Ако виждаш това съобщение, значи уебсайтът ни има проблем със зареждането на външни ресурси.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Основно съдържание

Ротация (подготовка) - ротация на флуид в две измерения

Ротацията измерва завъртането на флуид, чието движение се описва с векторно поле. Формално, ротацията се отнася само за три измерения, но тук разглеждаме понятието в две измерения за загрявка.

Преговор

Забележка: Оттук нататък ще използваме следните означения:
  • i^ е единичният вектор на оста x.
  • j^ е единичният вектор на оста y.

Основни идеи

  • Ротацията измерва колко едно векторно поле се "върти".
  • В две измерения, ако е дадено векторно поле v(x;y)=v1(x;y)i^+v2(x;y)j^, то неговата ротация е равна на
    2d-rotv=v2xv1y

Ротация на флуид

Ето едно приятно завихрено векторно поле:
Това поле е дефинирано от функцията
v(x;y)=[y39yx39x]=(y39y)i^+(x39x)j^
Представи си, че това поле определя движението на флуид, да речем в камениста част на някоя река. Следното видео показва как изглежда потокът. Редица частици от флуида са показани в синьо и е анимирано тяхното движение спрямо векторното поле. Това означава, че във всеки един момент всяка частица се движи в посоката на вектора от полето, който е в нейната позиция. Обърни специално внимание на четирите оградени области.
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
В отбелязаните области флуидът се върти. В кръговете най-вляво и най-вдясно ротацията е обратно на часовниковата стрелка, а в кръговете най-отдолу и най-отгоре ротацията е по часовниковата стрелка.
  • Ключов въпрос: Дадена е функцията v(x;y), дефинираща векторно поле, и точката (x0;y0) в пространството. Колко бързо се върти флуидът, дефиниран от векторното поле, около точката (x0;y0)?
Операторът ротация (на англ. "curl", а на български "rot") отговаря на този въпрос, като превръща идеята за ротация в математическа формула. Ротацията на векторно поле е скаларна функция, описваща ротацията на полето във всяка точка.
Ротацията е дефинирана само в три измерения. В следващата статия ще разбереш какво означава тя и как се пресмята. Засега ще започнем с кратка загрявка и ще изведем подобна формула за ротация в две измерения.

Измерване на ротация в две измерения

Един от най-простите примери за въртящ се флуид в две измерения е
v(x;y)=[yx]=yi^+xj^.
Ето как изглежда векторното поле.
Анимирани, всички частици се движат в кръг.
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
В известен смисъл това е перфектният пример за ротация обратно на часовниковата стрелка, и обяснението на формулата за ротация в две измерение е долу-горе същото като обяснението защо функцията v(x;y)=yi^+xj^ съответства на идеална ротация обратно на часовниковата стрелка.

i^-координата

Първо да разберем защо yi^ означава въртене обратно на часовниковата стрелка. Представи си малка дървена клечка, плаваща из флуида, която в началото на движението си е успоредна на оста y. По-точно единият ѝ край се намира в началото на координатната система (0;0), а другият - в точката (0;2). Какво ни казва компонентът yi^ за движението на флуида в тези две точки?
Скоростта на движение в горния край на клечката е 2i^, вектор, ориентиран наляво, а скоростта в долния край е 0.
Тогава клечката се върти обратно на часовниковата стрелка. Казано по-общо, когато векторите се изместват наляво, когато се движим от долу нагоре, клечката се движи обратно на часовниковата стрелка. Казано на математически език това е случаят, когато i^-координатата на вектора в точката (x0;y0) намалява с увеличаването на стойността на y0.
Записано със символи,
y(y)=1<0
Нека обобщим тази идея.
  • Въпрос: Дадено е векторно поле от вида
v(x;y)=v1(x;y)i^+v2(x;y)j^
Компонентите v1 и v2 са произволни скаларни функции. Ако поставим клечка в точката (x0;y0), ориентирана успоредно на оста y, как можем да разберем дали клечката се върти само въз основа на функциите v1,v2 и точката (x0;y0)?
  • Отговор: Разглеждаме производната на v1 по y в точката (x0;y0):
    v1y(x0;y0) Обратно на часовниковата стрелка, ако производната е отрицателна 
    Ако стойността на тази производна е отрицателна, то векторите от полето се изместват наляво, когато стойността y0 се увеличава, тоест полето се върти обратно на часовниковата стрелка. Ако пък е положителна, векторите се изместват надясно с увеличаване на y0, тоест полето се върти наляво.

j^-координата

По същия начин ще видим защо xj^ също означава въртене обратно на часовниковата стрелка. Този път обаче разглеждаме клечка, успоредна на оста x. По-точно, клечката се намира между точките (0;0) и (2;0).
Векторът от полето в началото на координатната система е с дължина 0, а векторът в другия край на клечката – в точката (2;0), е равен на 2j^ и сочи нагоре. Следователно флуидът избутва десния край на клечката нагоре, а левият край остава неподвижен, така че клечката ще се завърти обратно на часовниковата стрелка.
За втората клечка вертикалната компонента на векторите се увеличава от ляво надясно, така че въртенето отново е в посока обратна на часовниковата стрелка. Тоест y-координатата на векторите от полето в околността на точката (x0;y0) се увеличава при увеличаване на стойността на x0.
В общия случай,
v(x;y)=v1(x;y)i^+v2(x;y)j^
можем да измерим ефекта на полето около точката (x0;y0), като пресметнем промяната на v2 при изместване на променливата x.
v2x Обратно на часовниковата стрелка, ако производната е положителна 

Комбиниране на двете производни

За да комбинираме ефекта от тези две измервания на ротацията на v около точката (x0;y0), формираме следната разлика:
v2x(x0;y0)v1y(x0;y0)
Когато тя е положителна, полето се върти обратно на часовниковата стрелка около точката (x0;y0), а когато е отрицателна - по часовниковата стрелка. Ако ротацията е равна на 0, флуидът не се върти около точката (x0;y0). Ако се интересуваш от директното значение на формулата, тя е равна точно на два пъти ъгловата скорост на флуида в точката (x0;y0).
Някои автори наричат този израз "двумерна ротация" на v. Този термин не е стандартен, но нека го запишем като отделен оператор, наречен "2d-rot" ( на англ. се означава като "2d-curl").
2d-rotv=v2xv1y

Пример: Ротация на двумерно поле

Задача: Дадено е векторното поле
v(x;y)=[cos(x+y)sin(xy)]
Да се определи дали флуидът се движи по или обратно на часовниковата стрелка в точката
p=(0;π2)
Стъпка 1: Пресмятане на 2d-rot.
2d-rotv=

Стъпка 2: Заместване на (0;π/2).
2d-rotv(0;π/2)=

Стъпка 3: Интерпретиране на резултата.
Избери един отговор:

Ето как изглежда флуидът в анимация:
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
Точката, в която се събират всички частици от флуида, е точно p=(0;π2). Частиците се въртят обратно на часовниковата стрелка в тази област, което съответства на пресметнатия 2d-rot оператор.

Обобщение

  • Ротацията на дадено векторно поле измерва неговата скорост и посока на "въртене".
  • В две измерения, ако е дадено векторно поле v(x;y)=v1(x;y)i^+v2(x;y)j^, то неговата ротация е равна на
    2d-rotv=v2xv1y

Напред към третото измерение!

Тримерната ротация, с която ще се запознаем в следващата статия, е разширение на същата идея от две към три измерения.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.