Параметризиране на повърхнина, част 1

Всички параметризации, които сме правили досега, бяха параметризации на крива с използване на един параметър. В това видео ще започнем да правим параметризация на повърхнина в три измерения, като ще използваме два параметъра. Ще започнем с пример с тор. Тор е тяло, което е по-известно като геврек (донът). Знаем как изглежда един геврек. Ще го направя с подходящ цвят, макар че нямам подходящи цветове, затова ще е зелен. Геврекът изглежда горе-долу ето така. В центъра има отвор, а другата страна на геврека изглежда може би така, ще го щриховам по този начин. Ето така изглежда геврекът. Как можем да съставим уравнение за това тяло с два параметъра? Това, което ще направим, е – просто да си го представим, това е един геврек, ето тук ще начертаем координатни оси. Това е нашият геврек. Ще начертая координатните оси. Да кажем, че имаме оста z, която е право нагоре и надолу. Тя е ето тук, геврекът е леко наклонен, това е оста z, която също ще наклоня малко. Оста z минава точно през центъра на геврека. Това ще бъде упражнение за чертане повече, отколкото всичко друго. Значи това е оста z, после си представи, че оста z идва насам, а после ето тук ще бъде оста х. Това тук е оста х, а после оста у ще бъде може би ето така. Причината да направя чертежа по този начин е, че ако си представиш напречното сечение на този геврек, аз ще го начертая малко по-прилежно, но напречното сечение на геврека с равнина xz ще изглежда по ето такъв начин. Ако искам да го срежа успоредно на равнината xz, ще изглежда приблизително така. Това е напречното сечение. То ще преминава... като не разглеждаме целия геврек, а само повърхността на геврека. Значи сечение ще бъде една такава окръжност. Ако срежем геврека по посока на положителната xz, ще получим окръжност, която изглежда по този начин. Ако дойдем ето тук, ще получим куп окръжности. Ако разсъждаваме върху това, това са куп окръжности, завъртяни около оста z. Ако го разглеждаме по този начин, това ще ти даде добра представа за най-добрия начин за параметризация на тора. Да го направим по този начин. Да започнем просто с осите z и y. Ще го начертая малко по-прилежно от предния път. Това е оста z, а това е оста у. Да кажем, че центърът на тези окръжности лежи примерно в пресечната точка на осите z и у. Центърът лежи на оста у. Не го начертах много добре, но мисля, че можеш да си го представиш. Това ето тук е оста у. Д кажем, че това е на разстояние b от центъра на тора или от оста z – това разстояние е b. Това разстояние винаги е b. То е винаги – ако си представиш горната страна на геврека – ще начертая горната страна на геврека. Ако гледаш надолу към геврека, ще начертая един геврек тук – ако гледаш отгоре към геврека, той изглежда ето така. Оста z излиза право нагоре. Оста х отива надолу ето така, а оста у отива надясно. Можеш да си представиш, че един вид летя над геврека. Стоя на оста z и гледам право надолу към геврека. Гледам ето по този начин. Ако си представиш напречното сечение, тази окръжност ето тук, горната част на окръжността, ако гледаме отгоре, ще изглежда ето така. Това разстояние b е разстоянието между оста z, от центъра на всяка от тези окръжности. Това разстояние – ще използвам същия цвят – от центъра на тора до центровете на тези окръжности (напречните сечения), е b. То е до центъра на тези окръжности – b. Това разстояние е b, това разстояние също е b. Това разстояние е b. От центъра на нашия тор до центъра на окръжностите, които дефинират тора, това е разстоянието b. Значи това разстояние ето тук, това разстояние тук е b. От b, можем да си представим, че имаме радиус. Радиус с дължина а. Тези окръжности имат радиус с дължина а. Значи това разстояние ето тук е а, това разстояние е а, това разстояние тук е а, това разстояние е а. Ако разгледаме тези окръжности, те имат радиус а. Значи ще имаме два параметъра. Единият параметър е ъгълът, който този радиус сключва с равнината xz, така че можеш да си представиш, че оста х излиза ето така. Ще използвам същия цвят. Представи си, че оста х излиза ето така. Това е равнината xz. Единият параметър е ъгълът между радиуса и равнината xz. Ще означим този ъгъл или този параметър – ще го означа като s. Значи s е в интервала от 0 до 2 по пи, като е нула в тази точка ето тук, а после е 2 по пи, когато опишем окръжност, която изглежда ето така. Сега имаме само един параметър. А ако решим да завъртим тази окръжност? Това, което начертах току-що, е тази окръжност ето тук. Ако решим да завъртим цялата окръжност? Ще дефинирам още един параметър. Ще го означа с t, и пак ще използвам изглед отгоре. Това стана малко претрупано. Ще начертая друг изглед отгоре. Както виждаш, тук всичко опира до визуализацията. Това е оста х, това е оста у. Казахме, че започваме ето тук в равнината zy. Разстоянието от оста z е b, значи това разстояние е b. На този чертеж оста z сочи към нас. Излиза от страницата. Ние гледаме право надолу. Това е същият изглед като този тук. Това, което току-що начертах, когато s е равно на 0 радиана, тогава се намираме ето тук, точно на един радиус разстояние по-нататък по оста у. След това ще се завъртим. Когато се завъртим, ще дойдем чак ето тук. Това е когато сме ето тук, а после слизаме отново долу. Ако гледаме към окръжността отгоре, това ще изглежда по този начин. Сега, за да получим геврека, ще завъртим всичко това около оста z. Спомни си, че оста z излиза ето така. Тя сочи право към нас. Излиза от екрана. За да получим геврека, трябва да завъртим тази окръжност около оста z. За да го направим, трябва да дефинираме параметър, който ни казва колко трябва да я завъртим. Значи това е, когато сме завъртели с 0 радиана. В някакъв момент ще бъдем ето тук, ние се завъртаме, това е точно b, и тогава нашата окръжност ще изглежда ето така. Това е може би тази точка от геврека, ето тук. Ето тази точка, ние трябваше да я завъртим примерно с t радиана. Значи това е параметъра, който показва колко сме се завъртели около оста z, какво разстояние сме изминали, ето защо този параметър ще означим с t. t е в интервала между 0 и 2 по пи. Искам да поясня. Всъщност ще начертая дефиниционното множество, което изобразяваме върху нашата повърхнина, така че да го разбереш напълно. Ще начертая... после ще разгледаме как можем реално да параметризираме това като една функция на радиус-вектора. Ще нарека това оста t. Това, запомни, показва колко сме се завъртели около оста z ето тук. Да наречем това долу оста s. Мисля, че това ще ни помогне малко. Когато s е равно на 0 тогава се променя само t, така че и двата параметъра са в интервала от 0 до 2 по пи. Това тук е 0, а това тук е 2 по пи. Ще означа някои стойности между тях. Това е пи, това е пи върху 2, това е 3 по пи върху 4. Правим същото нещо на оста t. Достигаме до 2 по пи. Да го направим. Значи стигаме до 2 по пи. Наистина искам да визуализирам това, защото тогава параметризацията става много лесна, според мен. Значи това е 2 по пи, това е пи, това е пи върху 2, а после имаме 3 по пи върху 4. Да си представим какво ще се случи, ако задържим s да бъде константа, s да е 0, а t се променя между 0 и 2 по пи. Ще използвам цикламено. Значи s остава константа, а се променя другия параметър t от 0 до 2 по пи. В такъв случай ще се образува крива в три измерения, а не повърхнина. Понеже се променя само единият параметър ето тук. Да помислим какво е това. Спомни си, че s е... ще начертая координатните оси. Това е оста х, това е оста у, после това е... става все по-претрупано и все по-претрупано. Това е оста z... всъщност ще направя чертежа по-голям от този. Мисля, че ще ни помогне за всички визуализации. Добре. Това е оста х, това е оста у, после оста z минава ето така. Оста z. Спомни си, че когато s е равно на 0, това означава, че няма въртене по тази окръжност. Това означава, че сме ето тук. Ние сме на разстояние b от оста z, а след това на разстояние а. Не се въртим около това въобще. Приемаме, че s е равно на 0. По същество сме на разстояние b, така че това ще бъде на разстояние b, а после сме на разстояние а. b е до центърът на окръжността, а после се отдалечаваме от него на разстояние а. Ще бъдем ето тук. Значи това разстояние е а плюс b. След това променяме стойността на t. Спомни си, че t показва колко се въртим около оста z. Това тук бяха изгледи отгоре. Значи тази права ето тук, в дефиниционното множество s-t, когато изобразяваме това, или го параметризираме, ще съответства на кривата, която по същество е външният ръб на геврека. В този изглед отгоре на геврека това ще бъде външният му ръб, ето така. Ще начертая външния ръб. За да го направя малко по-добре, ще начертая осите и двете в положителната и отрицателната част на дефиниционното множество. Това може да направи чертежа такъв, че да си представим нещата по-лесно. Положителната и отрицателната дефиниционна област, това е минус z ето тук. Значи тази права в равнината t-s, предполагам, че можем да кажем, че тази цикламена права, когато s е 0 радиана и увеличаваме t, това е t равно на 0, това е t равно на 2 по пи, това е t равно на пи, това е t равно на 3 по пи върху 2, и всичко това обратно до t равно на 2 по пи. Тази права съответства на тази права, когато завъртим, когато увеличаваме t и задържим s равно на константата 0. Сега да изберем друга точка. Да кажем, че когато s е пи, спомни си, че когато s е равно на пи, тогава изминаваме точно... пи е 180 градуса. Когато s е равно на пи, сме изминали точно 180 градуса по окръжността, по всяка от тези окръжности. Значи сме точно ето тук. Сега да задържим s равно на константата пи, и после да се завъртим, за да се образува геврек. Ще се образува вътрешната част на геврека. Когато s е равно на пи, тогава взимаме t равно на 0, така че, когато пи и t са нула, това ще е центърът на нашата окръжност, ще бъдем на разстояние `а` под това. Ще бъдем ето тук. После, когато променим, когато увеличим t, така че да се преместим, докато s е равно на пи, а увеличаваме t, ще опишем вътрешността на нашата поничка, която ще изглежда по този начин. Това е най-добрият ми опит да го начертая. После можем да направим това няколко пъти. Когато s е пи върху 2 – искам да използвам различни цветове – когато s е пи върху 2, тогава се завъртаме точно на 90 градуса, нали? Пи върху 2 е 90 градуса в тази точка. После, ако променим t, по същество описваме горната част на геврека, нали? Ще се опитам да го начертая. Значи напречното сечение, горната част на геврека, започваме ето тук. Когато s е пи върху 2, и когато променяме t... трудно ми е да чертая прави линии. След това променяме t и ще изглежда по този начин. Това е горната част на тази окръжност ето тук. Горната част на тази окръжност ще бъде ето тук. Горната част на тази окръжност ще бъде точно ето тук. И после само свързваме точките. Ще изглежда по този начин. Това е горната част на геврека. Ако чертаех този изглед отгоре, това щеше да е горната част на геврека, ето така. Ако исках да начертая долната част на геврека, само за да бъде ясен чертежа, ако исках да начертая долната страна на геврека, тя щеше да е... да видим, ако вземем s да е 3 по пи върху 4, а t се променя, това е долната част на нашия геврек. Ще начертая окръжността, тя е ето тук, окръжността е ето тук, тогава няма да можем да видим цялото нещо, ако не е прозрачно. Значи очертаваме долната част на геврека, ето така. Виждам, че чертежът става объркващ, но се надявам, че разбираш идеята ми. Когато s e пи върху 2 отново, тогава се връщаме отвън на геврека. Това трябва да е в цикламено. Ето това се случва, когато запазим s константа, някаква определена стойност, и когато t се променя. Сега ще направим обратното. Какво се случва, ако t е нула, а се променя s? Когато t е нула, това означава, че още няма завъртане. Намираме се в равнината zy. Значи t е нула, а s започва от нула и стига до пи върху 2, това е тази точка ето тук. След това става пи. Тази точка е същата като тази точка. После отиваме в 3 по пи върху 4, после се връщаме обратно по целия път до 2 по пи. Значи тази права съответства на тази окръжност ето тук. Можем да продължим по този начин, ако изберем t равно на пи... ще сменя цвета, о, но този не е достатъчно различен. Когато t е пи върху 2 – ето така. Тогава ще се завъртим около оста z на 90 градуса, значи идваме ето тук. Когато променяме s, s започва от ето тук, и се завъртаме напълно ето така. Значи тази права съответства на тази окръжност. Можем да продължим да правим това. Когато t е равно на пи, това означава, че изминаваме целия път около окръжността ето така, и сега, когато s се променя от 0 до пи върху 2, тогава започваме ето тук, и после се променя, изминаваме целия път надолу и достигаме до тези контури, за които говорихме по-рано. Ще направя още един, просто за да се вижда ясно тази решетка, ако мога да я нарека така. Това тъмно лилаво, надявам се, че го виждаш. Когато t е равно на 3 по пи върху 4, се завъртаме по целия път. Това е в равнината xz. След това, когато променяме s, s започва ето тук, и когато s нараства, обикаляме окръжността по ето този начин. Разбира се, когато се завъртим по една пълна окръжност обратно, t е пи върху 2, това е същото нещо. Връщаме се тук отново. Значи това ще бъде – даже мога да го оцветя със същия цвят. Надявам се, че получи представа за параметризацията. Още не сме стигнали до математическата част. Всъщност не съм ти показал как представяме това математически с векторна функция, но се надявам, че придоби представа какво означава параметризация с два параметъра. Само за да си представиш тези области в равнината st на какво съответстват в тази повърхнина, предполагам, че можем да кажем в R3, това малко квадратче ето тук – да видим какви са неговите граници. Това малко квадратче – искам да съм сигурен, че избирам квадрат, който мога да начертая прецизно. Този квадрат ето тук, това е между – когато разглеждаме t, то е между 0 и пи върху 2. s е между 0 и пи върху 2. Това е ето тази част от нашия тор. Ако я разгледаме отгоре, ще изглежда по този начин, ето тук. Представи си, че трансформираме този квадрат. Дори още не сме разгледали това математически. Но ако трансформираме този квадрат в тази част от геврека... Мисля, че направих достатъчно по въпроса с визуализацията. Ще спра дотук в това видео. В следващото видео ще разгледаме как реално параметризираме с помощта на тези два параметъра. Запомни, s ни премества по всяка от тези окръжности, а t ни премества около оста z. Ако вземем всички комбинации на s и t, това дава всяка точка от тази повърхнина на този тор или този геврек. Но как можем да тръгнем от s и t, които са в интервала от 0 до 2 по пи и за двата параметъра, и как можем да превърнем това във функция от тримерен радиус-вектор, която да дефинира тази повърхнина? Това ще видим в следващото видео.