Драскулки в математиката: Драконови люспи

Отново си в час по математика. Просто – никога не спира. Ден след ден откриваш, че си в капан зад този чин само с тетрадката си за компания, това бледо огледало, което отразява мислите ти като успокояващо отражение на споделени идеи. Пропиляваш още един незаменим час от краткия си живот, без дори да се преструваш, че слушаш учителя си, който говори за логаритми. Или поне мислиш, че говори за логаритми. Не внимаваш особено, докато си седиш небрежно там, пропилявайки този единствен момент, който ще имаш и – опа, ето още един. Но дори не се преструваш, че учиш за логаритмите, за разлика от висшата математика, за която учителката ти дори не очаква да се преструваш, че внимаваш. И вместо това се забавляваш, като си драскаш. Преди два дни откри безкрайно самоподобния звяр, тоест, фрактала. И вчера откри, че когато мащабираш двумерно нещо по 2, то нараства с коефициент от 4. И когато го мащабираш с някакъв произволен коефициент, площта нараства с този коефициент на квадрат, за разлика от 1D, когато нараства просто по този коефициент, и от 3D, където е по коефициента на трета степен. И после 4D нараства по този коефициент на четвърта степен. И в n-измерения нараства по този коефициент на степен n. Когато го поставиш по този начин, доста добре оползотворяваш ограниченото си време на тази земя. И под ограничено време на тази земя имам предвид, че всички ще станем безсмъртни космически роботи. Както и да е, продължаваш плановете си за фрактален град от безкрайни драконови подземия, триъгълници върху триъгълници, върху триъгълници, всяко ново множество с мащаб намален с коефициент от 3. Това е 1/9 от площта. Но има четири пъти по толкова. И следващото множество има четири пъти толкова, колкото предишното, но е 1/9 пъти размера на предишното. Тоест общото тегло стомана е 1 + 4/9, + 4^2 върху 9^2, + 4^3, върху 9^3, точка, точка, точка, +4^n върху 9^n. И може би можеш да се научиш как да събираш безкрайна поредица числа, ако учителят ти някога изобщо приключи с логаритмите. Но поне знаеш как да създадеш перфектния фрактален град, което е добре, понеже разбирането на коефициентите на мащабиране и градско планиране изглежда нещо, което може да е полезно, ако искаш да помогнеш на видовете в нашето пътуване да станат безсмъртни космически роботи. Единственото нещо, което може да направи града по-добър, е ако беше два пъти толкова голям. А ако беше три пъти толкова голям? Така че можеш да задържиш тази част от дизайна и просто да начертаеш следващото повторение. Три пъти мащаба в две измерения означава, технически, че ще ти трябва девет пъти толкова стомана. Въпреки че, доколкото продължава рисуването на тези планове, не е 9 пъти толкова трудно, а само 4, тъй като трудната част е външната островърха част. И това е просто копирано четири пъти, за да бъде увеличено 3 пъти. Чакай... Странно нещо номер 1. Увеличаването на мащаба по 3 означава 9 пъти толкова стомана. Но това е същото нещо, копирано 4 пъти, плюс запълването на този среден триъгълник. Така че това е 4 пъти стоманата + 9. Ако този мистериозен сбор от безкрайни редици, ако общото тегло стомана беше х и 9х = 4х + 9, 5х = 9, х = 9/5. На ти, безкрайност! Добре. Сега, странно нещо номер 2. Погледни само ръба, реалната крива на Кох, която не е запълнена. Ако беше нормална права, а не безкрайно островърха такава, увеличаването на мащаба по 3 щеше да означава три пъти толкова рисуване, както очакваме. Но ако тази островърха права трябваше да представлява безкрайно островърха магическа крепост, град от драконово подземие, като увеличаваме мащаба по този начин, губим детайли, правим тези дълги прави, които трябваше да имат островърхи издутини. На теория, без значение колко увеличаваш мащаба на града или без значение колко добре го разглеждаш, никога няма да получиш равни части. Цялото това нещо с намален мащаб е същото като тази част, което е същото като тази част, което е същото като това. И така нататък. Три пъти толкова голямо е 4 пъти по това нещо. Не 3, както ако беше нормална 1D линия, и определено не 9, както тази 2D площ във вътрешната част. Някак безкрайната фракталност на това нещо го кара да се държи по-различно от всички 1D неща и всички 2D неща. Убеждаваш се, че всички 1D неща са станали два пъти толкова големи, когато ги направиш два пъти толкова големи, понеже можеш да ги приемеш за разделени на отсечки. И знаеш как се държат отсечките. И се убеждаваш, че всички 2D неща с мащаб увеличен с 2 стават 4 пъти по толкова, понеже можеш да приемеш 2D нещата, изградени от квадрати, и знаеш как се държат квадратите. Но после имаме това, в което няма прави линии. И няма и квадратни площи. Повече от 3^1, по-малко от 3^2. Държи се сякаш е между 1 и 2 измерения. Сещаш се отново за триъгълника на Серпински. Може би може да се смята за изграден от прави отсечки, въпреки че има безкрайно количество от тях и стават безкрайно малки. Когато го направиш два пъти толкова високо, ако просто направиш тези линии от рисунката два пъти толкова дълги, отново пропускаш детайли. Но малките линии, твърде малки, за да бъдат начертани, също са два пъти толкова дълги и сега са видими. И така нататък, чак до безкрайно малките отсечки. Хм. Чудиш се дали това нещо с подобната права работи за прави, които нямат дължина. Чакай. Прави, които нямат дължина? Има ли такова нещо? Първо, откриваш, че когато я направиш два пъти толкова голяма, получаваш три пъти по триъгълника на Серпински. Не 2, както очертанията на 1D триъгълник. Не 4, както плътен 2D триъгълник. А някъде по средата. И това "по средата" изглежда е вярно, без значение по какъв начин го направиш – извън правите или чрез изваждане на 2D триъгълници, или със завъртулки. Накрая всички са еднакви. Един обект във фрактално измерение. Вече не 1D, поради безкрайно безкрайните малки линии. Или вече не 2D, поради изваждането на цялата площ. Или безкрайно завъртяна права, която също е твърде безкрайна и завъртяна, че да е права, но не се притиска достатъчно в себе си, че да има 2D площ. Въпреки че при драконовата крива изглежда се притиска в себе си. Хм. Ако си представиш, че това е завършената драконова крива и повтаряш по този начин, има два пъти по това. Това се очаква от 1D права, ако увеличаваме мащаба с 2. Но, да видим, това е увеличаване на мащаба не точно по 2. Да видим. Предполагам, че го направи перфектно, предполага се, че е равностранен правоъгълен триъгълник. Тоест, квадратен корен от 2. Хм. Ако това беше двуизмерно, тогава ще очакваш увеличаването на мащаба по квадратен корен от 2 да ти даде с квадратен корен от 2 на квадрат по това нещо. И корен квадратен от 2 на квадрат е, разбира се, 2, което е количеството нещо, което получи. Странно как драконите се оказаха точно двуизмерни. Но края получи запълнено нещо с фрактален ръб. И това е доста като запълнено драконово подземие. 2D площ от розова стомана във вътрешността, безкрайна фрактална патина отвън. Освен че драконовата крива все още получава точки за странност, защото получава своята двумерност от безкрайно завъртяна права, а не от триъгълници, които в началото са били 2D. И сега те напада друга мисъл. А какво да кажем за безкрайно дълга права, истинска права, а не отсечките, с които се занимаваше? В определен смисъл една безкрайно дълга права няма дължина. Не и зададена такава. Както безкрайно късата права, няма реално число, което да може да я опише. И ако няма число за това, как можеш да умножиш това число по 2? Ако, когато направиш една права два пъти толкова дълга, не получаваш права с точно два пъти дължината, дали тази права наистина е едномерна? И ако кривата на Кох е направена от права, която е достатъчно завъртяна, че да е повече от 1D, какво се случва, когато я превърнеш обратно в права? Опитваш се да си представиш съответствието. Ако тази точка свършва тук, тогава тази точка ще свърши безкрайно в тази посока. И тази, два пъти толкова безкрайно в тази посока, което няма смисъл. И тази също безкрайно в тази посока. И тази, и тази. Но не могат всички да свършат в същата безкрайност, понеже трябва да имат безкрайна права помежду си. Предполагаш, че ще ти трябва супер дълга права, която е като безкрайно много безкрайни дълги прави, събрани в едно. И може би тази права няма да е едномерна, а колкото измерения е това. Чудиш се как да откриеш точното фрактално измерение на кривата на Кох или триъгълника на Серпински. 3 на степен измерението ти дава 4 пъти по това. Но как ще откриеш това число? Само да имаше начин да го намерим. Изведнъж звънецът звънва, така че си събираш нещата колкото можеш по-бързо, като се чувстваш удобно със знанието, че никога повече няма да трябва да чуваш за логаритми.