Степенуване на имагинерни числа

Вече видяхме, че когато повдигаме числото i на все по-големи степени, резултатът се върти между 1, i, -1, -i и после пак същото се повтаря. Искам да използвам това, за да решим някои по-сложни задачи. Ще видиш колко лесни ще станат. Те също са и забавни за решаване, когато използваш, че степените на i се въртят между тези стойности. Така ще можеш да намериш бързо произволно големи степени на i. Да опитаме. От любопитство ще започнем с i на степен 100. Тук е важно, че 100 се дели на 4. Това е равно на i на степен 4 по 25. От свойствата на степените следва, че това е равно на i на четвърта, цялото на 25-та степен. Използвахме свойството, че степенуването на степен дава умножение на степените. Знаем колко е i на четвърта. Това е лесно. i на четвърта е 1. Значи тук имаме 1 и търсим 1 на степен 25, което е равно на 1. Какво направихме? Използвахме повтарянето на степените, за да намерим i на много голяма степен. Нека да опитаме нещо по-различно. Да опитаме с i на степен 501. В този случай степента 501 не се дели на 4. Не можем да я решим толкова просто. Но можем да я разложим на произведение от две числа, едното от които със степен, която се дели на 4. Другият множител няма да е такъв. Можем да го преобразуваме. 500 се дели на 4. Преобразуваме израза до i на степен 500 по i на първа степен. Нали? Основата е еднаква и при умножаването степените се събират. Това е равно на i на степен 501. Можем да разложим i на степен 500 до i на четвърта на някаква степен. 4 по 125 е 500, значи i на степен 500 е равно на i на четвърта, цялото на степен 125. И това е умножено по i на първа. Знам, че i на четвърта степен е 1. 1 на степен 125 пак е 1. Цялото това е равно на 1. Остава ни само i на първа. Значи това цялото е равно на i. Тази задача на пръв поглед изглежда сложна и с дълги изчисления, но със зависимостта виждаме, че i на степен 500 е равно просто на 1. Оттук i на степен 501 е просто i по това. Нека да обобщя. Повдигаме i на произволна степен, кратна на 4. Записвам го като i на степен 4k, където k е положително, по-голямо или равно на 0. Стойността на това число е равна на 1, защото това е равно на i на четвърта, цялото на степен k. Това е равно на 1 на степен k, което очевидно е равно на 1. Ако имаме друга степен, да речем 4k + 1 или 4k + 2, тогава можем да приложим тази техника. Да опитаме с още няколко задачи. Така ще е ясно, че можем да намираме произволни степени. Да вземем i на степен 7321. Просто трябва да намерим остатъка при деление на 4. Това е 4 по нещо плюс нещо друго. Можем да намерим остатъка и на око, като съобразим, че 7320 се дели на 4. Може да се убедиш, като го изчислиш. И остава остатък 1. Числото е равно на i на степен 7320 по i на първа. Тази степен се дели на 4, знам това, защото всяка 1000 се дели на 4, всеки 100 също, и останалото 20 се дели на 4, значи това число се дели на 4. Това е 1 по i на първа, тук съм объркал 1 с i в степента. 7321 е 7320 + 1. Тази част се опростява до 1 и остава само i на първа, или просто i. Да направим още една. Да опитам с нещо по-интересно. i на степен 99. Коя е най-голямото кратно на 4, което е по-малко от 99? Това е 96. Значи това е равно на i на степен 96 по i на трета. Нали? Двата множителя са с еднаква основа и като съберем степените става 99. i на 96 степен, тъй като степента е кратна на 4, е равно на i на 4-та, цялото на 16-та степен. Това е равно на 1 на 16-та, или само 1. Остава ни само i на трета. Можем просто да си спомним на колко е равно това, това е -1. Ако не го помниш, можеш да го разложиш до i на втора по i. Това се пресмята лесно. По определение i на втора е равно на -1. Имаме -1 по i, което е -i. Нека се позабавляваме с един последен пример. Да повдигнем i на степен 38. По същия начин разлагам до i на степен 36 плюс i на втора. Избрах степента 36, защото тя е най-голямото кратно на 4, което се побира в 38. Остава ни 2. Тази степен е равна на 1 и остава i на втора, което е -1.