, които учителката иска да запомниш, а не са просто случаен избор, използван да представи концепции, които никой в образователната система не очаква да разбереш. И за да се предпазиш от този безсмислен синтаксис, трябва да разчиташ на дракони, тоест, на фрактални драконови криви. Особеното на драконовите криви е че, както хобитите, са сложни. Започваш с просто L и после заменяш всяка права на това L с ново L, редувайки записването им от едната страна и от другата страна. И продължаваш. Започва да става инстинктивно след известно време. Драконът и специфичните му перпендикуляри. После, някак, изведнъж получаваш Смауг. И други фрактали могат да са интересни. Но някои от тях са по-малко изненадващи, без да споменавам имена – [ПРОКАШЛЯ СЕ] кривата на Кох. Имам предвид, сериозно? Направи островърхо нещо. И после направи всички линии на това да са островърхи. И направи линиите на това също островърхи, и изненада – получаваш много островърхо нещо. Не че кривата на Кох е ужасна – но не е дракон – е, може би унгарски остроопашат. Или можеш просто да вземеш средната част, за да получиш някакъв вид фрактална крепост или подземие. Но има практически проблеми с фракталния дракон и подземие, като количеството боя, което е нужно да боядисаш подземието в ярки весели цветове, или кръв. Обикновено в света на 3D боядисваш 2D повърхности. Така че можеш да измериш количеството, което трябва да се боядиса, в квадратни метри. Но в 2D боядисваш едноизмерна повърхност – просто една линия боя – която можеш да измериш в метри. Да кажем, че тази стена има нужна от 1 метър боя. Но после, когато обходиш фрактала, всяка права има тази издутина във формата на равностранен триъгълник в средната си третина. Всички прави са равни на една трета от дължината на предишното нещо. Така че всяка права има нужна от 1/3 от метъра боя, тоест общо 1 цяло и 1/3 метра боя. И после всяка от тези части прави едно и също нещо, което означава съотношение 4:3. Умножаваш 1 цяло и 1/3 по 1 цяло и 1/3 и – защо записваме 1 цяло и 1/3 така, когато имаме предвид 1 + 1/3. Това изглежда като 1*1/3, което е само 1/3, а не 4/3. Уау. Защо някой би решил, че е добра идея да обозначим 5 цяло и 1/2 по същия начин, по който бихме отбелязали 5 по 1/2? И колко грешки е причинило това? Както и да е, продължаваш с изчисленията за боята с лична клетва никога да не пишеш съставните дроби без частта "и" отново. Междувременно не се притесняваш да я опростяваш, понеже – е, разсейвания. Но после ти доскучава и започваш да мислиш за това как можеш да вземеш краищата на всяко повторение и да разшириш цялото нещо навън като една част от пружина, за да го измериш. Всеки път сякаш взимаш цялото количество от предишния път, делиш го на третини и добавяш още една трета. Не само се увеличава всеки път, но количеството, което се увеличава, продължава да се увеличава. Така че знаеш, че ще доближи безкрайност. Ако имаш цялата крайна крива на Кох и започваш да издърпваш краищата, просто ще продължиш да дърпаш и дърпаш, и дърпаш. И ще продължи да се разтегля и разгъва. Но никога няма да успееш да го разгънеш напълно, освен ако, разбира се, нямаш безкрайно дълги ръце и можеш да увеличиш скоростта си на издърпване, докато не стане безкрайно бърза. Но Айнщайн може да има няколко неща да каже по въпроса. Целта е да осъзнаеш, че ще трябва да оставиш подземието-крепост небоядисано, въпреки че това го оставя по-изложено на елементите. Чудиш се дали Саурон се е притеснявал, че кулата му ще ръждяса или ще бъде увредена от водата. Може би дори можеш да я направиш от змии. Какво? Имах предвид неръждаема стомана, въпреки че можеш да го направиш от змии. Не. Червеи. Не. Дракони от по един инч, които са най-малките дракони. Не. Змия, която е изяла овца и слон. Не. Камила и слон. Но всъщност дори нямах предвид змии. Имах предвид неръждаема стомана, която изобщо не е змии. Но чакай малко. Ако ти трябваха безкрайни змии – не. Ако ти трябваше безкрайно много боя, за да го боядисаш, щеше ли да ти трябва безкрайно много стомана, за да го построиш? Става все по-голямо с всяко повторение. И всеки път добавяш ново множество кули, добавяш четири пъти толкова кули, както направи предния път, доближавайки безкраен брой кули с безкрайна повърхност за боядисване. И все пак някак изглежда, че има някаква граница, която няма да преминем. Като виждаме, че това подземие има ограничено пространство, вероятно е нужно да планираме целият подземен град, като имаме предвид публичната безопасност. Поне това ще предложиш на тъмния господар на двуизмерната драконова подземна кула, заедно с бюджета и срока на строежа. Понеже нищо не се казва "зъл господар" като документацията и бюрокрацията. Така че правиш града една голяма крива на Кох и – защо я наричат крива на Кох, когато очевидно е повече островърхо нещо на Кох? Както и да е, след като всяко повторение ще мащабира с коефициент от 3, кулите на второто повторение ще са 1/3 от височината, което е – ъм, това е по-малко от 1/3 площта. И ако беше половината от размера, както в триъгълника на Серпински, това щеше да е – чакай. Площта за равностранен триъгълник с височина 1 всъщност ще е 1/2. Но това, което има значение, е да сравним площта тук с площта тук. Просто ще наречем това количество на 1 стоманена площ, което случайно е равно на 1/2 от каквато мерна единица за височина използваме на квадрат. Да, точно така. Един триъгълник с половината височина е 1/4 по площта. Но това всъщност е за плътен триъгълник. Но при триъгълника на Серпински има пространство в средата. Така че това е 1/3 от площта. Както и да е, целта е за един плътен триъгълник... изглежда 1/3 височината е 1/9 площта, без значение дали площта е в произволни мерни единици, или в количество стоманена площ, 1/9. Забавно е, понеже при квадратите е същото. 1, 4, 9 – после 4 по 4 ще е 16, после 25. Всички те са числа на квадрат – 1 на квадрат, 2 на квадрат, 3 на квадрат. И все пак изглежда, че ако това е еднотриъгълно, това е двутриъгълно. три-триъгълно. Не получаваш същата площ, както ако това беше квадрат. Но колкото площ има първото, все пак това ще е – 4 пъти, 9 пъти, 16 пъти, 25 пъти – 36 пъти по толкова. Но това е логично, понеже триъгълниците са половин квадрати. Разбира се, това е 9 пъти по – ей. Защо пишем по като х? Това е объркващо. Понеже 25х означава 25 по х. Но това изглежда като 25х^2, което е 25 по х^2. Но може да мислиш, че това е 25 по хх^2, което е 25х^4. И вероятно трябва да заместим стария "по" символ с малки картинки на вестници. Символът за деление ще е подобен, но се увери, че заглавията включват нещо за политика. И – чакай, това е смешно. Никой вече не чете вестници. Новият символ ще е малък уебсайт – увери се, че включваш мини колонки, бутони и прозорец за търсене, и албум снимки – докато символът за деление ще е малък телевизор, включен на някакъв канал – чакай, не. Символът "по" ще е пясъчен часовник, а символът за деление или ще е римската цифра 1, 2 или 3, в зависимост от спортния бюджет на университета ти. Добре. Тоест 2 по този размер е 4 по площта. Чудиш се дали това върши работа по този начин за други форми. За кръгове площта е пи r^2. Въпреки че трябва да кажеш пи r^2 или може да го объркаш с пи r^2, което е важно. Понеже когато направиш това два пъти толкова голямо, умножаваш по 2 именно r. Така че трябва да се увериш, че умножаваш r по 2, преди да се случи нещо друго – например 2r^2. Не 2 r^2. След като повдигнеш това 2 на квадрат, получаваш коефициент от 4, което е същият вид 4, което получаваш при квадратите и триъгълниците, което е забавно, понеже предлага начини за делене на един кръг на 4 равни части. И после, ако имаше нещо, направено от квадрати, тогава, разбира се, всеки път, когато го мащабираш, всички индивидуални квадрати следват квадратните си правила. И сега, когато помислиш за това, може би, на теория, можеш да направиш всяка форма от квадрати, ако имаше безкрайно много... И може би можеш да направиш същото нещо в 3D с кубове. Имам предвид, ако Minecraft те е научил на нещо, то това е че всяка форма може да бъде приблизително направена от кубове. Колкото повече кубове, толкова по-добре. Когато правиш 3D драконово подземие и искаш да го направиш два пъти размера, ще е нужен 8 пъти толкова материал, тежащ 8 пъти толкова и струващ 8 пъти толкова. Чудиш се дали моделът продължава. И дизайнерите на четириизмерно драконово подземие трябва да работят с 16 пъти толкова масивни подземия, всеки път, когато ги мащабират с 2. И когато ги мащабираш с 3, 3^4 означава, че ще бъдат 81 пъти толкова тежки. Мислиш, че дизайнерите на 4D драконово подземие трябва да направят подземията си много малки, така че да не надвишат бюджета или да се срутят. И смяташ, че е привилегия да си архитект на 2D драконово подземие, при което нещата са много по-логични. Може би трябва да преминеш към 1D, където когато нещата станат два пъти толкова големи, те стават два пъти толкова големи, което звучи добре. Но какво ако това беше триъгълник на Серпински? Може би това правило е грешно. Понеже получаваш три пъти толкова нещо, когато го направиш два пъти толкова високо. Но 3 равно ли е на 2 на степен – чакай. Защо пишем 81 като 8 до 1, когато обикновено поставянето на неща едни до други означава умножаване? Но това не е 8*1, което е 8. И не е 8 + 1. Това е 8*10 + 1. Ако това наистина означава това, просто трябва да го запишеш така отначало, за да избегнеш объркването на 81 с 8 или 9, или каквото и да е. О, освен това може да объркаш 1 0 с 1*0. Така че вероятно трябва да го запишеш като 2*5, което, разбира се, може просто да бъде записано като 2 5. Резултатът е че 81 е 825 + 1. Много по-добре. Понеже ако под 825 имаш предвид 82525 +225 + 5, тогава трябваше да го запишеш така отначало. Но преди напълно да можеш да приложиш грандиозните си планове за реформа при обозначаванията, осъзнаваш, че часът ти по математика свършва, което е чудесно, понеже имаш само още един час върху логаритмите, който трябва да понесеш, преди класът да премине към нещо, да се надяваме, по-интересно.