Преглед на правилото на Лопитал

Правилото на Лопитал ни помага да изчислим неопределени граници във формата ${\displaystyle \frac{0}{0}}$‍ или ${\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}$‍.

С други думи, помага ни да намерим ${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}{\displaystyle \frac{u(x)}{v(x)}}}$‍, където ${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}u(x)=\underset{x\to c}{lim}v(x)=0}$‍ (или когато и двете граници са $\pm \mathrm{\infty }$‍).

Правилото казва, че ако границата ${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}{\displaystyle \frac{u^{\prime }(x)}{v^{\prime }(x)}}}$‍ съществува, тогава двете граници са равни:

Нека пресметнем следното например: ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{7x-\sin (x)}{x^2+\sin (3x)}}}$‍.

Когато заместим $x=0$‍ в ${\displaystyle \frac{7x-\sin (x)}{x^2+\sin (3x)}}$‍, получаваме неопределената форма ${\displaystyle \frac{0}{0}}$‍. Сега да използваме правилото на Лопитал.

Обърни внимание, че успяхме да използваме правилото на Лопитал, защото границата ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{d}{dx}}[7x-\sin (x)]}{{\displaystyle \frac{d}{dx}}[x^2+\sin (3x)]}}}$‍ наистина съществува.

Например нека намерим ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}(1+2x{)}^{{}^{\frac{1}{\sin (x)}}}}$‍. Като заместим $x=0$‍ в израза, получаваме неопределената форма $1^{{}^{\mathrm{\infty }}}$‍.

За да направим израза по-лесен за анализ, нека да намерим натурателн логаритъм от него (това е основна техника, когато работим със съставни функции със степени). С други думи, ако $y=(1+2x{)}^{{}^{\frac{1}{\sin (x)}}}$‍, ще намерим ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\ln (y)}$‍. Веднъж когато го намерим, ще може да намерим ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}y}$‍.

$\ln (y)={\displaystyle \frac{\ln (1+2x)}{\sin (x)}}$‍

Като заместим $x=0$‍ в израза ${\displaystyle \frac{\ln (1+2x)}{\sin (x)}}$‍ получаваме неопределената форма ${\displaystyle \frac{0}{0}}$‍, така че сега е ред на Правилото на Лопитал да ни помогне в задачата.

Открихме, че ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\ln (y)=2}$‍, което означава, че ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}y=e^2}$‍.