Правило на Лопитал: пример с граница при 0

Да кажем, че трябва да пресметнем границата когато x се приближава до 0 от 2 синус от x минус синус от 2x, всичко това върху x минус синус от x Ceга, първото нещо, което ми идва наум когато видя задача с граници е, какво ще стане ако се опитам да пресметна функцията за x е равно на 0 ? Мyже би нищо шантаво няма да се случи Нека опитаме Какво ще стане ако опитаме с x равно на 0 ? Получаваме 2 синус от 0, което е 0 Минус синус от 2 по 0 Ами, това пак ще е синус от 0, което е 0 Значи, числителят ни ще е 0 Синус от 0, това е 0 И после имаме още един синус от 0 Още едно 0, всичко е 0 И знаменателя : имаме 0 минус синус от 0 Ами, това също ще ни е 0 Но имаме тази неопределена форма, това 0/0, за което говорихме в предния клип Значи може би можем да използваме правилото на Лопитал А за да го използваме, границата когато x се приближава до 0 от производната на тази функция върху производната на тази функция трябва да съществува Нека припожим правилото на Лопитал и нека вземем производните на тези две функции и видим дали можем да намерим границата Ако можем, значи това ще ни е границата Знчи това, ако предположим, че съществува, ще бъде равно на границата когато ь се приближава до 0 от производната на този числител горе Значи, каква ще е производната на числителя ? Ще взема друг цвят Ще взема зелено Ами, производната на 2 синус от x е 2 косинус от x Производната на синус от 2x е 2 косинус от 2x Значи, минус 2 косинус от 2x Тук ще използваме правилото за сложни функции, производната на вътрешната част е просто 2 Това тук е 2 Производната на външната част е косинус от 2x и тук получихме отрицателно число Значи, това е производното на числителя А какво е производното на знаменателя ? Ами, производната на x е 1, а производната на синус от x е косинус от x Значи, 1 минус косинус от ь Да опитаме да изчислим тази граница Какво ще получим ? Ако сложим 0 тук горе ще получим 2 по косинус от 1, което е 2 – нека го запиша така Значи, това е 2 по косинус от 0, което е 1 Значи, това е 2 минус 2 косинус от 2 по 0 Нека го запиша така Всъщност, нека го направим по следния начин... Ако просто изчислим границите на числителя и знаменателя, какво ще получим ? Получаваме 2 косинус от 0, което е 2 Минус 2 по косинус от … ами, това 2 по 0 си остава 0 Значи, минус 2 по косинус от 0, което е 2 Всичко това върху 1 минус косинус от 0, което е Значи получаваме 0/0 Това означава ли, че такава граница не съществува ? Не, може би съществува, нека пак опитаме с правилото на Лопитал Нека взема производната на това и нека разделя на тази производна И сега ще взема границата и може би сега правилото на Лопитал ще ни помогне Да видим докъде ще стигнем с него Това трябва да ни е границата ако правилото на Лопитал е приложимо Още не сме сто процента сигурни Това трябва да ни е равно на границата когато x се приближава до 0 на производната на това върху производната на това Така, каква е производната на 2 косинус от x ? Ами, производната от косинус от x е минус синус от x Значи, минус 2 синус от x И сега, производната от косинус от 2x е минус 2 синус от 2x Значи, този минус се анулира с минуса от минус 2 и после 2 по 2 Значи, имаме плюс 4 синус от 2x Да видя, дали го направих правилно Имаме минус 2 отвън Производната на косинос от 2x ще бъде 2 по минус синус от x Така, 2 по 2 е 4 Минусът тук става плюс - Положителен синус, синусът на 2x Това е числителят когато вземем производната А знаменателят – това ни е упражнение за намиране на производни Каква е производната на знаменателя ? Производната на 1 е 0 И производната на минус косинус от x е просто синус от x Нека вземем тази граница И сега, като взема x е равно на 0 в знаменателя, знам че синус от 0 е 0 Да видим какво се случва в числителя Минус 2 по синус от 0. Това ни е 0 И после, 4 ои синус от 2 по 0 Ами, това пак ни е синус от 0, значи това си е 0 Пак имаме неопределена форма Готови ли сме ? Отказваме ли се ? Да приемем ли, че правилото на Лопитал не ни свърши работа ? Не, защото това ни е първата задача с граници и тук си казваме – хей, може би можем да използваме правилото на Лопитал, защото имаме неопределена форма Числителят и знаменателят се доближават до 0 когато x се доближава до 0 Нека пак вземем производните Дали съществува тази граница, когато x се приближава до 0 Да вземем производната на числителя Производната на линус 2 синус от ь е минус 2 косинус от x И после, плюс производната на 4 синус от 2x Ами, това е 2 по 4, което е 8 По косинус от 2x Производната на синус от 2x е 2 косинус от 2x Първото 2 се умножава по това 4 и получаваме 8 И сега, производната на зналенателя, на синус от x, е просто косинус от x Нека пресметнем Изглежда, че имаме напредък А може би правилото на Лопитал вече не е приложимо, защото имаме границата когато x се приближава до 0 от косинус от x Това e 1 Значи, този път определено няма да получим неопределената форма 0/0 Да видим какво става в числителя Минус 2 по косинус от 0 Това е просто минус 2, защото косинус от 0 е 1 Плюс 8 по косинус от 2x Ами, ако x е 0, това е косинус от 0, което е 1 Значи, имаме просто 8 Значи, минус 2 плюс 8 Тук имаме минус 2 плюс 8 - 6 6 върху 1 Това цялото ни е равно на 6 Значи, правилото на Лопитал може да се приложи в тази последна стъпка Ако това ни е задачата и си кажем, хей, когато опитахме да приложим границата, получаваме , че границата когато числителят се приближава към 0 е 0 Границата, когато този знаменател за приближава до 0 е 0 Производната на числителя върху знаменателя съществува и е равна на 6 Значи, тази граница трябва да е 6 И по същата логика, ако тази граница е равна на 6, то и тази граница ще е равна на 6 И пак по същата логика, тази граница също трябва да е равна на 6 И сме готови