Основно съдържание

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 2

Урок 8: Производни на векторни функции (уроци)

Производни на векторни функции

Как пресмятаме производни на векторни функции, и по-важно, какво представляват.

Преговор

Основни идеи

Производната на векторна функция е просто векторът от производните на нейните компоненти:

\begin{array}{r} \frac{d}{d t} [\begin{array}{c} x (t) \\ y (t) \end{array}] = [\begin{array}{c} x^{'} (t) \\ y^{'} (t) \end{array}] \end{array}

Ако дадената функция е положението на частица във времето, то производната е векторът на нейната скорост.

Производни на векторни функции

Добри новини! Пресмятането на производна на векторна функция не е нищо ново за теб. Затова и тази статия е толкова кратка. Единственият нов материал е умението да интерпретираш тази производна.

Пример

Дадена е векторната функция

\vec{s} (t)

в две измерения

\begin{array}{r} \vec{s} (t) = [\begin{array}{c} 2 \sin (t) \\ 2 \cos (t / 3) t \end{array}] \end{array}

Производната на

\vec{s}

е векторът от производните на двете ѝ компоненти:

\begin{aligned} \frac{d \vec{s}}{d t} (t) & = [\begin{array}{c} \frac{d}{d t} (2 \sin (t)) \\ \frac{d}{d t} (2 \cos (t / 3)) t \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} 2 \cos (t) \\ 2 \cos (t / 3) - \frac{2}{3} \sin (t / 3) t \end{array}] \end{aligned}

Производната се означава още с

{\vec{s}}^{'} (t)

. Това е векторна функция на променливата

t

, точно както

\vec{s}

В общия случай, ако функцията

\vec{s}

има компоненти

x (t)

y (t)

, нейната производна е

\begin{array}{r} {\vec{s}}^{'} (t) = [\begin{array}{c} x^{'} (t) \\ y^{'} (t) \end{array}] \end{array}

Производната като вектор на скоростта.

Как можем да изобразим производната за примера по-горе?

\begin{array}{r} \vec{s} (t) = [\begin{array}{c} 2 \sin (t) \\ 2 \cos (t / 3) t \end{array}] \end{array}

Прави впечатление, че стойността на функцията има повече измерения, отколкото аргумента, така че това е параметрична функция.

Всяка точка върху кривата е вектора

[\begin{matrix} 2 \sin (t_{0}) \\ 2 \cos (t_{0} / 3) t_{0} \end{matrix}]

за определена стойност

t_{0}

на параметъра. Например, когато

t_{0} = 2

, този вектор е равен на

\begin{array}{r} \vec{s} (2) = [\begin{array}{c} 2 \sin (2) \\ 2 \cos (2 / 3) \cdot 2 \end{array}] \approx [\begin{array}{c} 1,819 \\ 3,144 \end{array}] \end{array}

Векторите

\vec{s} (t)

за всички възможни стойности на параметъра

t

описват следната крива:

Какво получаваме, когато заместим стойност за параметъра

t

, например

2

, в производната?

\begin{aligned} \frac{d \vec{s}}{d t} (2) & = [\begin{array}{c} 2 \cos (2) \\ 2 \cos (2 / 3) - \frac{2}{3} \sin (2 / 3) \cdot 2 \end{array}] \\ \approx [\begin{array}{c} - 0,832 \\ 0,747 \end{array}] \end{aligned}

Това също е двумерен вектор.

Трудно се вижда какво означава тази производна, ако отправната точка на вектора е началото на координатната система. Но ако поставим началото на вектора в крайната точка точка на вектор

\vec{s} (2)

, тогава тази производна означава скорост:

Ако $\vec{s} (t)$ ‍ е местоположението на частица, движеща се в пространството, $\frac{d \vec{s}}{d t} (t_{0})$ ‍ е векторът, изобразяващ нейната скорост в момента $t_{0}$ ‍.
Производната е допирателен вектор към кривата.

Посоката на този вектор е допирателна към кривата, и неговата дължина описва скоростта, с която частицата се движи по кривата.

Упражнение: Местоположението на частица в двумерното пространство като функция на времето

t

е дадено от функцията

\begin{array}{r} \vec{s} (t) = [\begin{array}{c} t^{2} \\ t^{3} \end{array}] \end{array}

Задача 1

На колко е равна производната $\frac{d \vec{s}}{d t}$ ‍?

Задача 2

Каква е скоростта на частицата в момента $t = 3$ ‍?

Обобщение

Производната на векторна функция е просто векторът от производните на нейните компоненти.
Ако дадената функция е положението на частица във времето, то производната е векторът на нейната скорост.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.