Теорема на Грийн - пример 1

Да видим можем ли да използваме наученото за теоремата на Грийн, за да решим един пример за криволинеен интеграл. Всъщност преди да ти покажа примера, искам да направя едно пояснение по теоремата на Грийн. Всички примери, които дадох, бяха за някаква подобна област, като вътрешността на тази област беше наляво от мястото, на което се намираме. Във всички примери се движехме обратно на часовниковата стрелка, така че нашата област беше наляво от... ако си представиш, че вървим по един път в тази посока, това винаги беше отляво на нас. Това е случаят, в който важи теоремата на Грийн. Ако вземем криволинеен интеграл по този път, криволинеен интеграл по затворен контур – даже може би можем да го определим ето така. Ще срещнеш това в някои учебници – по кривата с от f по dr. Това е равно на двоен интеграл върху тази област R от частно Q относно х минус частно Р относно у, по dA. Само да припомня, че това Q и Р са компонентите на f в този случай. f може да се представи като f от (х; у) равно на Р от (х; у) по i компонента, плюс Q от (х; у) по j компонента. Значи това е случаят, когато вътрешността на областта е отляво на посоката, в която се движим по тази крива. Ако се движим в обратна посока, тогава тук трябва да поставим знак минус. Ако тази стрелка е в другата посока, тогава поставяме знак минус, и можем да направим това, защото знаем, че когато имаме криволинеен интеграл във векторно поле, ако обърнем посоката, тогава това става с обратен знак. Показахме това преди 4-5 урока. Като изяснихме това, сега мога да запиша теоремата на Грийн тук горе. Всъщност хайде да решим един пример. Даден е криволинеен интеграл по една крива, която ще дефинирам след малко. Да кажем, че интегралът, който искаме да решим, е х на квадрат минус у на квадрат, dx, плюс 2 по х по у, dy. Кривата... дадени са ни и граници. Границите на областта. Ще използвам различен цвят. Значи кривата ограничава нашата област, дадено е, че за всички точки (х; у) х е по-голямо от или равно на 0, и по-малко от или равно на 1. После у е по-голямо от или равно на 2 по х на квадрат и по-малко или равно на 2 по х. Да начертаем областта, която ще разглеждаме. Ще начертая оста х, извинявам се, първо е оста у. Това е оста у, а това е оста х. Да видим, х е от 0 до 1, така че, ако... това очевидно е 0. Да кажем, че х е равно на 1, така че това са всички стойности на х. у се променя, то е над 2 по х на квадрат и под 2 по х. Обикновено, когато числата са положителни, 2 по х на квадрат е по-голямо от 2 по х, но когато х е по-малко от 1, 2 по х на квадрат ще е по-малко от 2 по х. Значи горната граница е 2 по х, тук е точката (1; 2). Това е правата с уравнение у равно на 2 по х... искам да я направя по-добре от това. Правата с уравнение у равно на 2 по х ще изглежда ето така. Това ето тук е правата с уравнение у равно на 2 по х. Може би ще я направя с жълто. После долната крива ето тук ще бъде у по-голямо от 2 по х на квадрат. ще изглежда горе-долу така. Разбира се, областта, която ни интересува, е тази, но ние казваме, че кривата е граница на тази област и ще се движим в посока обратна на часовниковата стрелка. Значи нашата крива – можем да тръгнем от всяка точка, като ще се движим по този начин. Стигаме до тази точка и после слизаме надолу по тази горната крива по този начин. Това отговаря на условието, че вътрешността на тази област винаги ще бъде вляво на нас, така че можем да използваме теоремата на Грийн без да има нужда да поставяме знак минус. Сега да дефинираме площта. Да определим нашата област. Този интеграл ето тук ще бъде... ще го направя по следния начин – у се изменя от у равно на 2 по х на квадрат до 2 по у равно на 2 по х. Значи първо ще интегрираме относно у. После х ще бъде отвън. Границите на х са от 0 до 1. Значи са ни задали определен интеграл. Сега само трябва да определим какво се случва тук – теоремата на Грийн. В този случай f ще бъде ето това. f от (х; у) e равно на х на квадрат минус у на квадрат по i, плюс 2 по х, по у, по j. Виждали сме това в много видеа. Скаларното произведение на f по dr ще ни даде това тук. Значи този израз ето тук е нашето Р от (х; у). (записва го на екрана) Този израз тук е Q от (х; у). (записва го на екрана) Тук вътре в интеграла просто ще използваме директно теоремата на Грийн. Частно Q относно х... това е производната на това (Q) относно х – получаваме 2у. После от това ще извадим частно Р относно у. Значи намираме производната на това относно у, която е 0, а после ето тук... производната относно у е минус 2 по у. Ето така. Това се опростява до 2 по у минус минус 2 по у. Това е 2 по у плюс 2 по у. Вадим отрицателно число. Или тук... но за да спестя място, това вътре – това е просто 4 по у. Не искам да преписвам границите. Това ето тук е равно на 4 по у. Това частно Q относно у е 2 по у, минус частно Р относно у, което е минус 2 по у. Изваждаме отрицателно и знакът му става плюс. Получаваме 4 по у. Сега да намерим примитивната функция вътре относно у и получаваме 2 по у на квадрат. Ще го направя малко по-надолу. Получаваме 2 по у на квадрат, ако намерим частната производна относно у, тогава ще получим 4 по у. Ще изчислим това от у равно на 2 по х на квадрат до у равно на 2 по х. После, разбира се, все още имаме външния интеграл ето тук. х е от 0 до 1, dx. Това ще е равно на интеграл от 0 до 1 и след това ще го изчислим първо за 2 по х. Поставяме 2 по х тук, 2 по х на квадрат е 4 по х на квадрат. 2 на квадрат, х на квадрат, така че става 4 по х на квадрат, по 2, това дава 8 по х на квадрат. Минус... поставям това ето тук. 2 по х на квадрат на квадрат е 4 по х на четвърта степен, 4 по х на четвърта степен, по 2, което дава 8 по х на четвърта степен. Вярно ли го сметнах? 2 по х на квадрат – заместваме у, заместваме с това. Това на квадрат е 4 по х на четвърта степен. По 2 дава 8 по х на четвърта степен. Много добре. Сега dx. Сега това е един лесен едномерен интеграл. Това е равно на... ще го направя ето тук. Това е равно на примитивната функция на 8 по х на квадрат, която е 8/3 по х на трета степен. После примитивната функция на 8 по х на четвърта степен е минус 8/5 по х на пета степен. След това трябва да го сметнем за 0 и за 1, като тук мога да сложа една черта. Когато заместим с 1, получаваме... ще използвам различен цвят. Получаваме 8/5 по 1 на трета степен, което е 8/5. Минус 8/5. После имаме минус... когато заместим с 0, получаваме просто куп нули. О, извинявам се, допуснал съм грешка. Това щеше да е катастрофа. Това е 8/3. 8/3 по 1 на трета степен, минус 8/5 по 1 на пета степен, така че това е минус 8/5. После като извадим 0, тук получаваме 0, и получаваме куп нули, така че няма нищо повече. Сега да намерим разликата на тези две дроби. Общият знаменател е 15. 8/3 е равно на – умножаваме числителя и знаменателя по 5. Това е 40/15. После ако умножим числителя и знаменателя по 3, това ще даде 24/15. Значи минус 24/15, това е равно на 16/15. Значи с помощта на теоремата на Грийн получихме на колко е равен този интеграл. Равен е на 16/15. Надявам се, че това ти е полезно. В следващото видео ще решим още един пример.