Основно съдържание

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 2

Урок 11: Дивергенция и ротация (статии)

Ротация (подготовка) - ротация на флуид в две измерения

Ротацията измерва завъртането на флуид, чието движение се описва с векторно поле. Формално, ротацията се отнася само за три измерения, но тук разглеждаме понятието в две измерения за загрявка.

Преговор

Забележка: Оттук нататък ще използваме следните означения:

$\hat{i}$ ‍ е единичният вектор на оста $x$ ‍.
$\hat{j}$ ‍ е единичният вектор на оста $y$ ‍.

Основни идеи

Ротацията измерва колко едно векторно поле се "върти".
В две измерения, ако е дадено векторно поле $\vec{v} (x; y) = v_{1} (x; y) \hat{i} + v_{2} (x; y) \hat{j}$ ‍, то неговата ротация е равна на
$2d-rot \vec{v} = \frac{\partial v_{2}}{\partial x} - \frac{\partial v_{1}}{\partial y}$ ‍

Ротация на флуид

Ето едно приятно завихрено векторно поле:

Това поле е дефинирано от функцията

\begin{aligned} \vec{v} (x; y) & = [\begin{array}{c} y^{3} - 9 y \\ x^{3} - 9 x \end{array}] \\ = (y^{3} - 9 y) \hat{i} + (x^{3} - 9 x) \hat{j} \end{aligned}

Представи си, че това поле определя движението на флуид, да речем в камениста част на някоя река. Следното видео показва как изглежда потокът. Редица частици от флуида са показани в синьо и е анимирано тяхното движение спрямо векторното поле. Това означава, че във всеки един момент всяка частица се движи в посоката на вектора от полето, който е в нейната позиция. Обърни специално внимание на четирите оградени области.

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

В отбелязаните области флуидът се върти. В кръговете най-вляво и най-вдясно ротацията е обратно на часовниковата стрелка, а в кръговете най-отдолу и най-отгоре ротацията е по часовниковата стрелка.

Ключов въпрос: Дадена е функцията $\vec{v} (x; y)$ ‍, дефинираща векторно поле, и точката $(x_{0}; y_{0})$ ‍ в пространството. Колко бързо се върти флуидът, дефиниран от векторното поле, около точката $(x_{0}; y_{0})$ ‍?

Операторът ротация (на англ. "curl", а на български "rot") отговаря на този въпрос, като превръща идеята за ротация в математическа формула. Ротацията на векторно поле е скаларна функция, описваща ротацията на полето във всяка точка.

Ротацията е дефинирана само в три измерения. В следващата статия ще разбереш какво означава тя и как се пресмята. Засега ще започнем с кратка загрявка и ще изведем подобна формула за ротация в две измерения.

Измерване на ротация в две измерения

Един от най-простите примери за въртящ се флуид в две измерения е

\begin{array}{r} \vec{v} (x; y) = [\begin{array}{c} - y \\ x \end{array}] = - y \hat{i} + x \hat{j} . \end{array}

Ето как изглежда векторното поле.

Анимирани, всички частици се движат в кръг.

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

В известен смисъл това е перфектният пример за ротация обратно на часовниковата стрелка, и обяснението на формулата за ротация в две измерение е долу-горе същото като обяснението защо функцията

\vec{v} (x; y) = - y \hat{i} + x \hat{j}

съответства на идеална ротация обратно на часовниковата стрелка.

$\hat{i}$ ‍-координата

Първо да разберем защо

- y \hat{i}

означава въртене обратно на часовниковата стрелка. Представи си малка дървена клечка, плаваща из флуида, която в началото на движението си е успоредна на оста

y

. По-точно единият ѝ край се намира в началото на координатната система

(0; 0)

, а другият - в точката

(0; 2)

. Какво ни казва компонентът

- y \hat{i}

за движението на флуида в тези две точки?

Скоростта на движение в горния край на клечката е

- 2 \hat{i}

, вектор, ориентиран наляво, а скоростта в долния край е

0

Тогава клечката се върти обратно на часовниковата стрелка. Казано по-общо, когато векторите се изместват наляво, когато се движим от долу нагоре, клечката се движи обратно на часовниковата стрелка. Казано на математически език това е случаят, когато

\hat{i}

-координатата на вектора в точката

(x_{0}; y_{0})

намалява с увеличаването на стойността на

y_{0}

Записано със символи,

$\frac{\partial}{\partial y} (- y) = - 1 < 0$ ‍

Нека обобщим тази идея.

Въпрос: Дадено е векторно поле от вида

$\vec{v} (x; y) = v_{1} (x; y) \hat{i} + v_{2} (x; y) \hat{j}$ ‍

Компонентите

v_{1}

v_{2}

са произволни скаларни функции. Ако поставим клечка в точката

(x_{0}; y_{0})

, ориентирана успоредно на оста

y

, как можем да разберем дали клечката се върти само въз основа на функциите

v_{1}, v_{2}

и точката

(x_{0}; y_{0})

Отговор: Разглеждаме производната на $v_{1}$ ‍ по $y$ ‍ в точката $(x_{0}; y_{0})$ ‍:
$\frac{\partial v_{1}}{\partial y} (x_{0}; y_{0}) \leftarrow Обратно на часовниковата стрелка, ако производната е отрицателна$ ‍
Ако стойността на тази производна е отрицателна, то векторите от полето се изместват наляво, когато стойността $y_{0}$ ‍ се увеличава, тоест полето се върти обратно на часовниковата стрелка. Ако пък е положителна, векторите се изместват надясно с увеличаване на $y_{0}$ ‍, тоест полето се върти наляво.

$\hat{j}$ ‍-координата

По същия начин ще видим защо

x \hat{j}

също означава въртене обратно на часовниковата стрелка. Този път обаче разглеждаме клечка, успоредна на оста

x

. По-точно, клечката се намира между точките

(0; 0)

(2; 0)

Векторът от полето в началото на координатната система е с дължина

0

, а векторът в другия край на клечката – в точката

(2; 0)

, е равен на

2 \hat{j}

и сочи нагоре. Следователно флуидът избутва десния край на клечката нагоре, а левият край остава неподвижен, така че клечката ще се завърти обратно на часовниковата стрелка.

За втората клечка вертикалната компонента на векторите се увеличава от ляво надясно, така че въртенето отново е в посока обратна на часовниковата стрелка. Тоест

y

-координатата на векторите от полето в околността на точката

(x_{0}; y_{0})

се увеличава при увеличаване на стойността на

x_{0}

В общия случай,

$\vec{v} (x; y) = v_{1} (x; y) \hat{i} + v_{2} (x; y) \hat{j}$ ‍

можем да измерим ефекта на полето около точката

(x_{0}; y_{0})

, като пресметнем промяната на

v_{2}

при изместване на променливата

x

$\frac{\partial v_{2}}{\partial x} \leftarrow Обратно на часовниковата стрелка, ако производната е положителна$ ‍

Комбиниране на двете производни

За да комбинираме ефекта от тези две измервания на ротацията на

\vec{v}

около точката

(x_{0}; y_{0})

, формираме следната разлика:

$\frac{\partial v_{2}}{\partial x} (x_{0}; y_{0}) - \frac{\partial v_{1}}{\partial y} (x_{0}; y_{0})$ ‍

Когато тя е положителна, полето се върти обратно на часовниковата стрелка около точката

(x_{0}; y_{0})

, а когато е отрицателна - по часовниковата стрелка. Ако ротацията е равна на

0

, флуидът не се върти около точката

(x_{0}; y_{0})

. Ако се интересуваш от директното значение на формулата, тя е равна точно на два пъти ъгловата скорост на флуида в точката

(x_{0}; y_{0})

Някои автори наричат този израз "двумерна ротация" на

\vec{v}

. Този термин не е стандартен, но нека го запишем като отделен оператор, наречен "2d-rot" ( на англ. се означава като "2d-curl").

$2d-rot \vec{v} = \frac{\partial v_{2}}{\partial x} - \frac{\partial v_{1}}{\partial y}$ ‍

Пример: Ротация на двумерно поле

Задача: Дадено е векторното поле

\begin{array}{r} \vec{v} (x; y) = [\begin{array}{c} \cos (x + y) \\ \sin (x y) \end{array}] \end{array}

Да се определи дали флуидът се движи по или обратно на часовниковата стрелка в точката

\begin{aligned} p & = (0; \frac{π}{2}) \end{aligned}

Стъпка 1: Пресмятане на

2d-rot

$2d-rot \vec{v} =$ ‍

Заместваме във формулата за двумерна ротация (2d-rot). Това ни дава скаларна функция на две променливи, чиято стойност в точката $(0; π / 2)$ ‍ показва дали ротацията е положителна (обратно на часовниковата стрелка), нулева, или отрицателна (по часовниковата стрелка).
$\begin{aligned} 2d-rot \vec{v} & = \frac{\partial v_{2}}{\partial x} - \frac{\partial v_{1}}{\partial y} \\ = \frac{\partial}{\partial x} (\sin (x y)) - \frac{\partial}{\partial y} (\cos (x + y)) \\ = \cos (x y) y - (- \sin (x + y)) \\ = \cos (x y) y + \sin (x + y) \end{aligned}$ ‍

Стъпка 2: Заместване на

(0; π / 2)

$2d-rot \vec{v} (0; π / 2) =$ ‍

Стъпка 3: Интерпретиране на резултата.

Избери един отговор:
(Избор А)
По часовниковата стрелка
(Избор Б)
Обратно на часовниковата стрелка
(Избор В)
Полето не се върти

Ето как изглежда флуидът в анимация:

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Точката, в която се събират всички частици от флуида, е точно

p = (0; \frac{π}{2})

. Частиците се въртят обратно на часовниковата стрелка в тази област, което съответства на пресметнатия

2d-rot

оператор.

Обобщение

Ротацията на дадено векторно поле измерва неговата скорост и посока на "въртене".
В две измерения, ако е дадено векторно поле $\vec{v} (x; y) = v_{1} (x; y) \hat{i} + v_{2} (x; y) \hat{j}$ ‍, то неговата ротация е равна на
$2d-rot \vec{v} = \frac{\partial v_{2}}{\partial x} - \frac{\partial v_{1}}{\partial y}$ ‍

Напред към третото измерение!

Тримерната ротация, с която ще се запознаем в следващата статия, е разширение на същата идея от две към три измерения.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Анализ на функции на много променливи

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 2

Преговор

Основни идеи

Ротация на флуид

Измерване на ротация в две измерения

i^‍ -координата

j^‍ -координата

Комбиниране на двете производни

Пример: Ротация на двумерно поле

Обобщение

Напред към третото измерение!

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

$\hat{i}$ ‍-координата

$\hat{j}$ ‍-координата