If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Частни производни на векторни функции

Частни производни на векторни функции. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Дадена е векторната функция r от s и от t равно на... х ще бъде функция от s и от t. Просто записвам, че х от s и от t по единичния вектор в посока х, или i, плюс у от s и t по единичния вектор в посока у или j, плюс z от s и от t по k – единичния вектор в посока z. Дадена ни е тази векторна функция и сега да дефинираме или да помислим какво означава да намерим частна производна на тази векторна функция по отношение на един от тези параметри – s или t. Мисля, че това е много логично, тук няма нищо специално. Намирали сме частни производни на невекторни функции и преди, когато само една от променливите се променя. Диференцираме относно едната променлива, а другата променлива разглеждаме като константа. Тук ще направим съвсем същото нещо. Намирали сме също обикновени производни на векторни функции. Тук ще получим просто обикновените производни на всеки от членовете. Ще видим, че това е същото нещо като частната производна. Да дефинираме частната производна на r по отношение на s. Всичко, което правим относно s, после можем само да сменим s и t, и ще получим същия резултат. Ще дефинирам, че това е равно на границата, когато делта s клони към нула, от r от s плюс делта s. Намираме само границата по отношение на промяната на (s; t). Приемаме, че t е константа, минус r от (s; t). Цялото това е върху делта s. Сега, ако преобразуваме алгебрично, тогава, буквално... r плюс s плюс делта (s; t), това е равно на х от s плюс делта (s; t) по i, плюс у от s плюс делта (s; t) по j, плюс z... Всичко това минус това нещо. Ако преобразуваме алгебрично – ако не ми вярваш, опитай да го преобразуваш. Това ще е равно на границата за делта s клонящо към 0... ще пиша дребно, защото ще ми заеме много място – от х от (s плюс делта s; t) минус х от (s; t) – считам, че се досещаш какво ще получим. Всичко това е доста монотонно, докато го правиш, но не е вредно да се направи. Делено на делта s и всичко това по i... ще използвам различни цветове, за да не е толкова скучно – плюс у... Където всеки... тази граница делта s клонящо към 0 се отнася за всеки член, който записвам тук. у от (s плюс делта s; t) минус у от (s; t), всичко това върху делта s, а после по j. И накрая плюс z от (s плюс делта s; t) минус z от (s; t), цялото върху делта s, а после по единичния вектор за z, по k. Всичко това представлява определението. Ако просто заместим s плюс делта s на мястото на s... ако изчислим всичко това, преобразуваме го алгебрично – ще получим точно това тук. Надявам се, че това ти показва, че намираме частната производна на всяка от функциите по отношение на s. Тези функции ето тук, това х от (s; t), това е невекторна функция. Това у също не е векторна функция. z също не е векторна функция. Когато ги обединим, това ни дава векторна функция, защото умножаваме първата функция по вектор. Втората функция умножаваме по вектор. Третата функция умножаваме по вектор. Независимо от това, че тези функции не са векторни функции. Това е просто определението за обикновените частни производни. Когато намираме границата за делта s клонящо към 0 във всеки от тези случаи. Това е съвсем същото нещо. Това е равно на... това е същото нещо като частната производна на х относно s, по i, плюс частната производна на у по отношение на s, по j, плюс частната производна на z по отношение на s, по k. Ще направя още нещо, което е псевдоматематическо, но ще ти покаже... причината да правя това видео е да ти дам някои добри инструменти, с които ще си служим, когато започнем да интегрираме повърхнини. Ще направя нещо, което е малко псевдоматематика, а това е така, понеже диференциалите са тези неща, които много трудно се дефинират прецизно, но мисля, че ще разбереш логиката какво се случва. Значи това нещо тук ще кажа, че е равно на... няма да видиш това в повечето учебници по математика, а педантичните математици ще се подразнят, когато видят какво правя. Но искам да го направя, защото мисля, че то ще ти покаже логиката какво се случва, когато работим с повърхностни интеграли. Ще кажа, че цялото това нещо тук, е равно на r от s плюс диференциала на s – една много малка промяна на s – t, минус r от (s; t), цялото това върху същата тази малка промяна на s. Надявам се, че разбираш защо разглеждам нещата по този начин. Когато намирам границата от делта s клонящо към нула, тези делта s са наистина много, много малки. Това е начинът, по който аз си представям диференциалите. Когато някой напише производна от у относно х... да кажем, че това е 2... ние сме извършвали математически операции с диференциали и преди. Представи си, че умножим двете страни по dx, и ще получим dy равно на 2 по dx. Правили сме го в математическия анализ. Аз си представям това като една много малка промяна на у, безкрайно малка промяна на у, която е равна на 2 по – сега си представи точно толкова малка промяна на х. Това е... ако имаме супер малка промяна на х, тогава промяната на у също ще бъде супер малка, но ще е 2 пъти по това. Мисля, че това е най-добрият начин да си го представим. По принцип разглеждам диференциалите като много малка промяна на някаква променлива. Като изяснихме това, и като ти обясних, че много математици ще се ужасят от това, което току-що написах, надявам се, че това ти дава известна... това, което направих не е толкова лудо. Просто казвам, че делта s, когато делта клони към 0, аз си го представям като ds. Причината да направя това, е, че ако вземем тази страна и тази страна и ги умножим по този диференциал ds, тогава какво се случва? В лявата страна получаваме частно r относно s равно на...о, извинявам се, това по ds. Ще запиша ds с розово. По ds – това е най-обикновен диференциал, супер малка промяна на s. Това е един вид частно по отношение на s. Това е равно на... ако умножим тази страна на равенството по ds, тогава това ще изчезне. Остава r от (s плюс нашата много малка промяна на s; t) минус r от (s; t). Сега ще оградя това. Това е важно за нас за следващото видео. Тогава ще разгледаме какво означава това и как можем да го визуализираме върху една повърхнина. Както се досещаш, това тук е вектор. Имаме две векторни функции, и намираме разликата им. Ще онагледим това в следващото видео. Това ще ни е много полезно при повърхностните интеграли. По съвсем същата логика всичко, което направихме с s, можем да направим и с t. Можем да дефинираме частно... ще начертая малка... можем да дефинираме частно r по отношение на... ще използвам различен цвят, напълно различен цвят. Това е оранжево. Частно r по отношение на t – определението е ето тук. Границата, когато делта t клони към 0 на r от (s; t плюс делта t), минус r от (s; t). В този случай приемаме, че s е константа. Намираме промяната на t, всичко това е върху делта t. И се случва същото нещо. Това е равно на частната производна на х относно t, по i, плюс частно у относно t, по j, плюс частно z относно t, по k. Съвсем същото нещо, само един вид заменяме t с s. По същата логика получаваме същия резултат, но този път относно t. Ако направиш псевдоматематическото преобразувание, което аз направих горе, ще получиш частната производна на r относно t по една супер малка промяна на t, dt, нашия диференциал t, досещаш се, е равно на r от (s; t плюс dt ), минус r от (s; t). Ще оградя и двете формули. В следващото видео ще онагледим какво означава това. Понякога, когато направиш някои малко "глупави" математически преобразувания като тук, винаги се питаш – за какво ми е всичко това? Спомни си, че аз просто се запитах какво означава да намерим производната на тази функция относно s или относно t. Поиграх си малко и получих това. Тези две формули ще ни бъдат много полезни, когато разглеждаме какво представляват повърхностните интеграли.